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鱼塘解析几何讲评
【试题再现】(第二届鱼塘杯18)已知抛物线C :y2 =2px(p>0)的焦点F(1,0)，点M 是点F 关于原点O
的对称点，不与原点O重合的点A在以M 为圆心，1为半径的圆上，过点A作C 的切线l，切点为T.
(1)求|FT|的最大值；
|FA|
(2)求 的最大值.
|FT|
【基本情况】不去零平均分4.98，去零平均分8.04. 最高16分，共3个.
【命题背景分析】
y T
(1)是依靠自然的几何分析，明显当|FT|取最大值时，l与圆、抛物线
均相切，此临界情况即为所求.
(2)的背景即下面所讲的方法一，看个乐即可，不需要太深究。
A
【试题解析】
y2 M O F x
(1)由题意，p=2. 设A(x ,y )，T( 1,y )，由对称性，不妨y >0.
0 0 4 1 1
y2
方法一：(略去求极线过程)易知l :y y =2x+ 1.
1 2
存在A使得|AM|=1等价于l到点(cid:12)M(−1,(cid:12)0)的距离不大于1.
(cid:12) (cid:12)
2(cid:12)y
1
2 −1(cid:12)
根据点到直线的距离公式，即d= p4 ≤1，解得y2 ≤12.
y2+4 1
1
y2 √
由抛物线几何性质，|FT|= 1 +1≤4，当y =2 3等号成立.
4 1
方法二: 易知y 是y2−2y y+4x =0的一根，不妨y >0.
p 1 0 p 0 p 0 p
y =y ± y2−4x ≤y + y2−4x = −2x −x2+ −6x −x2，只需求单变量最值即可.
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
构造以下几何图形.
C
A M
A
B
B N
我们构造两个向内切的圆，一个半径为3，另一个半径为1. 任取二圆连心线垂线，与大圆交于A,小
圆交于B，且A,B 在连心线两侧. 所求即|AB|的最大值.
我们构造一个辅助圆，其半径与小圆一致，与小圆连心线垂直于原连心线，且与大圆外切于点M. 由
√
位置关系，|AB|≤|BC|=2 3，等号成立当且仅当A=M.
√ y2 √
进而我们有y ≤2 3，即|FT|= 1 +1≤4，当y =2 3等号成立.
1 4 1(2)方法一(命题背景):
y2
补出另一条切线，切点为 P( 2,y ). 同理 AP :
4 2 y
y2
y 2 y =2x+ 2 2. 同构方程得TP :y 0 y =2(x+x 0 ). T
先证明|AF|2 =|FT|·|FP|.
由勾股定理，|AF|2 =(x −1)2+y2.
0 0
y2 y2 M O F
由几何性质，|FT|·|FP| = ( 1 +1)( 2 +1) = x
4 4
y2y2+4(y +y )2−8y y +16 A
1 2 1 2 1 2 .
16
注意y ,y 是方程y2−2y y+4x =0的两根，由
1 2 0 0
Viete定理，y +y =2y ,y y =4x .
1 2 0 1 2 0
代入上式知结论成立. 回原题.
|AF|2 |TF|·|FP| |FP|
P
所以 = = .
|TF|2 |TF|2 |FT|
又
|FP| |FT| y2+4 y2+4
+ = 1 + 2
|FT| |FP| y2+4 y2+4
2 1 (cid:18) (cid:19)
1 1
=2+(y2−y2) −
1 2 y2+4 y2+4
2 1
(y −y )2(y +y )2
=2+ 1 2 1 2
16|FT|·|FP|
(y −y )2(y +y )2
=2+ 1 2 1 2
16|FA|2
y2(y2−4x )
=2+ 0 0 0
1−4x
0
≤3,
√
|FA| 1+ 5
所以解得 ≤ ，等号成立当且仅当y2 =1.
|FT| 2 0
注: 此方法在考场上极难想到，因为题干并未提示到引理的长度等量关系，后面的不对称转对称也需要技
巧支撑。事实上，不光有线段长度等量关系，甚至△AFT 相似于△PFA，留作习题.
方法二(两次放缩):
y2 y y2
由A在AT 上，y y =2(x + 1)≥−y ，故x ≥− 1 − 1.
p 0 1 0 √ 4 p1 0 2 4
|FA|= (x 0 −1)2+y 0 2 = 1−4x 0 ≤ 1+2y 1 +y 1 2 =y 1 +1. √
|FA| y +1 4(y +1) 4(y +1) 5+1
进而 ≤ 1 = 1 ≤ √ 1 = .
|FT| y 1 2 + √ 1 (y 1 +1)2−2(y 1 +1)+5 2 5(y 1 +1)−2(y 1 +1) 2
4
等号成立当y = 5−1，x =−1.
1 1
注: 此解法虽短，两次放缩同时取等却需要勇气和灵感，本次考试有一名考生用此方法解决了本题，可惜
未验证取等.
方法三(暴力求根公式): (cid:18) (cid:19) p
1 −2− 3−x2
设T(x2,2x ). 与圆联立，选择距F 较远一点，有 +1 x2+4x+x2 =0，故x = 0.
0 0 x2 0 A 1 +1
√ 0 x2
0
而|FT|=1+x2，|FA|= 1−x ，故可令
0 A
|FT| 1+x2
f(x)= |FA| = q 1+42+ √ 3−x2 ,
1+ 1
x2
√ √ √
令f′(x)=0，知2+√ 3−x2+x4−(3 3−x2+√5)x2 =0. 令√ u= 3−x2,即(u+√2)2(u2−u−1)=0.
5−1 5−1 5−1 |FA| 5+1
令f′(x)=0，x= ，易知f(x) =f( )= . 故 = .
2 min 2 2 |FT| 2
max
