文档内容
西北狼教育联盟 2023 年秋期开学学业调研
高三数学试题卷
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答.
2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项.
3.考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合 ，然后根据交集、并集的定义求解即可．
【详解】 ，所以 ，所以 ．
故选：B．
2. 已知函数 的定义域为 ，且对任意两个不相等的实数 都有 ，则不
等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由条件得到函数是单增的，然后把函数值的大小比较转化为自变量大小比较，即可解得解集.
【详解】任意两个不相等的实数
因为 ，
所以 与 异号，
第1页/共24页
学科网（北京）股份有限公司故 是 上的减函数，
原不等式 等价于 ，
解得 ，
故选：B.
3. 已知随机变量 ，随机变量 ，若 ， ，则
（ ）
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
【答案】C
【解析】
【分析】由 求出 ，进而 ，由此求出 .
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，
解得 或 （舍），
由 ，则 ，
所以 .
故选：C.
4. 如图， “天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天
实验舱三个部分. 假设有6名航天员(4男2女) 在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实
验舱与梦天实验舱各安排1人， 且两名女航天员不在一个舱内，则不同的安排方案种数为（ ）
第2页/共24页
学科网（北京）股份有限公司A. 14 B. 18 C. 30 D. 36
【答案】B
【解析】
【分析】先求出总的安排方案数，再求出两名女航天员在一个舱内的方案数，两者相减即可.
【详解】将6名航天员安排在3个实验舱的方案数为
其中两名女航天员在一个舱内的方案数为
所以满足条件的方案数为 种.
故选:B.
5. 函数 在 上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用特殊点即可通过计算数值的正负，结合图象即可排除.
【详解】 ,此时可排除A,
,此时可排除C,
由于 ，所以 ，
第3页/共24页
学科网（北京）股份有限公司故排除D，
故选：B
6. 定义在 上的函数 的导函数为 ，且 恒成立，
则必有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数 ，利用导数研究单调性，比较函数值的大小.
【详解】由 ，得 ．
设函数 ，则 ，
所以 在 上单调递减，从而 ，
即 ，即 ．
故选：D
7. 若 ， ， ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得 的最小值，即可得到 的最大值.
第4页/共24页
学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ， ， ，
则 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立；
所以 ，即 的最大值为 ，
故选：C.
8. 已知函数 的定义域为 ，若函数 为奇函数，且 ， ，则
（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇函数的性质得到 ，由条件 结合函数的对称性和
周期性的定义得到函数 的周期为 ，且 ， ，即可求
解.
【详解】因为函数 的定义域为 ，且函数 为奇函数，
则 ，即函数 关于点 对称，
所以有 ①，
又 ②，所以函数 关于直线 对称，
则由②得： ， ，
所以 ，则
第5页/共24页
学科网（北京）股份有限公司又由①和②得： ，得 ，
所以 ，即 ，
所以函数 的周期为 ，
则 ，
所以 ，
故选：A.
【点睛】结论点睛：函数 的定义域为 ，对 ，
（1）存在常数 ， 使得 ，则函数 图象关于
点 对称.
（2）存在常数 使得 ，则函数 图象关于直线 对
称.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中，真命题是（ ）
A. ，使得
B.
C. 幂函数 在 上为减函数，则m的值为
D. ， 是 的充分不必要条件
【答案】CD
【解析】
【分析】由指数函数值域可知A是假命题；利用赋值法可知B是假命题，由幂函数性质可得 满足题
意，C为真命题；取特殊值验证可知D是真命题.
第6页/共24页
学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A，由指数函数值域可知，对于 恒成立，所以A是假命题；
对于B，取特殊值 ，则 ，所以B是假命题；
对于C，由幂函数性质可得 ，解得 或 ；
又 在 上为减函数，所以 ，即可得 ，即C为真命题；
对于D，显然 ， 能推出 ；而 时，可使 ，此时推不出 ， ，
所以 ， 是 的充分不必要条件，即D是真命题；
故选：CD
10. 甲、乙两盒中各放有除颜色外其余均相同的若干个球，其中甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有2
个红球和3个白球，现从甲盒中随机取出1球放入乙盒，再从乙盒中随机取出1球.记“从甲盒中取出的球是
红球”为事件A，“从甲盒中取出的球是白球”为事件B，“从乙盒中取出的球是红球”为事件C，则（ ）
A. A与B互斥 B. A与C独立 C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A与B是互斥事件，A正确， ，B错误，利用公式计算CD正确，得到答
案.
【详解】对选项A：A与B是互斥事件，正确；
对选项B： ， ， ，
，错误；
对选项C： ，正确；
第7页/共24页
学科网（北京）股份有限公司对选项D： ，正确.
故选：ACD
11. 已知 ，则（ ）
A. 展开式中二项式系数最大项为第1012项
B. 展开式中所有项的系数和为1
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据二项式系数的性质可知二项式系数最大项为第1013项，A错误；利用赋值法可知展开式中所
有 项 的 系 数 和 为 1 ， B 正 确 ； 求 出 之 后 再 利 用 赋 值 令 可 得
，C正确；对等式两边求导再进行赋值计算可得D正确.
【详解】对于A，由二项展开式中的二项式系数性质可知二项式系数最大为 ，易知应为第1013项，
即A错误；
对于B，令 ，可得 ，即展开式中所有项的系数和为1，
可得B正确；
对于C，令 ，可得 ，令 ，可得 ，
所以 ，即C正确；
对于D，将等式 两边同时求导可得，
第8页/共24页
学科网（北京）股份有限公司，
再令 ，可得 ，即D正确.
故选：BCD
12. 德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个
“奇怪的函数” 其中 为实数集， 为有理数集．则关于函数 有如下四个命题，
正确的为（ ）
A. 对任意 ，都有
B. 对任意 ，都存在 ，
C. 若 ， ，则有
D. 存在三个点 ， ， ，使 为等腰直角三角形
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可．
【详解】解：对于A选项，当 ，则 ，此时 ，故A选项错误；
对于B选项，当任意 时，存在 ，则 ，故 ；当任意
时，存在 ，则 ，故 ，故对任意 ，都存在
， 成立，故B选项正确；
对于C选项，根据题意得函数 的值域为 ，当 ， 时，
，故C选项正确；
为
对于D选项，要 等腰直角三角形，只可能为如下四种情况：
第9页/共24页
学科网（北京）股份有限公司①直角顶点 在 上，斜边在 轴上，此时点 ，点 的横坐标为无理数，则 中点的横坐标仍然
为无理数，那么点 的横坐标也为无理数，这与点 的纵坐标为1矛盾，故不成立；
②直角顶点 在 上，斜边不在 轴上，此时点 的横坐标为无理数，则点 的横坐标也应为无理数，
这与点 的纵坐标为1矛盾，故不成立；
③直角顶点 在 轴上，斜边在 上，此时点 ，点 的横坐标为有理数，则 中点的横坐标仍然
为有理数，那么点 的横坐标也应为有理数，这与点 的纵坐标为0矛盾，故不成立；
④直角顶点 在 轴上，斜边不在 上，此时点 的横坐标为无理数，则点 的横坐标也应为无理数，
这与点 的纵坐标为1矛盾，故不成立．
综上，不存在三个点 ， ， ，使得 为等腰直角三角形，故
选项D错误．
故选：BC.
第10页/共24页
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查数学推理与运算等核心素养，是难题.本题D 选项解题的关键
是根据题意分直角顶点 在 上，斜边在 轴上；直角顶点 在 上，斜边不在 轴上；直角顶点
在 轴上，斜边在 上；直角顶点 在 轴上，斜边不在 上四种情况讨论求解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数解析式循环代入即可计算出结果.
【详解】由函数解析式可得 ，
易知 ，
所以 .
故答案为：
14. 计算： __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分式指数幂运算法则及换底公式计算即可得出结果.
【详解】易知原式
故答案为：
15. 若函数 在 上单调递减，则a的取值范围__________.
【答案】
【解析】
第11页/共24页
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据复合函数单调性以及对数函数、二次函数性质即可求得 .
【详解】利用复合函数单调性可知，函数 在 上单调递增，
所以可得对称轴 在区间 的左侧，即 ，得 ；
由对数函数定义域可得 ，即
所以 ，即a的取值范围是 .
故答案为：
16. 已知函数 有两个极值点 ， ，且 ，则 的取值范围为
___________．
【答案】
【解析】
【分析】将极值点问题转化为导函数的零点问题，再将零点问题转化为方程的解的问题，构造函数求解即
可.
【详解】∵ ，∴ ，
∵函数 有两个极值点 ， ，
∴ ，又∵ ，∴ ， ，
∴ ， 是 ，即 的两个不相等的实数根.
令 ，则 ．
①当 时， ， 在区间 单调递减，且 ，
第12页/共24页
学科网（北京）股份有限公司②当 时， ， 在区间 单调递减，且 ，
③当 时， ， 在区间 单调递增，且 ，
∴ 在 处取得极小值 ， 的图象大致如下，
∴若 有两个不相等的实数根 ， ，则 ，即 ，且 ， ，
令 ，则 ，且∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
两边同时取对数，得 ，∴ ，
下面求 的取值范围，设 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，∴ 在 上单调递减，
∴当 时， ，
第13页/共24页
学科网（北京）股份有限公司∴当 时， ， 在 上单调递减，
∴ ，即 .
又∵ 在区间 上单调递减， ， ，
∴ ，即 .
∴实数 的取值范围为 ．
【点睛】易错点睛：本题容易仅当作 有两个极值点求得 的取值范围，而造成错解，需要再根据
，结合所构造函数，转换成 的范围，利用 的范围再次求解.
四、解答题（本题共6个小题，共70分）
17. 2022年6月5日神舟十四号搭载陈冬、刘洋、蔡旭哲3名航天员在酒泉卫星发射中心发射成功，表明
中国航天技术进一步走向成熟，中国空间站即将完成“T”字基本结构的搭建，为了解民众对我国航天事业
的关注度，随机抽取1000人，其中大学及以上学历480人，高中及以下学历520人，得到如下2×2列联表：
不了解 了解 总计
大学及以上 38 442 480
高中及以下 6 514 520
总计 44 956 1000
（1）若高中及以下学历不了解的6人中，高中学历2人，高中以下学历4人，从中任意抽取2人，求2人
都不是高中以下学历的概率；
（2）若认为不了解与否与学历有关，则出错的概率是多少?
附表：
.
0.50 040 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
第14页/共24页
学科网（北京）股份有限公司K 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83
参考公式： ， .
【答案】（1）
（2）低于
【解析】
【分析】（1）设出基本事件，根据古典概型的求解方法即可得出答案；
（2）计算 的值，与参考值进行比较即可得出结论.
【小问1详解】
记“2人都不是高中以下学历”为事件 ；
则 ，
故2人都不是高中以下学历的概率为
【小问2详解】
由表中数据可得 ，
显然 ，
参考附表中的数据可知出错的概率是低于 .
18. 已知函数 .
（1）求 的极值；
（2）若关于 的方程 只有一个实数解，求实数 的取值范围.
【答案】（1）极小值为 ，无极大值
第15页/共24页
学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数可求得 的单调性，由极值定义可确定极值点并求得极值；
（2）将问题转化为 与 有且仅有一个交点，作出 的图象，采用数形结合的方式可求得结
果.
【小问1详解】
的定义域为 ， ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
的极小值为 ，无极大值.
【小问2详解】
当 时， 恒成立， ，
由（1）可得 图象如下图所示，
只有一个实数解等价于 与 有且仅有一个交点，
由图象可知：当 或 时， 与 有且仅有一个交点，
实数 的取值范围为 .
19. 已知函数 ．
第16页/共24页
学科网（北京）股份有限公司（1）若 的解集为 ，求a，b的值.
（2）若 ，求解不等式 .
【答案】（1）
（2）
当 时， 的解集为 ；
当 时， 的解集为 ；
当 时， 的解集为 .
【解析】
【分析】（1）由已知得方程 的两个实根分别为 ，2，且 ，直接将根代入即可得
出答案；
（2）分类讨论结合判别式即可求解.
【小问1详解】
的解集为 ，
方程 的两个实根分别为 ，2，且 ，
则 ，解得： .
【小问2详解】
中，
当 时，则 ，
第17页/共24页
学科网（北京）股份有限公司化为 ，
若 时，即 ，解得 ，
若 时，即 ，无解，
若 时，即 ，解得 ；
综上，当 时， 的解集为 ；
当 时， 的解集为 ；
当 时， 的解集为 .
20. 我国承诺2030年前达到“碳达峰”，2060年实现“碳中和”，“碳达峰”就是我们国家承诺在2030年前，二
氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；而到2060年，针对排放的二氧化碳要采取植树、节
能减排等各种方式全部抵消掉，这就是“碳中和”，做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成
的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.某校为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成良好的垃圾分类的习惯，
团委组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛，
甲、乙、丙三队参加竞赛，已知甲队通过初赛、复赛的概率均为 ，乙队通过初赛、复赛的概率均为 ，
丙队通过初赛、复赛的概率分别为p， ，其中 ，三支队伍是否通过初赛和复赛互不影响.
（1）求p取何值时，丙队进入决赛的概率最大；
（2）在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数X的分布列及均值.
【答案】（1） ；
第18页/共24页
学科网（北京）股份有限公司（2）分布列答案见解析，数学期望： .
【解析】
【分析】（1）由概率的乘法公式可得 ，再由二次函数知识可求解；
（2）由二项分布可求解.
【小问1详解】
由题知：丙队通过初赛和复赛的概率 ，
又因为 ，所以 .
所以，当 时，丙队进入决赛的概率最大为 .
【小问2详解】
由（1）知：
甲､乙､丙三队进入决赛的概率均为 ，
因为进入决赛的队伍数 ，
所以 ；
；
；
.
第19页/共24页
学科网（北京）股份有限公司所以，随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以， .
21. 某公司为了解年研发资金投入量x（单位:亿元）对年销售额y（单位:亿元）的影响.对公司近12年的年
研发资金投入量x和年销售额y的数据，进行了对比分析，建立了两个模型:① ，② ，
i i
其 中 α ， β ， λ ， t 均 为 常 数 ， e 为 自 然 对 数 的 底 数 ， 并 得 到 一 些 统 计 量 的 值 . 令
，经计算得如下数据:
20 66 77 2 460 4.20
31250 215 3.08 14
（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?
（2）（ⅰ）根据分析及表中数据，建立y关于x的回归方程;
（ⅱ）若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?
附 :① 相 关 系 数 ， 回 归 直 中 公 式 分 别 为
第20页/共24页
学科网（北京）股份有限公司;
②参考数据： .
【答案】（1）模型②的拟合程度更好
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）21.67亿元.
【解析】
【分析】（1）根据题中数据分别计算r，r，根据相关系数的性质分析判断；
1 2
（2）根据题中数据求回归方程，并根据所得方程进行回归分析.
【小问1详解】
设模型①和②的相关系数分别为r，r.
1 2
由题意可得： ，
，
所以 ，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好.
【小问2详解】
（ⅰ）由（1）知，选择模型②.
先建立v关于x的线性回归方程，
因为 ，可得 ，即 ，
可得 ，
所以v关于x的线性回归方程为 ，即 ；
第21页/共24页
学科网（北京）股份有限公司（ⅱ）下一年销售额需达到90亿元，即 ，
代入 ，得 ，
因为 ，则 ，
所以 ，
故预测下一年的研发资金投入量约是21.67亿元.
的
22. 已知函数 在 处 切线方程为
的
（1）求实数 ， 值；
（2）设函数 ，当 时， 恒成立，求 最小值．
的
【答案】（1） ，
（2）0
【解析】
【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；
（2）当 时， 恒成立，只要 即可，利用导数求出 上
的最大值即可得出答案.
【小问1详解】
定义域为 ， ，
由题意知 ，
解得 ， ；
【小问2详解】
第22页/共24页
学科网（北京）股份有限公司，
则 ，
令 ，其中 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，
因为 ， ，所以存在唯一 ，
使得 ，即 ，可得 ，
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减．
所以当 时， ，
因为 ， ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
又因 ，所以 ，
即 ，因为 ， ，
所以当 时， ，
第23页/共24页
学科网（北京）股份有限公司因为当 时， 恒成立，
所有 .
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键点在于把恒成立问题通过分离参数转化为新函数的最值问题，转
化后利用导数判断出其定义域上的单调性求出值域或最值问题就解决了.
第24页/共24页
学科网（北京）股份有限公司
