精品解析：湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题（解析版）_2026届湖南省雅礼中学高三下学期开学考试_湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题

湖南长沙市雅礼中学 2025-2026 学年高三下学期开学考试数学试题 命题人；薛祖山 审题人：张鎏 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本 试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 2 -i2026 1. 在复平面内，复数 1+i 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先化简复数，再利用复数的几何意义求解. 2 21-i 【详解】复数 -i2026 = -i2 =1-i--1=2-i， 1+i 1+i1-i 其在复平面内所对应的点 2,-1 位于第四象限， 故选：D． ì1,x>0 ï 2. 已知符号函数sgnx=í0,x=0 ，则“sgna´sgnb>0”是“ab>0”的（ ） ï -1,x<0 î A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 . 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目所给的符号函数直接得到sgna´sgnb>0等价于ab>0即可. 第1页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 公众号：高考试卷君【详解】若sgna´sgnb>0，则sgna,sgnb 同号， ìïsgna=1 ìïsgna=-1 所以í 或í ， ïî sgnb=1 ïî sgnb=-1 ìa>0 ìa<0 即í 或í ，即ab>0， îb>0 îb<0 所以“sgna´sgnb>0”是“ab>0”的充要条件. 故选：A r   r   r r æ 3πö 3. 已知向量a = -1, 3 ,b = 2,- 3 ,a与b 的夹角为q，则sin ç q- ÷ =（ ） è 2 ø 3 5 5 5 5 7 5 7 A. B. - C. - D. 7 7 14 14 【答案】C 【解析】 【分析】先由题意依次求出a r ×b r 、 a r 和 b r ，进而由向量夹角余弦公式求出cosq，再根据三角函数诱导 公式即可求解. r 【详解】由题a r ×b = (-1)´2+ 3´(- 3)= -2-3= -5， r r |a|= (-1)2 +( 3)2 = 1+3 =2,|b|= 22 +(- 3)2 = 4+3 = 7， r r a×b -5 5 7 \cosq= r r = =- ， |a||b| 2 7 14 æ 3πö æ 3πö 5 7 所以sin q- =cosq,\sin q- =- ． ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø 14 故选：C． 4. 下列结论中，错误的是（ ） A. 数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为6 B. 若随机变量x~ N  1,s2 ,Px£ -2=0.21，则Px£4=0.79 C. 已知经验回归方程为y =bx+1.8，且x =2,y =20，则b =9.1 D. 根据分类变量X 与Y 成对样本数据，计算得到c2 =9.632，依据小概率值a=0.001的c2独立性检验 x =10.828 ，可判断X 与Y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 0.001 第2页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 公众号：高考试卷君【答案】D 【解析】 【分析】A选项，将数据排序后，根据百分位数的定义得到答案；B选项，由正态分布的对称性得到答案； C选项，将样本中心点代入回归方程，求出b =9.1；D选项，由c2 =9.632<10.828得到D错误. 【详解】A选项，数据4，1，6，2，9，5，8排序后得到1，2，4，5，6，8，9， 7´600 =4.2，故选取第5个数据作为第60百分位数，即为6，A正确； 0 B选项，因为x : N  1,s2 ，根据对称性可知Px³4= Px£-2=0.21， 故Px£4=1-0.21=0.79，B正确； C选项，已知经验回归方程为y =bx+1.8，且x =2,y =20，则2b +1.8=20， 解得b =9.1，C正确； D选项，c2 =9.632<10.828，故不能得到此结论，D错误 故选：D 5. 白舍窑位于江西省南丰县白舍镇，是宋元时期“江西五大名窑”，其瓷器以白瓷最为闻名，素有“白如 玉，薄如纸”的特点．如图是白舍窑生产的一款斗笠型茶杯，茶杯外形上部为一个圆台，下部实心且外形 为圆柱．现测得底部直径为6cm，上部直径为12cm，茶杯侧面与水平面的夹角为60°，则该茶杯容量（茶 杯杯壁厚度忽略不计）约为（ ）（单位：cm3） 56 3 112 A. π B. 19 3π C. π D. 63 3π 3 3 【答案】D 【解析】 【分析】圆台的体积即为该茶杯容量，求出圆台的高，进而利用圆台体积公式求出答案. 【详解】圆台的体积即为该茶杯容量，如图，AB=6cm，CD=12cm， 过点A,B分别作AE⊥CD，BF ⊥CD于点E,F， 第3页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 公众号：高考试卷君12-6 则EF = AB=6cm，DE = =3cm， 2 其中圆台的高为AE = DE×tan60°=3 3cm， é 2 2 2 2ù 1 æ6ö æ12ö æ6ö æ12ö 故圆台体积为 êπ× ç ÷ +π× ç ÷ + π× ç ÷ ×π× ç ÷ ú×3 3 =63 3π cm3. 3ê è2ø è 2 ø è2ø è 2 ø ú ë û 故选：D 3 6. 已知sina+b= ，tana=2tanb，则sina-b=（ ） 5 1 1 2 3 A. - B. C. D. 5 5 5 5 【答案】B 【解析】 【分析】先切化弦，得到sinacosb=2cosasinb，再结合两角和与差的正弦公式可求值. sina sinb 【详解】由tana=2tanbÞ =2× Þ sinacosb=2cosasinb. cosa cosb 3 3 由sina+b= Þ sinacosb+cosasinb= . 5 5 ì 2 ì 3 sinacosb= ïsinacosb+cosasinb= ï ï 5 由í 5 Þ í . 1 ï îsinacosb=2cosasinb ï cosasinb= ïî 5 2 1 1 所以sina-b= sinacosb-cosasinb= - = . 5 5 5 故选：B 7. 已知函数 f x=2-x -2x，若不等式 f ax+1+ f lnx>0在 0,+¥ 上恒成立，则实数a的取值范 围是（ ） æ 2 ö æ 2ö A. ç - ,+¥ ÷ B. -1,+¥ C. ç -¥,- ÷ D. -¥,-1 è e ø è eø 【答案】D 第4页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 公众号：高考试卷君【解析】 【分析】判断函数 f x=2-x -2x的奇偶性以及单调性，从而将不等式 f ax+1+ f lnx>0在 0,+¥ 上恒成立，转化为ax+1<-lnx在 0,+¥ 上恒成立，参变分离，再结合构造函数，利用导数求得函数的最 小值，即可得答案. 【详解】由于函数 f x=2-x -2x，定义域为R，满足 f -x=2x -2-x =-f x ， 得 f x 是奇函数，且在R上为减函数. Q f ax+1+ f lnx>0在 0,+¥ 上恒成立，\ f ax+1>-f lnx= f -lnx 在 0,+¥ 上恒成 立， lnx+1 \ax+1<-lnx在 0,+¥ 上恒成立，\a<- 在 0,+¥ 上恒成立. x lnx+1 lnx 令gx=- ,xÎ0,+¥，则g¢x= ， x x2 当0< x<1时，g¢x<0，当x>1时，g¢x>0， 故gx 在 0,1 上单调递减，在 1,+¥ 上单调递增， \gx³ g1=-1,\a<-1，即a的取值范围为 -¥,-1 ， 故选：D. 8. 设N 为正整数，在平面直角坐标系xOy中，若Cmx2 +Cn y2 =1(0£m£ N,0£n£ N ，且m,nÎZ） N N 恰好能表示出12个不同的椭圆方程，则N 的一个可能取值为（ ） A. 12 B. 8 C. 7 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由于椭圆的系数是从C0 ,C1 ,C2 , CN,中选两个不同的数的排列，所以分N 为偶数和N 为奇数 N N N K N 研究，从而得解. 【详解】根据题意，Cmx2 +Cn y2 =1为椭圆，则Cm ¹Cn ， N N N N 从N +1个数C0 ,C1 ,C2 , CN,中选两个不同的数作为系数， N N N K N N N 当N 为偶数时，去掉重复的数有 +1个数 C0 ,C1 ,C2 , C2, 2 N N N K N æ N ö N NN +2 则任取两个数的排列数为A2 = ç +1 ÷ = 个， N +1 è 2 ø 2 4 2 第5页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 公众号：高考试卷君N +1 N+1 当N 为奇数时，去掉重复的数有 个数 C0 ,C1 ,C2 , C 2 , 2 N N N K N N +1æ N +1 ö N2 -1 则任取两个数的排列数为A2 = ç -1 ÷ = 个， N+1 2 è 2 ø 4 2 由于现在恰好能表示出12个不同的椭圆方程， NN +2 则当N 为偶数时， =12，得N =6， 4 N2 -1 当N 为奇数时， =12，得N =7，所以C正确. 4 故选：C 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. p 9. 已知函数 f x= Asinwx+4f(A>0,w>0,0 ，再利用基本不等式求解. e 【详解】设切点为 x ,y  ，由y =lnx+a 0 0 1 所以y¢= ，且过切点的直线为y =ex+b， x+a ì 1 =e ï 所以有：í x +a Þb=ae-2， 0 ï lnx +a=ex +b î 0 0 2 因为b>0，所以a> ， e e e 1 1 所以a+ =a+ =a+ ³2 a× =2， b+2 ae-2+2 a a 1 当且仅当a= Þa =1时取等号， a 故答案为：[2,+¥). x2 y2 13. 已知双曲线G: - =1的左、右焦点分别为F、F ，点P(4,2)，点Qx ,y  是第一象限内双曲 1 2 0 0 16 9 uuur uuur uuuur uuur QF ×PF F F ×PF 线G上的一点，满足 Q u 1 u F ur 1 = 2 u F u 1 u F ur 1 .记V F 1 PQ、 V F 2 PQ的面积分别为S 1 、S 2 ，则S 1 -S 2 = 1 2 1 ______. 【答案】8 第11页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 公众号：高考试卷君【解析】 【分析】设 QFF的内切圆与三边分别相切于D,E,G，利用切线长相等求得内切圆圆心横坐标为a，又 V 1 2 uuur uuur uuuur uuur QF ×PF F F ×PF 由 u 1 uur 1 = 2 uu 1 uur 1 得P在ÐQFF 的平分线上，进而得到P即为内心，应用双曲线的定义求得面积 QF F F 1 2 1 2 1 差即可. 【详解】 如图，设 QFF的内切圆与三边分别相切于D,E,G，可得QD=QG,FD= FE,F E = FG， V 1 2 1 1 2 2 又由双曲线定义可得QF -QF =2a=8，则QD+DF -QG+GF = DF -GF = EF -EF =2a， 1 2 1 2 1 2 1 2 又EF +EF =2c，解得EF =a+c，则E点横坐标为a，即内切圆圆心横坐标为a. 1 2 1 uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur QF ×PF F F ×PF QF × PF cosÐPFQ F F × PF cosÐPFF 又 u 1 uur 1 = 2 uu 1 uur 1 ，可得 1 u 1 uur 1 = 2 1 u 1 uuur 1 2 ，化简得 QF F F QF F F 1 2 1 1 2 1 cosÐPFQ=cosÐPFF ，即ÐPFQ=ÐPFF ， 1 1 2 1 1 2 即PF 1 是ÐQF 1 F 2 的平分线，由于P4,2 ，a=4，可得P即为 V QF 1 F 2 的内心，且半径r 为2，则 1 1 S -S = r(QF -QF )= ´2´8=8.即S -S =8. △F 1 PQ △F 2 PQ 2 1 2 2 1 2 故答案为：8. 14. 锐角VABC中，角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c，满足a2 =bb+c，a+b=3，则VABC的周长 的取值范围为_______.   【答案】 3 2,3 3 【解析】 第12页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 公众号：高考试卷君12cos2 B-3 【分析】由题意得A=2B，结合正弦定理得a+b+c=3+ ，根据VABC是锐角三角形求出 2cosB+1 cosB的取值范围，通过换元法即可求解. 【详解】因为a2 =bb+c，a2 =b2 +c2 -2bccosA，所以bc=c2 -2bccosA，故b=c-2bcosA， 所以sinB=sinC-2sinBcosA=sinA+B-2sinBcosA=sinAcosB-sinBcosA， 即sinB=sinA-B ， 因为A,BÎ0,π ，所以A-BÎ-π,π ，sinB=sinA-B>0， 所以A-BÎ0,π ，故B= A-B或B+ A-B=π（舍），即A=2B， a+b 3 c 由正弦定理可得 = = ， sinA+sinB sinA+sinB sinC 3sinC 3sinA+B 3sinAcosB+cosAsinB 所以a+b+c=3+ =3+ =3+ sinA+sinB sin A+sinB sinA+sinB 3sin2BcosB+cos2BsinB 6sinBcos2 B+3  2cos2 B-1  sinB 12cos2 B-3 =3+ =3+ =3+ ， sin2B+sinB 2sinBcosB+sinB 2cosB+1 ì π 0< B< ï 2 ï ï π π π 因为VABC是锐角三角形，所以í0<2B< ，解得 < B< ， 2 6 4 ï ï π 00， n n 所以 S = S -1，所以 S - S =1， n n+1 n+1 n   所以数列 S 是公差为1，首项为 S = a =1的等差数列； n 1 1 【小问2详解】   因为数列 S 是公差为1，首项为 S =1的等差数列， n 1 所以 S =1+n-1´1=n， n 所以S =n2，当n=1时，a =1， n 1 当n³2时，a =S -S =n2 -n-12 =2n-1， n n n-1 所以a =2n-1, n 所以b =-1n ×S +a ， n n n T =-S -a +S +a -S -a +S +a + +S +a 2n 1 1 2 2 3 3 4 4 L 2n 2n =S -S +S -S + +S -S -a -a + -a  2 1 4 3 L 2n 2n-1 1 2 L 2n =a +a + +a -a -a + -a  2 4 L 2n 1 2 L 2n =-a +a + +a +2a +a + +a  1 3 L 2n-1 2 4 L 2n na +a  na +a  =- 1 2n-1 +2´ 2 2n 2 2 第14页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 公众号：高考试卷君n1+4n-3 n3+4n-1 =- +2´ 2 2 =-n2n-1+n4n+2=2n2 +3n 16. 在直角梯形ABCD中，AD//BC，BC =2AD=2AB=2 2，ÐABC =90°，如图（1）．把△ABD 沿BD翻折，使得平面ABD^平面BCD． （1）求证：CD^ AB； BN （2）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出 的值；若不存 BC 在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 BN 1 （2）存在点N ，此时 = BC 4 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理可证明CD^平面ABD，再由线面垂直的性质即可得CD^ AB； （2）以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得结果. 【小问1详解】 因为AD//BC，且BC =2AD=2AB=2 2,AB^ BC， 可得AD= AB= 2，BD= AB2 + AD2 =2，  2 又因为ÐDBC =ÐADB=45°，可得CD= 22 + 2 2 -2´2´2 2cos45° =2， 所以BD2 +DC2 = BC2，则CD^BD， 因为平面ABD^平面BCD，平面ABDÇ平面BCD= BD，且CDÌ平面BCD， 所以CD^平面ABD， 又因为ABÌ平面ABD， 所以CD^ AB； 【小问2详解】 因为CD^平面ABD，且BDÌ平面ABD，所以CD^BD， 第15页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 公众号：高考试卷君如图所示，以点D为原点，建立空间直角坐标系， 可得A1,0,1 ，B2,0,0 ，C0,2,0 ，D0,0,0 ， uuur uuur 所以CD=0,-2,0，AD=-1,0,-1． uuur ì ï n r ×CD=-2y =0 设平面ACD的法向量为n r =x,y,z ，则í ， uuur r ïîn×AD=-x-z =0 令x=1，可得y =0,z =-1，所以n r =1,0,-1 ， 假设存在点N ，使得AN与平面ACD所成角为60o， 设 u B u N ur =l u B u C ur ，（其中0≤l≤1），则N2-2l,2l,0 ， u A u N ur =1-2l,2l,-1， uuur r n×AN 1-2l+1 3 所以sin60°= uuur = = ， n r AN 1-2l2 +2l2 +-12 ´ 2 2 1 1 整理得8l2 +2l-1=0，解得l= 或l=- （舍去）， 4 2 BN 1 所以在线段BC上存在点N ，使得AN与平面ACD所成角为60°，此时 = ． BC 4 17. 有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同.某人做摸球答题 游戏.规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题.若答题正确，则将该球放入乙罐；若答 1 题错误，则将该球放回甲罐.此人答对每一道题目的概率均为 .当甲罐内无球时，游戏停止.假设开始时乙 2 罐无球. （1）求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率； （2）设第 n  nÎN*,n³5  次答题后游戏停止的概率为 a .问：a 是否存在最大值?若存在，求出最大 n n 值；若不存在，试说明理由. 9 【答案】（1） ； 40 35 （2）存在，最大值为 . 256 【解析】 第16页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 公众号：高考试卷君【分析】（1）记M =“此人三次答题后，乙罐内恰有红、黑各一球”，记A =“第i次摸出红球，并且答题 i 正确”，i =1,2,3，记B =“第 j次摸出黑球，并且答题正确”， j =1,2,3，记C =“第k次摸出黑球或红 j k 球，并且答题错误”，k =1,2,3，结合全概率公式直接求解即可； （2）第n次后游戏停止的情况是：前n-1次答题正确恰好为4次，答题错误n-5次，且第n次摸出一球 时答题正确，即可直接得到a ，结合概率的性质，即可求解. n 【小问1详解】 记M =“此人三次答题后，乙罐内恰有红、黑各一球”， 记A =“第i次摸出红球，并且答题正确”，i =1,2,3， i 记B =“第 j次摸出黑球，并且答题正确”， j =1,2,3， j 记C =“第k次摸出黑球或红球，并且答题错误”，k =1,2,3， k 所以M = AB C +B AC + AC B +BC A +C A B +C B A ， 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 3 2 1 1 1 1 又PA = ´ = ，P  B A  = ´ = ，P  C AB  =1´ = ， 1 5 2 10 2 1 4 2 4 3 1 2 2 2 所以PAB C = PAB ×P  C AB  = PA ×P  B A  ×P  C AB  1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 3 1 2 3 1 1 3 = ´ ´ = ， 10 4 2 80 3 同理PB AC = PAC B = PBC A = PC A B = PC B A = ， 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 80 3 9 所以PM= PAB C ´6= ´6= . 1 2 3 80 40 【小问2详解】 ①第n次后游戏停止的情况是：前n-1次答题正确恰好为4次， 答题错误n-5次，且第n次摸出一球时答题正确， 4 n-5 n æ1ö æ1ö 1 æ1ö 所以a =C4 ç ÷ ´ ç ÷ ´ =C4 ç ÷ . n n-1 è2ø è2ø 2 n-1 è2ø n æ1ö ②由①知，a =C4 ， ç ÷ n n-1 è2ø n+1 æ1ö C4 ç ÷ a n è2ø n 所以 n+1 = = ， a æ1ö n 2n-4 n C4 ç ÷ n-1 è2ø 第17页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 公众号：高考试卷君n 令 ³1，解得n£8， 2n-4 n 令 <1，解得n>8，即n³9， 2n-4 a 5 a 10 > L， 35 所以a 的最大值是a =a = . n 8 9 256 18. 已知点F -1,0,F 1,0 ，动点T 满足TF + TF =4，动点T 的轨迹记为C. 1 2 1 2 （1）求C的方程； （2）直线l:x =4与x轴交于点M,B为l上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P,Q. ①证明：直线BP,BF ,BQ的斜率成等差数列； 2 ②e N 经过B,P,Q三点，是否存在点B，使得ÐPNQ=90o？若存在，求 BM ；若不存在，请说明理 由. x2 y2 【答案】（1） + =1 4 3 （2）①证明见解析；②存在， BM = 7 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义，可得曲线C的方程. （2）设直线的方程为y-t =kx-4 ，将直线方程与椭圆方程联立. ①根据直线与椭圆的位置关系，由 D=0可以得到关于 k的一元二次方程，根据韦达定理，可得 2t t k +k = ，再得k = ，所以直线BP,BF ,BQ的斜率成等差数列. BP BQ 3 BF 2 3 2 uuur uuur ②法一：分别用k ,k 表示出P,Q,N 的坐标，结合①中的k +k ，k ×k ，根据NP×NQ=0求t的值即可； 1 2 1 2 1 2 PQ 法二：分别用k ,k 表示出P,Q,N 的坐标，结合①中的k +k ，k ×k ，根据 x = 求t的值即可； 1 2 1 2 1 2 N 2 法三：分别用k ,k 表示出P,Q,N 的坐标，结合①中的k +k ，k ×k ，根据 tanÐPBQ =1求t的值即可； 1 2 1 2 1 2 2 法四：分别用k ,k 表示出P,Q,N 的坐标，结合①中的k +k ，k ×k ，根据 cosÐPBQ = 求t的值即 1 2 1 2 1 2 2 可. 第18页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 公众号：高考试卷君【小问1详解】 因为 TF + TF =4> FF =2， 1 2 1 2 所以C的轨迹是以F,F 为焦点，且长轴长为4的椭圆， 1 2 x2 y2 设C的轨迹方程为 + =1a >b>0，则2a=4，可得a=2. a2 b2 x2 y2 又c=1，所以b2 =a2 -c2 =3，所以C的方程为 + =1. 4 3 【小问2详解】 设B4,t ，易知过B且与C相切的直线斜率存在，设直线方程为y-t =kx-4 ，联立 ìy-t =kx-4 ï íx2 y2 ，消去y得  3+4k2 x2 +8kt-4kx+4(t-4k)2 -12=0， ï + =1 î 4 3 由Δ=64k2(t-4k)2 -4  3+4k2 é4(t-4k)2 -12ù =0，得12k2 -8tk+t2 -3=0, ë û 8t 2t t2 -3 设两条切线BP,BQ的斜率分别为k ,k ，则k +k = = ,k k = . 1 2 1 2 12 3 1 2 12 t t ①证明：设BF 的斜率为k ，则k = = ， 2 3 3 4-1 3 2t 因为k +k = =2k ，所以BP,BF ,BQ的斜率成等差数列. 1 2 3 3 2 ②法1：在y-t =k x-4 中，令x=0，得y =t-4k ，所以P0,t-4k  ， 1 P 1 1 同理，得Q0,t-4k  ，所以PQ的中垂线为y =t-2k +k  . 2 1 2 1 易得BP的中点为 2,t-2k  ，所以BP的中垂线为y =- x-2+t-2k ， 1 k 1 1 第19页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 公众号：高考试卷君ìy =t-2k +k , ï 1 2 联立í 1 解得N  2k k +2,t-2k +k  ， y =- x-2+t-2k , 1 2 1 2 ï k 1 î 1 uuur uuur 所以NP=-2k k -2,2k -2k ，NQ=-2k k -2,2k -2k ， 1 2 2 1 1 2 1 2 要使ÐPNQ=90o，则 u N u P ur × u N u Q ur =0，即4k k +12 -4k -k 2 =0， 1 2 1 2 整理得 k k +1 = k -k ， 1 2 1 2 æ2tö 2 t2 -3 t2 +9 而 k -k = k +k 2 -4k k = -4× = ， ç ÷ 1 2 1 2 1 2 è 3 ø 12 3 t2 -3 t2 +9 所以 +1 = ，解得t2 =7,t =± 7 ，因此 BM = 7， 12 3 故存在符合题意的点B，使得ÐPNQ=90o，此时 BM = 7. 法2：在y-t =k x-4 中，令x=0，得y =t-4k ，因此P0,t-4k  ， 1 P 1 1 同理可得Q0,t-4k  ，所以PQ的中垂线为y =t-2k +k  . 2 1 2 1 易得BP的中点为 2,t-2k  ，所以BP的中垂线为y =- x-2+t-2k ， 1 k 1 1 ìy =t-2k +k , ï 1 2 联立í 1 解得x =2k k +2， y =- x-2+t-2k , N 1 2 ï k 1 î 1 PQ 因为ÐPNQ=90o，所以 x = ，即 2k k +2 =2 k -k ， N 2 1 2 1 2 æ2tö 2 t2 -3 t2 +9 而 k -k = k +k 2 -4k k = -4× = ， ç ÷ 1 2 1 2 1 2 è 3 ø 12 3 t2 -3 t2 +9 所以 +1 = ，解得t2 =7,t =± 7 ，因此 BM = 7， 12 3 故存在符合题意的点B，使得ÐPNQ=90o，此时 BM = 7. 法3：要使ÐPNQ=90o，即ÐPBQ=45o或135o， k -k k -k 从而 tanÐPBQ =1，又tanÐPBQ= 1 2 ，所以 1 2 =1， 1+k k 1+k k 1 2 1 2 第20页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 公众号：高考试卷君æ2tö 2 t2 -3 t2 +9 因为 k -k = k +k 2 -4k k = -4× = ， ç ÷ 1 2 1 2 1 2 è 3 ø 12 3 t2 +9 t2 -3 所以 = 1+ ，解得t2 =7,t =± 7 ，所以 BM = 7， 3 12 故存在符合题意的点B，使得ÐPNQ=90o，此时 BM = 7. uuur uuur BP×BQ 2 法4：要使ÐPNQ=90o，即ÐPBQ=45o或135o，从而 cosÐPBQ = uuur uuur = . BP BQ 2 在y-t =k x-4 中，令x=0，得y =t-4k ，故P0,t-4k  ，同理可得Q0,t-4k  ，因此 1 P 1 1 2 uuur uuur BP=-4,-4k ,BQ=-4,-4k ， 1 2 uuur uuur BP×BQ 16+16k k 2 = 1 2 = 所以 uuur uuur ， BP BQ 4 1+k2 ×4 1+k2 2 1 2 故 21+k k = 1+k2k2 +k2 +k2 ，即2+2k2k2 +4k k =1+k2k2 +k2 +k2， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 整理得k2k2 +6k k +1=k +k 2 ， 1 2 1 2 1 2 æt2 -3ö 2 t2 -3 æ2tö 2 所以ç ÷ +6× +1= ç ÷ ，整理得t4 +2t2 -63=0，解得t2 =7或-9（舍去）， è 12 ø 12 è 3 ø 因此t =± 7, BM = 7 ，故存在符合题意的点B，使得ÐPNQ=90o， 2 此时 BM = 7.法5：要使ÐPNQ=90o，即ÐPBQ=45o或135o，从而sinÐPBQ= . 2 在y-t =k x-4 中，令x=0，得y =t-4k ，故P0,t-4k  ，同理可得Q0,t-4k  ， 1 P 1 1 2 1 1 2 由等面积法得 PQ × x =S = BP × BQ × ， 2 B △PBQ 2 2 1 1 2 即 4k -4k ×4= ×4 1+k2 ×4 1+k2 × ，整理得k +k 2 =k2k2 +6k k +1， 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 æ2tö 2 æt2 -3ö 2 t2 -3 所以 ç ÷ =ç ÷ +6× +1，整理得t4 +2t2 -63=0，解得t2 =7或-9（舍去）， è 3 ø è 12 ø 12 因此t =± 7, BM = 7 ，故存在符合题意的点B，使得ÐPNQ=90o， 此时 BM = 7. 第21页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 公众号：高考试卷君19. 已知a为常数，函数 f x= x  eax +a  +lnx-1. （1）讨论 f x 的单调性； （2）若 f x 有两个零点x ,x x < x  . 1 2 1 2 ①求a的取值范围； ②若x ×xm >em+1恒成立，求m的取值范围. 1 2 【答案】（1）答案见解析 æ 1 ö （2）①ç - ,0 ÷；② 1,+¥ è e ø 【解析】 【分析】（1）根据题意，求导可得 f¢x ，然后分a³0与a <0讨论，即可得到结果； lnx lnx （2）①将函数零点转化为方程-a= 有两个不等实根，然后由导数可得函数hx= 的值域，即可 x x x 1 +m x x 得到结果；②根据题意，由x ×xm >em+1，得lnx +mlnx >m+1，化简可得 2 ×ln 1 >m+1，然 1 2 1 2 x x 1 -1 2 x 2 后换元，构造函数gt=t+mlnt-m+1t-1 ，然后分m£0，00 . x è xø 1 ①当a³0时，因为ax+1>0，eax + >0恒成立， x 所以 f¢x>0，故 f x 在定义域 0,+¥ 上单调递增. 1 ②当a <0时，由 f¢x>0，得ax+1>0，解得0< x<- ； a 1 由 f¢x<0，得ax+1<0，解得x>- . a æ 1ö æ 1 ö 所以 f x 在区间ç 0,- ÷上单调递增，在区间ç - ,+¥ ÷上单调递减. è aø è a ø 【小问2详解】 第22页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 公众号：高考试卷君①由题意，得 f x= xeax +ax+lnx-1=eax+lnx +ax+lnx-1. 令ax+lnx=u，则 f x=eu +u-1. 易知y =eu +u-1为增函数，由 f x=0，解得u =0， 即lnx=-ax. lnx 由题意，关于x的方程lnx=-ax即-a= 有两个不等实根. x lnx 1-lnx 设函数hx= ，则h¢x= . x x2 由h¢x>0，得0e . 所以hx 在区间 0,e 上单调递增，在区间 e,+¥ 上单调递减， 1 所以hx =he= . max e 又当x0时，hx-¥；当x+¥时，hx0， 1 æ 1 ö 所以0<-a< ，所以a的取值范围是ç - ,0 ÷. e è e ø ②由已知，得lnx =-ax ，lnx =-ax . 1 1 2 2 两式相减，得lnx -lnx =-ax -x  ， 1 2 1 2 lnx -lnx 故-a= 1 2 . x -x 1 2 由x ×xm >em+1，得lnx +mlnx >m+1， 1 2 1 2 故-ax +mx >m+1. 1 2 lnx -lnx lnx -lnx 将-a= 1 2 代入，得 1 2 x +mx >m+1， x -x x -x 1 2 1 2 1 2 x 1 +m x x 即 2 ×ln 1 >m+1. x x 1 -1 2 x 2 x t+m 令t = 1 0m+1， x t-1 2 即 t+mlnt-m+1t-1<0. 第23页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 公众号：高考试卷君m 设函数gt=t+mlnt-m+1t-1 ，其中00，所以g¢t 在区间 0,1 上单调递增，故g¢t< g¢1=0. 所以gt 在区间 0,1 上单调递减， 故gt> g1=0，不符合题意. ②当00，得m g1=0，不符合题意. ③当m³1时，G¢t<0，所以g¢t 在区间 0,1 上单调递减，故g¢t> g¢1=0. 所以gt 在区间 0,1 上单调递增， 故gt< g1=0，满足题意. 综上所述，m的取值范围是 1,+¥ . 【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数零点问题以及利用导数研究不等式恒成立问题，难 度较大，解答本题的关键在于合理构造函数，然后通过导数知识求解. 第24页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 公众号：高考试卷君永久高中群【无水印】 1.包含服务： 每一年的高一高二高三群免费进，好处就是每年都可以免费进入我们提供高中群， 不用每年缴费，一次付费，永久享受，包含到高一到高三的。 2.资料覆盖： 整个高中的所有资料，包含每年每个年级最新的高中群（含高一到高三的） 3.资料包含： 整个高中的最新模拟卷、复习资料、精品资料等等，和高中相关的资料都可以免 费获取 4.入群价格： 目前入群特价199 元（原价 299 元，即将恢复原价） 2026 届高三 VIP 资料【无水印】 资料提供形式：QQ群+网盘群（两个群一起，QQ群每日实时更新，网盘群分类汇 总） 资料包含内容： 1、2022年8月份到2023年6月份高三各地名校卷、各地联考卷、一二模模拟卷 2、2023年8月份到2024年6月份高三各地名校卷、各地联考卷、一二模模拟卷 3、2024年8月份到2025年6月份高三各地名校卷、各地联考卷、一二模模拟卷 4、2025年8月份到2026年6月份高三各地名校卷、各地联考卷、一二模模拟卷（2025年8月开始，每天实时更新） 5、各科知识点总结、笔记、答题模板、全套专题讲义训练、复习讲义、专属精品内部资料等等 进群费用：目前入群特价49元（原价99元，即将恢复原价） 时间期限：资料持续更新到2026年6月高考结束，资料截止更新 2026 高二 VIP 资料【无水印】 资料提供形式：QQ群+网盘群（两个群一起，QQ群实时更新，网盘群分类汇总） 资料包含内容： 1、2025年9月到2026年7月底各地高二月考卷、期中期末卷、联考卷等等 2、2024年9月到2025年7月底各地高二月考卷、期中期末卷、联考卷等等 3、2023年9月到2024年7月底各地高二月考卷、期中期末卷、联考卷等等 4、2022年9月到2023年7月底各地高二月考卷、期中期末卷、联考卷等等 5、2021年9月到2022年7月底各地高二月考卷、期中期末卷、联考卷等等 6、各科知识点总结、笔记、答题模板、全套专题讲义训练、复习讲义、专属精品内 部资料等等 进群费用：目前入群特价49元（原价99元，即将恢复原价） 时间期限：资料持续更新到2026年7月底结束，资料截止更新 2026 高一 VIP 资料【无水印】 资料提供形式：QQ群+网盘群（两个群一起，QQ群实时更新，网盘群分类汇总） 资料包含内容： 1、2025年9月到2026年7月底各地高一月考卷、期中期末卷、联考卷等等 2、2024年9月到2025年7月底各地高一月考卷、期中期末卷、联考卷等等 3、2023年9月到2024年7月底各地高一月考卷、期中期末卷、联考卷等等 4、2022年9月到2023年7月底各地高一月考卷、期中期末卷、联考卷等等 5、2021年9月到2022年7月底各地高一月考卷、期中期末卷、联考卷等等 6、各科知识点总结、笔记、答题模板、全套专题讲义训练、复习讲义、专属精品内部资料等等 进群费用：目前入群特价49元（原价99元，即将恢复原价） 时间期限：资料持续更新到2026年7月底结束，资料截止更新