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2025 年雅礼中学高三冲刺训练检测试题
数学参考答案
数学备课组撰稿
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C D B D A B A A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9 10 11
BCD AD ACD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
9
2
12． ①. 3 ②. 13．48π 14．
ee
7
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
2 1 1
（1）证明：连接AC ,BD.由QC = CD ，得QD = CD ，又PD = AD ，则有PQ // AC ，
1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1
正方体ABCD−ABCD 中，BB ⊥平面ABC D ，AC ⊂平面ABC D ，得BB ⊥ AC ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
又正方形ABC D 中，BD ⊥ AC ，BB ∩BD =B ，BB,BD ⊂平面BBDD，所以AC ⊥
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
平面BBDD，
1 1
由MB ⊂平面BBDD，得AC ⊥MB .又PQ//AC ，所以PQ⊥MB .
1 1 1 1 1 1 1 1 1
（2）DP=DQ=1，PQ= DP2+DQ2 = 2，AB =CB,AP=CQ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Rt�ABP≅Rt�CBQ，
1 1 1 1
BP2 =BQ2 = AP2+AB2 =22+32 =13，有BP=BQ= 13，
1 1 1 1 1 1 1
2
1 PQ 1 1 5
S = PQ⋅ PB2− = × 2× 13− = ，∴
�PQB1 2 1 2 2 2 2
1 5
V =V = ×3×S = .
Q−PMB1 M−PQB1 3 �PQB1 2
（3）如图所示，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD 所在直
1
线为z轴建立空间直角坐标系.
则D(0,0,0)，A(3,0,0)，P(1,0,3)，Q(0,1,3)，当BM =2DM 时，有M(1,1,0)，则M′(1,−1,0)，
PQ=(−1,1,0)，QM′=(1,−2,−3).PM =(0,1,−3)
PQ⋅m=−x +y =0
设m=(x,y ,z )为平面QPM′的一个法向量，∴ 1 1 ，令x =3，得
1 1 1 QM′⋅m=x −2y −3z =0 1
1 1 1
y =3,z =−1，可得m=(3,3,−1).设n=(x ,y ,z )为平面QPM 的一个法向量，∴
1 1 2 2 2
数学答案-1-（共4页）
PQ⋅n=−x +y =0
2 2 ，
PM⋅n= y −3z =0
2 2
令x =3，得y =3,z =1，可得n=(3,3,1).设M′−PQ−M 所成的角为θ∴
2 2 2
m⋅n 9+9−1 17 4ccosA
cosθ= = = 16.（1）证明：由b= ，得
m⋅n 9+9+1× 9+9+1 19 4−a
ab=4b−4ccosA，
由正弦定理得bsinA=4sinB−4sinCcosA=4sin ( A+C )−4sinCcosA=4sinAcosC.
因为sinA≠0，所以b=4cosC.
π
（2）解：因为C = ，所以b=4cosC =2 3，
6
π
由余弦定理得c2 =b2 +a2 −2abcos ，
6
即3=12+a2 −6a，解得a =3，
所以�ABC的周长为3+3 3.
17.（1）数列{a }满足a + a 2 + a 3 +3+ a n =2n，当n≥2时，a + a 2 + a 3 +…+ a n−1 =2(n−1)，
n 1 2 22 2n−1 1 2 22 2n−2
a
两式相减可得， n =2，所以a =2n，当n=1时，a =2=21也满足上式，所以a =2n；
2n−1 n 1 n
n 1 2 3 n 1 1 2 3 n−1 n
（2）由（1）得b = ，所以T 3 ，则 T = + + +3+ + ，
n 2n n 2 22 23 2n 2 n 22 23 24 2n 2n+1
1 1
两式相减的， 1 T = 1 + 1 + 1 +3+ 1 − n = 2 (1− 2n ) − n =1− n+2 ，所以T =2− n+2 ．
2 n 2 22 23 2n 2n+1
1−
1 2n+1 2n+1 n 2n
2
18.（1）由椭圆方程可知：a= 2,b=1,c= a2 −b2 =1，
则F(−1,0)，显然直线AB的斜率存在，
1
设直线AB的方程为y =k(x+2)(k ≠0)，A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
x2
+ y2 =1
联立 2 消去y得，(1+2k2)x2 +8k2x+8k2 −2=0，
y =k(x+2)
1
所以∆=(8k2)2 −4(1+2k2)(8k2 −2)=8(1−2k2)>0，即00，则h ( x )在( 0,+∞)上单
x x
1 1
调递增．由h = e−1−ln2<0，可得x > ．
2 1 2
S = AB 2 =2 ( x −x )2 =2 ( ex 1 −x )2 ．
2 1 1
令ϕ(
x
)=ex −x，则ϕ′(
x
)=ex −1，当x∈( 0,+∞)时，ϕ′(
x
)>0,ϕ(
x
)单调递增，则
1
ϕ( x )=ex 1 −x > e− >0,
1 1 2
2
( )2 1
从而S =2 ex 1 −x >2 e− ．
1 2
数学答案-4-（共4页）
