雅礼中学2025届高三冲刺卷数学答案_2025年5月_2505192025届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期冲刺模拟训练（全科）_2025届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期冲刺模拟训练数学试题

2025 年雅礼中学高三冲刺训练检测试题
数学参考答案
数学备课组撰稿
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C D B D A B A A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9 10 11
BCD AD ACD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
9
2
12． ①. 3 ②. 13．48π 14．
ee
7
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
2 1 1
（1）证明：连接AC ,BD.由QC = CD ，得QD = CD ，又PD = AD ，则有PQ // AC ，
1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1
正方体ABCD−ABCD 中，BB ⊥平面ABC D ，AC ⊂平面ABC D ，得BB ⊥ AC ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
又正方形ABC D 中，BD ⊥ AC ，BB ∩BD =B ，BB,BD ⊂平面BBDD，所以AC ⊥
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
平面BBDD，
1 1
由MB ⊂平面BBDD，得AC ⊥MB .又PQ//AC ，所以PQ⊥MB .
1 1 1 1 1 1 1 1 1
（2）DP=DQ=1，PQ= DP2+DQ2 = 2，AB =CB,AP=CQ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Rt�ABP≅Rt�CBQ，
1 1 1 1
BP2 =BQ2 = AP2+AB2 =22+32 =13，有BP=BQ= 13，
1 1 1 1 1 1 1
2
1 PQ 1 1 5
S = PQ⋅ PB2−  = × 2× 13− = ，∴
�PQB1 2 1  2  2 2 2
1 5
V =V = ×3×S = .
Q−PMB1 M−PQB1 3 �PQB1 2
（3）如图所示，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD 所在直
1
线为z轴建立空间直角坐标系.
则D(0,0,0)，A(3,0,0)，P(1,0,3)，Q(0,1,3)，当BM =2DM 时，有M(1,1,0)，则M′(1,−1,0)，
  
PQ=(−1,1,0)，QM′=(1,−2,−3).PM =(0,1,−3)
 
  PQ⋅m=−x +y =0
设m=(x,y ,z )为平面QPM′的一个法向量，∴  1 1 ，令x =3，得
1 1 1 QM′⋅m=x −2y −3z =0 1
1 1 1
 
y =3,z =−1，可得m=(3,3,−1).设n=(x ,y ,z )为平面QPM 的一个法向量，∴
1 1 2 2 2
数学答案-1-（共4页） 
 PQ⋅n=−x +y =0
  2 2 ，
PM⋅n= y −3z =0
2 2 
令x =3，得y =3,z =1，可得n=(3,3,1).设M′−PQ−M 所成的角为θ∴
2 2 2
 
m⋅n 9+9−1 17 4ccosA
cosθ=   = = 16.（1）证明：由b= ，得
m⋅n 9+9+1× 9+9+1 19 4−a
ab=4b−4ccosA，
由正弦定理得bsinA=4sinB−4sinCcosA=4sin ( A+C )−4sinCcosA=4sinAcosC.
因为sinA≠0，所以b=4cosC.
π
（2）解：因为C = ，所以b=4cosC =2 3，
6
π
由余弦定理得c2 =b2 +a2 −2abcos ，
6
即3=12+a2 −6a，解得a =3，
所以�ABC的周长为3+3 3.
17.（1）数列{a }满足a + a 2 + a 3 +3+ a n =2n，当n≥2时，a + a 2 + a 3 +…+ a n−1 =2(n−1)，
n 1 2 22 2n−1 1 2 22 2n−2
a
两式相减可得， n =2，所以a =2n，当n=1时，a =2=21也满足上式，所以a =2n；
2n−1 n 1 n
n 1 2 3 n 1 1 2 3 n−1 n
（2）由（1）得b = ，所以T    3 ，则 T = + + +3+ + ，
n 2n n 2 22 23 2n 2 n 22 23 24 2n 2n+1
1 1
两式相减的， 1 T = 1 + 1 + 1 +3+ 1 − n = 2 (1− 2n ) − n =1− n+2 ，所以T =2− n+2 ．
2 n 2 22 23 2n 2n+1
1−
1 2n+1 2n+1 n 2n
2
18.（1）由椭圆方程可知：a= 2,b=1,c= a2 −b2 =1，
则F(−1,0)，显然直线AB的斜率存在，
1
设直线AB的方程为y =k(x+2)(k ≠0)，A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
x2
 + y2 =1
联立 2 消去y得，(1+2k2)x2 +8k2x+8k2 −2=0，

y =k(x+2)
1
所以∆=(8k2)2 −4(1+2k2)(8k2 −2)=8(1−2k2)>0，即0<k2 < .
2
8k2 8k2 −2
且x +x =− ,x x = ，
1 2 1+2k2 1 2 1+2k2
 
因为AF ⊥ BF ，所以AF ⋅BF =0，
1 1 1 1
所以(−1−x ,−y )(−1−x ,−y )=0，即1+x +x +x x + y y =0，
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
所以1+x +x +x x +k(x +2)⋅k(x +2)=0，
1 2 1 2 1 2
整理得(1+2k2)(x +x )+(1+k2)x x +1+4k2 =0，
1 2 1 2
8k2 (1+k2)(8k2 −2)
即(1+2k2)(− )+ +1+4k2 =0，
1+2k2 1+2k2
1
化简得4k2 −1=0，即k=± 满足条件，
2
1 1
所以直线AB的方程为y = (x+2)或 y =− (x+2)，
2 2
数学答案-2-（共4页）即直线AB的方程为x−2y+2=0或x+2y+2=0.
（2）由题意，F (1,0)，
2
设直线l 的方程为y =k(x+1)，C(x ,y ),D(x ,y )，
1 3 3 4 4
1
则直线l 的方程为y =− (x+1)，E(x ,y ),F(x ,y )，
2 5 5 6 6
2k
x2
 + y2 =1
联立 2 消去y得(1+2k2)x2 −4k2x+2k2 −2=0，

y =k(x−1)
4k2 2k2 −2
所以x +x = ,x x =
3 4 1+2k2 3 4 1+2k2
x +x 2k2 k
所以x = 3 4 = , y =k(x −1)=−
M 2 1+2k2 M M 1+2k2
2k2 −k
所以M( , )，
1+2k2 1+2k2
x2

+ y2 =1
 2
同理联立 消去y得(1+2k2)x2 −2x+1−4k2 =0，
 1
y =− (x−1)
 2k
2 1−4k2
所以x +x = ,x x =
5 6 1+2k2 5 6 1+2k2
x +x 1 1 k
所以x = 5 6 = , y =− (x −1)=
N 2 1+2k2 N 2k N 1+2k2
1 k
所以N( , )，
1+2k2 1+2k2
1
即MN的中点T( ,0).
2
1 1 2k 1 |k| 1 1 2
S = |OT || y − y |= | |= × = × ≤
所以 �OMN 2 M N 4 1+2k2 2 1+2k2 2 1 8 ，
+2|k|
|k|
1 2
当且仅当2|k|= ，即k =± 时取等号，
|k|
2
2
所以�OMN的面积最大值为 .
8
1  1 1
19．（1）解：（i）因为点A ,y 在曲线 f ( x )= x上，所以y = = ．
4 1  1 4 2
1 1
由 f ( x )= x，得 f′( x )= ，则 f′   =1，
2 x 4
1
则曲线y = f ( x )在点A处的切线方程为y = x+ ．
4
（ii）由 f ( x )= x，得g ( x )= x2( x≥0 )．
数学答案-3-（共4页）1 1
根据对称性可设A,D关于直线y = x对称，可得D , ，
2 4
1 1
−
2 2
1 1 1 1 2
4 2
则 AD =  −  +  −  = ,k = =−1．
2 4 4 2 4 AD 1 1
−
2 4
1
若AB⊥ AD，则直线AB的方程为y = x+ ，与曲线y = f ( x )相切，不符合题意．
4
y = x2,
1  1+ 2
若AC ⊥ AD，则直线AC的方程为y = x+ ，联立方程组
1
解得x= 或
4 y = x+ , 2
 4
1− 2
x= （舍去），
2
2 2
1+ 2 3+2 2  1+ 2 1 3+2 2 1 4+ 2
则C , , AC =  −  + −  = ，
     
2 4 2 4 4 2 4
     
2 4+ 2 2 2+1
则该“关联矩形”的面积S = AD AC = × = ．
4 4 8
（2）证明：由 f ( x )=lnx，得g ( x )=ex．
显然 f ( x )−g ( x )<0，根据对称性可设A,D关于直线y = x对称，B,C 关于直线y = x对
称，且AB⊥ AD．设A ( x ,lnx ) ,B ( x ,lnx ) ,C ( x ,ex 3 ) ,D ( x ,ex 4 ) ，其中x < x ,x < x ，
1 1 2 2 3 4 1 2 4 3
且x =lnx ,x =lnx ．
4 1 3 2
因为“关联矩形”是正方形，所以 AB = 2 ( x −x )= 2 ( lnx −lnx )，
2 1 2 1
BC = 2 ( x −x )．由 AB = BC ，得x = x =lnx ．
2 3 1 3 2
由lnx −lnx = x −x ，可得ex 1 −2x +lnx =0．
2 1 2 3 1 1
1 1
令h ( x )=ex −2x+lnx，则h′( x )=ex + −2≥ x+1+ −2>0，则h ( x )在( 0,+∞)上单
x x
1 1
调递增．由h  = e−1−ln2<0，可得x > ．
2 1 2
S = AB 2 =2 ( x −x )2 =2 ( ex 1 −x )2 ．
2 1 1
令ϕ(
x
)=ex −x，则ϕ′(
x
)=ex −1，当x∈( 0,+∞)时，ϕ′(
x
)>0,ϕ(
x
)单调递增，则
1
ϕ( x )=ex 1 −x > e− >0,
1 1 2
2
( )2  1
从而S =2 ex 1 −x >2 e−  ．
1  2
数学答案-4-（共4页）