文档内容
2025 届高三一模
数学
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（共40分）
1. 已知非零向量 满足 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用给定条件结得到 ，再结合向量数量积的定义求解即可.
【详解】由题意得 ，两边平方得 ，
整理得 ，由向量数量积的公式得 ，
而 ，故 ，
因为 ，所以 ，即 ，故B正确.
故选：B
2. 已知点 、 是椭圆 的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点 关于
的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若 ，则椭圆B的离心率为（ ）
A. B. C. D.【答案】B
【解析】
【分析】根据角平分线的对称性质和椭圆的性质得 ，再结合题设得 ，进
而 求 出 ， 再 结 合 椭 圆 的 定 义 以 及 余 弦 定 理
即可求解.
【详解】由题意可知， ，
且 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 即 ，
又 ，所以 ，
所以由余弦定理 得
，整理得 ，所以 即 .
故选：B.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是抓住角平分线的对称性之和椭圆的几何性质求出 ，
关键2是利用 和 的关系求出 ，再在 中结合余弦定理
即可求解.
3. 已知函数 ，若对
恒成立，则 （ ）
A. B. 16 C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】 分别代入解析式，求出 即可.
【详解】当 ，则 ，
，
由于 ，则 ，则 ；经检验适合题意.
故 .
故选：B
4. 已知曲线 在点 处的切线与抛物线 也相切，则实数 的值为（ ）
A. 0 B. C. 1 D. 0或1
【答案】C
【解析】【分析】先利用导数的几何意义求出 在 处的切线方程，与抛物线方程联立，利用
求出 的值，再验证可得答案.
【详解】 ， ，
所以曲线 在点 处的切线为： ，即 ．
联立 与 ，得 ，依题意可知 ，所以 或1．
是
当 时， 不 抛物线，舍去．
故选：C
5. 已知函数 ，若 在 上有且仅有四个不相等的实数根，则
的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据辅助角公式可得 ，作出 的图象，结合图形
即可求解.
【详解】 ，
作出 的图象，如图所示，结合图形可知，若 在 上有且仅有4个不等的实数根，
则 且 ，
即 的取值范围为 .
故选：D
6. 设 ， ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数 ，由 的单调性可知 ，所以 ，再由
可得 ，所以 ，即可得出答案.
【详解】构造函数 ， 的定义域为 ，
，令 可得： ，令 可得： ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．故 ，即 ，
变形可得 ，即 ，所以 ；
又 ，所以 ，又因为 ，
所以 ，综上， ，
故选：B．
7. 已知三棱锥 的底面积 是边长为 的正三角形， 点在侧面 内的射影 为
的垂心，二面角 的平面角的大小为 ，则 的长为（ ）
A. 3 B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【详解】连结 交 于点 ，连结 ，设 在底面 内的射影为 ，则 平面 ，连结
交 于点∵ 点在侧面 内的射影 为 的垂心
∴ 平面 ，
∴
∵ ， 平面 ， 平面
∴ 平面
∴
∵ 平面 ， 平面
∴
∵ ， 平面 ， 平面
∴ 平面
∵ 平面
∴
同理可证
∴ 是 的垂心
∴三棱锥 为正三棱锥
∵三棱锥 的底面 是边长为 的正三角形
∴ ， ，则
∵二面角 的平面角的大小为
∴ 为二面角 的平面角
在 中， ，
∴
在 中， ，∴
故选C
点睛：本题重点考查空间中点线面的位置关系，属于中档题．首先，判断三棱锥 为正三棱锥，
然后，根据异面直线所成的角的定义可得 为二面角 的平面角，解直角三角形即可得解.
8. 已知函数 在 有且仅有两个零点，且 ，则 图象的
一条对称轴是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数的零点情况，求出 的取值范围，再利用给定等式分析判断函数图象的对称轴即可得解.
【详解】由函数 在 有且仅有两个零点，
得 ，解得 ，则 ，
又 ，而 ，当 时， ， ，
由 ，得 ，当 时， ，
即函数 在 有3个零点，不符合题意，
因此 是函数 图象的一条对称轴，即 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，均不符合题意；当 时， ，得 ，则 图象的对称轴为 .
故选：C
【点睛】关键点睛：涉及三角函数在指定区间上的零点个数求参数范围，利用五点法作图思想分析周期情
况是解题的关键.
二、多选题（共18分）
9. 已知函数 ，对于任意实数 ， ，下列结论成立的有（ ）
A.
B. 函数 在定义域上单调递增
C. 曲线 在点 处的切线方程是
.
D 若 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对函数 求导，判断其单调性，再求出最值，以及在某点处的切线方程,判定ABC,构造
新函数，借助导数研究最值判定D即可.
【详解】对A，对 求导，
令 ，即 ，解得 .
当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增.
所以函数 在处取得最小值，即 ，所以 ，A选项正确.
对B，由上述分析可知， 上函数 单调递减， 上函数 单调递增，B选项错误.
对C，由于 切线斜率为0，在点 ，切线方程为 ，C选项正
确.
对D，因为 ，则 .则 .
令 则 ，
则 在 单调递增.故 .
即 ，即 .D选项正确.
故选：ACD
10. 已知复数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】举出反例即可判断A；根据复数的乘法运算及复数的模的公式即可判断 B；根据复数加减法的几
何意义及坐标表示即可判断CD.
【详解】对于A，设 ，显然 ，
但 ，故A错；
对于B，设 ，
则 ，
，
，
所以 ，故B对；
对于CD，根据复数的几何意义可知，复数 在复平面内对应向量 ，
复数 对应向量 ，复数加减法对应向量加减法，故 和 分别为 和 为邻边构成平行四边形的两条对角线的长度，
所以 ， ，故C对，D对.
故选：BCD.
11. 某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的1名体育生组成甲组，3名非体育生的
篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛.具体规则为甲组的同学连续投球3次，乙组的同学每人各投球1
次.若甲组同学和乙组3名同学的命中率依次分别为 ，则（ ）
A. 乙组同学恰好命中2次的概率为
B. 甲组同学恰好命中2次的概率小于乙组同学恰好命中2次的概率
C. 甲组同学命中次数的方差为
D. 乙组同学命中次数的数学期望为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，利用概率乘法和加法公式，可判定A错误；根据独立重复试验的概率公式，可得判定
B正确，结合二项分布的方差，可判定 C中，由乙组同学命中次数为随机变量 的所有可能取值为
，求得相应的概率，结合期望的公式，可判定D正确.
【 详 解 】 对 于 A 中 ， 设 “ 乙 组 同 学 恰 好 命 中 2 次 ” 为 事 件 ， 则
，所以A错误；
对于B中，设“甲组同学恰好命中2次”为事件 ，则 ，因为 ，所以B正
确；对于C中，因为甲组同学每次命中的概率都为 ，设甲组同学命中次数为 ，则 ，可得
，所以C正确；
对于D中，设乙组同学命中次数为随机变量 ，则 的所有可能取值为 ，
所以 ，
，
，
故 ，所以D正确.
故选：BCD.
三、填空题（共15分）
12. 已知 三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， 成等比数列，
， ， 成等差数列，则 ______.
【答案】
【解析】
【详解】由题，
由正弦定理可得： ③由正弦定理， 故 ，
由余弦定理：
代入得：
所以 ，故 .
故答案为： .
13. 已知正方体 的棱长为 3，垂直于棱 的截面分别与面对角线 ，
相交于点 ，则四棱锥 体积的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先通过面面平行的性质以及垂直关系得到四边形 为矩形，设 到平面 的距离为
，表示出体积，然后利用导数求最值.
【详解】已知正方体 垂直于棱 的截面分别与面对角线 ， 相交于
点 ，
则面 面 ，又面 面 ，面 面 ，
所以 ，同理 ，所以 ，同理 ，
即四边形 为平行四边形，又 ，所以 ，
所以四边形 为矩形，又 ，
设 到平面 的距离为 ，
则 ，所以 ，
所以四棱锥 体积
所以 ，当 时， ，当 时， ，
当 时，四棱锥 体积最大值 .
故答案为： .
14. 对于非空集合 ，定义函数 已知集合 ，若存
在 ，使得 ，则实数 的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由函数的定义可得 可取 ，即可得到 的取值范围.
【详解】由题知： 可取 ，若 .则 ，
即集合 ，得 ，即 的取值范围为 .
故答案为：
四、解答题（共77分）
15. 在 中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知 ， ， 是等差数列．
（1）若a，b，c是等比数列，求 ；
（2）若 ，求 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用等差数列和等比数列的中项性质，结合同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，
化简求得 ；
（2）由（1）得 ，再借助角 的值，以及两角和与差的余弦公式即可求解.
【小问1详解】
因为a，b，c是等比数列，所以 ，有 ，
因为 ， ， 是等差数列，所以 .
故 .所以 ．
【小问2详解】
由（1）的过程可知 ，若 ，则 .
又由 ，得
，
故 ．
16. 记 的内角 ， ， 的对边分别 ， ， ，已知 ．
（1）求 ；
（2）设 是边 中点，若 ，求 ．
【答案】（1）
（2） ．
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及辅助角公式求解.
（2）利用和角的正弦公式求出 ，再利用向量数量积的运算律及正弦定理求解.
【小问1详解】
在 中，由正弦定理及 ，
得 ，又 ，
则 ，而 ，化简得 ，即 ，而 ，因此 ，
所以 .
【小问2详解】
在 中，由 ，得 ， ，
由正弦定理 ，得 ，由 是边 中点，得 ，
则 ，因此 ，
在 中，由正弦定理 ，得 .
17. 如图，在多面体 中，四边形 与 均为直角梯形，平面 平面 ，
， ， ， ， ，且 .
（1）已知点 为 上一点，且 ，证明： 平面 ；
（2）若平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）【解析】
【分析】（1）连接 交 于点 ，取 中点为 ，易证四边形 为平行四边形，从而 为
中点， 为中位线， ，由平行关系的传递性得到 且 ，从而四边形
为平行四边形，得到 ，再利用线面平行的判定定理证明；
（2）以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系， ，分别求得平面 的一个法向量为
，平面 的法向量为 ，根据平面 与平面 所成锐二面角的余弦
值为 ，由 求得a，再由点C到平面 的距离 求解.
【小问1详解】
证明：如图，
连接 交 于点 ，取 中点为 ，连接 ， ， ，
在四边形 中， ， ，
故四边形 为平行四边形.
故 为 中点，所以在 中， 为中位线，
则 且 ，又 且 ，故 且 ，即四边形 为平行四边形，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
平面 ，即 平面 .
【小问2详解】
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
以点 为坐标原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴正方向建立空间直角坐标系，
设 ，则 ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
，取
由平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，
可得 ，
解得 或 （舍去）故 ，又 ，
所以点 到平面 的距离 .
18. 如图，椭圆 过点 ，短轴长为 ，椭圆的左、右顶点分别为 ，
，过椭圆 的右焦点 且与 轴相交的直线与椭圆相交于 ， 两点，与抛物线 相交于 ，
两点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 ，求直线 在 轴上截距的范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题知 ，进而解方程即可求得答案；
（2）设 ，进而分别与椭圆和抛物线联立计算弦长 ， ，进而计算面积 ， ，再结合已知求得 ，且 再求直线 在 轴
上截距的范围即可.
【小问1详解】
根据题意得 解得 所以 ，焦点 .
所以椭圆 的方程是： .
【小问2详解】
由题可设直线 方程为： ， ， ， ， .
由 得 ,
由题知 ， ， ,
.
又点 到直线 的距离 ，
.
由 得 ，由题知 ，得 ， .
.， ，解得： 且 ,
或 ，
直线 在 轴上截距的取值范围是 .
19. 根据央视网消息显示，贵州省文旅厅网站5月1日公布《2023年“五一”假期前三天全省文化旅游情
况》，其中显示，假期前三天，根据抽样调查结果，全省接待游客2038.26万人次（用2038万计算），较
2022年假日同期增长 （用 计算），恢复到2019年假日同期水平的 （用 计算）.
某大学旅游管理专业的学生陈枫为了了解“ 红色旅游景区”的游客对景区历史文化背景的知晓情况，随机
抽选了若干名游客进行问卷调查，根据问卷得分，统计如下：
得分
.
频率 010 0.20 0.40 0.20 0.10
（1）求2022年和2019年“五一”假期前三天全省接待游客人次（单位：万），精确到0.01.
（2）根据表格估计“ 红色旅游景区”的游客对景区历史文化背景知晓情况问卷得分的平均水平（同一组
中的数据用该组区间的中点值为代表）.
（3）陈枫为了答谢游客的参与，在问卷得分为 的游客中按 的比例抽选6人作为景
区“幸运游客”，景区在“幸运游客”中随机选取两人评为“五星游客”，求得分为 ､ 的游客中
各有一人评为“五星游客”的概率.
【答案】（1）1435.21万，1940.95万
（2）90 （3） .
【解析】
【分析】（1）根据2022年和2019年和已知数据2023年的数据的比例关系求解；
（2）由表得，平均数等于每一组的平均值乘以频率的和；（3）根据比例，找出得分为 分别抽取2人和4人为“幸运游客”.找出总的组合结果为
15，各一人的结果有8种，从而得到概率.
【小问1详解】
由题可知2022年“五一”假期前三天全省接待游客人次为 万；
2019年同期接待游客人次为 万.
【小问2详解】
由表可得，游客 的平均水平估计为
【小问3详解】
由题意可知，在得分为 中分别抽选了2人（记为 ）和4人（记为 ）为“幸
运游客”.
所以从中选两人的可能结果有： 共15种，
其中各占一人的结果有：
共8种，所以所求概率为 .
