文档内容
湖南长沙市雅礼中学 2025-2026 学年高三下学期开学考试数学试题
命题人；薛祖山 审题人：张鎏
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】先化简复数，再利用复数的几何意义求解.
【详解】复数 ，
其在复平面内所对应的点 位于第四象限，
故选：D．
2. 已知符号函数 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
.
C 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目所给的符号函数直接得到 等价于 即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】若 ，则 同号，
所以 或 ，
即 或 ，即 ，
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：A
3. 已知向量 与 的夹角为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由题意依次求出 、 和 ，进而由向量夹角余弦公式求出 ，再根据三角函数诱导
公式即可求解.
【详解】由题 ，
，
，
所以 ．
故选：C．
4. 下列结论中，错误的是（ ）
A. 数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为6
B. 若随机变量 ，则
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学科网（北京）股份有限公司C. 已知经验回归方程为 ，且 ，则
D. 根据分类变量 与 成对样本数据，计算得到 ，依据小概率值 的 独立性检验
，可判断 与 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001
【答案】D
【解析】
【分析】A选项，将数据排序后，根据百分位数的定义得到答案；B选项，由正态分布的对称性得到答案；
C选项，将样本中心点代入回归方程，求出 ；D选项，由 得到D错误.
【详解】A选项，数据4，1，6，2，9，5，8排序后得到1，2，4，5，6，8，9，
，故选取第5个数据作为第60百分位数，即为6，A正确；
B选项，因为 ，根据对称性可知 ，
故 ，B正确；
C选项，已知经验回归方程为 ，且 ，则 ，
解得 ，C正确；
D选项， ，故不能得到此结论，D错误
故选：D
5. 白舍窑位于江西省南丰县白舍镇，是宋元时期“江西五大名窑”，其瓷器以白瓷最为闻名，素有“白如
玉，薄如纸”的特点．如图是白舍窑生产的一款斗笠型茶杯，茶杯外形上部为一个圆台，下部实心且外形
为圆柱．现测得底部直径为6cm，上部直径为12cm，茶杯侧面与水平面的夹角为 ，则该茶杯容量（茶
杯杯壁厚度忽略不计）约为（ ）（单位： ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】圆台的体积即为该茶杯容量，求出圆台的高，进而利用圆台体积公式求出答案.
【详解】圆台的体积即为该茶杯容量，如图， cm， cm，
过点 分别作 ⊥ ， ⊥ 于点 ，
则 cm， cm，
其中圆台的高为 cm，
故圆台体积为 .
故选：D
6. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】先切化弦，得到 ，再结合两角和与差的正弦公式可求值.
【详解】由 .
由 .
由 .
所以 .
故选：B
7. 已知函数 ，若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范
围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判断函数 的奇偶性以及单调性，从而将不等式 在
上恒成立，转化为 在 上恒成立，参变分离，再结合构造函数，利用导数求
得函数的最小值，即可得答案.
【详解】由于函数 ，定义域为R，满足 ，
得 是奇函数，且在R上为减函数.
在 上恒成立， 在 上恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司在 上恒成立， 在 上恒成立.
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
，即a的取值范围为 ，
故选：D.
8. 设 为正整数，在平面直角坐标系 中，若 ，且 ）
恰好能表示出12个不同的椭圆方程，则 的一个可能取值为（ ）
A. 12 B. 8 C. 7 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由于椭圆的系数是从 中选两个不同的数的排列，所以分 为偶数和 为奇
数研究，从而得解.
【详解】根据题意， 为椭圆，则 ，
从 个数 中选两个不同的数作为系数，
当 为偶数时，去掉重复的数有 个数
则任取两个数的排列数为 个，
当 为奇数时，去掉重复的数有 个数
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学科网（北京）股份有限公司则任取两个数的排列数为 个，
由于现在恰好能表示出12个不同的椭圆方程，
则当 为偶数时， ，得 ，
当 为奇数时， ，得 ，所以C正确.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数 的部分图象如图所示，若将函数 的图
象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ，再向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则下列命题
正确的是（ ）
A. 函数 的解析式为
B. 函数 的解析式为
C. 函数 在区间 上单调递增
D. 函数 图象的一条对称轴是直线
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学科网（北京）股份有限公司【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，由图像可得 ， ，从而可求出得 ，再将点 的坐标代入函数中
可求出 的值，从而可求出函数解析式，对于B，由三角函数图像变换规律求出 的解析式，对于C，
由 求出 的增区间进行判断即可，对于D，将 代入
中验证是否能取得最值.
【详解】由图可知， ， ，所以 ，解得 ，故 ．
因为图像过点 ，所以 ，即 ．
因为点 位于单调增区间上，且 ，所以 ，
故 ．故A项正确；
若其纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ，所得到的函数解析式为 ，
再向右平移 个单位长度，所得到的函数解析式 ．故B项
正确；
令 ，
得 ，
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学科网（北京）股份有限公司故函数 的单调增区间是 ，
当 时， 在区间 上单调递增，故C项正确；
当 时， ，即 时，
不取最值，故 不是函数 的一条对称轴,所以D项不正确．
故选：ABC
10. 已知抛物线C： 的焦点为F，直线 与C交于点A，B（A在第一象限），以AB为直径的圆E
与C的准线相切于点D．若 ，则下列说法正确的是（ ）
A. A，B，F三点共线 B. l的斜率为
C. D. 圆E的半径是4
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定条件，作出几何图形，结合抛物线的定义逐项分析判断得解.
【详解】连接DE，则DE为圆E的半径，过A作准线的垂线，垂足为S，过B作准线的垂线，垂足为T，
连接 ，如图，
对于A， ，则A，B，F三点共线，A正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于B，由AB为直径，得 ，而 ，则 ，
而 为等腰三角形，则 ， ，于是 ，
即直线l的倾斜角为60°，其斜率为 ，B错误；
对于C，点 ，直线AB的方程为 ，由 得 ，
解得 ， ，则 ， ，即 ，C正确；
对于D，由 ， ，得 ，则圆E的直径是8，其半径为4，D正确．
故选：ACD
11. 如图，在棱长为2的正方体 中，M，N，P分别是 ， ， 的中点，Q是
线段 上的动点，则( )
A. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B. 存在点Q，使 平面MBN
C. 过Q，M，N三点的平面截正方体 所得截面面积的取值范围为
D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积为
【答案】AB
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】作出过 的截面判断选项A；取 中点为 ，证明其满足选项B；当 在 运动时，
确定截面的形状，引入参数(如 )计算出面积后可得取值范围，判断选项C，过 与底面平行的
平面截正方体得出的下半部分为长方体，其外接球也是过C，M，B，N四点的球，由此求得球半径，得表
面积，判断选项D．
【详解】选项A，连接 ， ，正方体中易知 ，
分别是 中点，则 ，所以 ，即 四点共面，当 与 重合时
满足B，N，P，Q四点共面，A正确；
选项B，如图，取 中点为 ，连接 ，
因为 分别是 中点，则 与 平行且相等， 是平行四边形，
所以 ，又 是 中点，所以 ，所以 ，
平面 ， 平面 ，所以 平面 ，B正确；
选项C，正方体中， 分别是 中点，则 ，
在 上，如图，作 交 于 ，连接 ，延长交 延长线于点 ，连接 延长交
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学科网（北京）股份有限公司延长线于点 ，连接 交 于点 ，交 于点 ， 为所过 三点的截面，
由正方体的对称性可知梯形 与梯形 全等，
由面面平行的性质定理， ，从而有 ，由正方体性质，
设 ， ，则 ， ，
是 中点， ，则 ，所以 ，同理
，
， ， ，
梯形 是等腰梯形，高为 ，
截面面积 ，
设 ， ， ，
在 上递增， ， ，
所以 ，C错；
选项D，
取 中点 ， 中点 ，连接 ，则 是正四棱柱（也是长方体），
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学科网（北京）股份有限公司它的外接球就是过 四点的球，所以球直径为 ，半径为 ，表面积为
，D错．
故选：AB．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若曲线 的一条切线为 ，其中 为正实数，则 的取值范围是
__________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据已知求出 ，再利用基本不等式求解.
【详解】设切点为 ，由
所以 ，且过切点的直线为 ，
所以有： ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时取等号，
故答案为： .
13. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 ，点 是第一象限内双曲
线 上的一点，满足 .记 的面积分别为 、 ，则
______.
【答案】8
【解析】
【分析】设 的内切圆与三边分别相切于 ，利用切线长相等求得内切圆圆心横坐标为 ，又
由 得 在 的平分线上，进而得到 即为内心，应用双曲线的定义求得面积
差即可.
【详解】
如图，设 的内切圆与三边分别相切于 ，可得 ，
又由双曲线定义可得 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，解得 ，则 点横坐标为 ，即内切圆圆心横坐标为 .
又 ，可得 ，化简得
，即 ，
即 是 的平分线，由于 ， ，可得 即为 的内心，且半径 为2，则
.即 .
故答案为：8.
14. 锐角 中，角 所对应的边分别为 ，满足 ， ，则 的周
长的取值范围为_______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意得 ，结合正弦定理得 ，根据 是锐角三角形求
出 的取值范围，通过换元法即可求解.
【详解】因为 ， ，所以 ，故 ，
所以 ，
即 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，故 或 （舍），即 ，
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学科网（北京）股份有限公司由正弦定理可得 ，
所以
，
因为 是锐角三角形，所以 ，解得 ，
令 ，
则 ，
所以 的周长的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 的各项均为正数，前 项和为 ，且 ， 是 与 的等差中项.
（1）证明：数列 是等差数列；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据等差中项列式，再根据完全平方公式计算化简，由定义得出等差数列；
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学科网（北京）股份有限公司（2）先写出等差数列的通项公式，再应用 的分组求和得出 即可.
【小问1详解】
因为 是 与 的等差中项，所以 ，
所以 ，
因为数列 的各项均为正数，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以数列 是公差为1，首项为 的等差数列；
【小问2详解】
因为数列 是公差为1，首项为 的等差数列，
所以 ，
所以 ，当 时， ，
当 时， ，
所以 ,
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司16. 在直角梯形 中， ， ， ，如图（1）．把
沿 翻折，使得平面 平面 ．
（1）求证： ；
（2）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出 的值；若不存在，
说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在点 ，此时
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理可证明 平面 ，再由线面垂直的性质即可得 ；
（2）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得结果.
【小问1详解】
因为 ，且 ，
可得 ， ，
又因为 ，可得 ，
所以 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为平面 平面 ，平面 平面 ，且 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ；
【小问2详解】
因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
如图所示，以点 为原点，建立空间直角坐标系，
可得 ， ， ， ，
所以 ， ．
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，可得 ，所以 ，
假设存在点 ，使得 与平面 所成角为 ，
设 ，（其中 ），则 ， ，
所以 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
所以在线段 上存在点 ，使得 与平面 所成角为 ，此时 ．
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学科网（北京）股份有限公司17. 有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同.某人做摸球答题
游戏.规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题.若答题正确，则将该球放入乙罐；若答
题错误，则将该球放回甲罐.此人答对每一道题目的概率均为 当甲罐内无球时，游戏停止.假设开始时乙
罐无球.
（1）求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率；
（2）设第 次答题后游戏停止 概的率为 问： 是否存在最大值?若存在，求出最大值；
若不存在，试说明理由.
【答案】（1） ；
（2）存在，最大值为 .
【解析】
【分析】（1）记 “此人三次答题后，乙罐内恰有红、黑各一球”，记 “第 次摸出红球，并且答题
正确”， ，记 “第 次摸出黑球，并且答题正确”， ，记 “第 次摸出黑球或红
球，并且答题错误”， ，结合全概率公式直接求解即可；
（2）第 次后游戏停止的情况是：前 次答题正确恰好为 次，答题错误 次，且第 次摸出一球
时答题正确，即可直接得到 ，结合概率的性质，即可求解.
【小问1详解】
记 “此人三次答题后，乙罐内恰有红、黑各一球”，
记 “第 次摸出红球，并且答题正确”， ，
记 “第 次摸出黑球，并且答题正确”， ，
记 “第 次摸出黑球或红球，并且答题错误”， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
又 ， ， ，
所以
，
同理 ，
所以 .
【小问2详解】
①第 次后游戏停止的情况是：前 次答题正确恰好为 次，
答题错误 次，且第 次摸出一球时答题正确，
所以 .
②由①知， ，
所以 ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，即 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司所以 的最大值是 .
18. 已知点 ，动点 满足 ，动点 的轨迹记为 .
（1）求 的方程；
（2）直线 与 轴交于点 为 上的动点，过 作 的两条切线，分别交 轴于点 .
①证明：直线 的斜率成等差数列；
② 经过 三点，是否存在点 ，使得 ？若存在，求 ；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②存 在，
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的定义，可得曲线 的方程.
（2）设直线的方程为 ，将直线方程与椭圆方程联立.
①根据直线与椭圆的位置关系，由 可以得到关于 的一元二次方程，根据韦达定理，可得
，再得 ，所以直线 的斜率成等差数列.
②法一：分别用 表示出 的坐标，结合①中的 ， ，根据 求 的值即
可；
法二：分别用 表示出 的坐标，结合①中的 ， ，根据 求 的值即可；
法三：分别用 表示出 的坐标，结合①中的 ， ，根据 求 的值即
可；
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学科网（北京）股份有限公司法四：分别用 表示出 的坐标，结合①中的 ， ，根据 求 的值
即可.
【小问1详解】
因 为 ，
所以 的轨迹是以 为焦点，且长轴长为4的椭圆，
设 的轨迹方程为 ，则 ，可得 .
又 ，所以 ，所以 的方程为 .
【小问2详解】
设 ，易知过 且与 相切的直线斜率存在，设直线方程为 ，联立
，消去 得 ，
由 ，得
设两条切线 的斜率分别为 ，则
①证明：设 的斜率为 ，则 ，
因为 ，所以 的斜率成等差数列.
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学科网（北京）股份有限公司②法1：在 中，令 ，得 ，所以 ，
同理，得 ，所以 的中垂线为 .
易得 的中点为 ，所以 的中垂线为 ，
联立 解得 ，
所以 ， ，
要使 ，则 ，即 ，
整理得 ，
而 ，
所以 ，解得 ，因此 ，
故存在符合题意的点 ，使得 ，此时 .
法2：在 中，令 ，得 ，因此 ，
同理可得 ，所以 的中垂线为 .
易得 的中点为 ，所以 的中垂线为 ，
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学科网（北京）股份有限公司联立 解得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
而 ，
所以 ，解得 ，因此 ，
故存在符合题意的点 ，使得 ，此时 .
法3：要使 ，即 或 ，
从而 ，又 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
故存在符合题意的点 ，使得 ，此时 .
法4：要使 ，即 或 ，从而 .
在 中，令 ，得 ，故 ，同理可得 ，因此
，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司故 ，即 ，
整理得 ，
所以 ，整理得 ，解得 或 （舍去），
因此 ，故存在符合题意的点 ，使得 ，
此时 .法5：要使 ，即 或 ，从而 .
在 中，令 ，得 ，故 ，同理可得 ，
由等面积法得 ，
即 ，整理得 ，
所以 ，整理得 ，解得 或 （舍去），
因此 ，故存在符合题意的点 ，使得 ，
此时 .
19. 已知 为常数，函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点 .
①求 的取值范围；
②若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
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学科网（北京）股份有限公司（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据题意，求导可得 ，然后分 与 讨论，即可得到结果；
（2）①将函数零点转化为方程 有两个不等实根，然后由导数可得函数 的值域，即可
得到结果；②根据题意，由 ，得 ，化简可得 ，然
后换元，构造函数 ，然后分 ， 以及 讨论，即可得到
结果.
【小问1详解】
由题意，得 .
①当 时，因为 ， 恒成立，
所以 ，故 在定义域 上单调递增.
②当 时，由 ，得 ，解得 ；
由 ，得 ，解得 .
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司①由题意，得 .
令 ，则 .
易知 为增函数，由 ，解得 ，
即 .
由题意，关于 的方程 即 有两个不等实根.
设函数 ，则 .
.
由 ，得 ；由 ，得
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以 .
又当 时， ；当 时， ，
所以 ，所以 的取值范围是 .
②由已知，得 ， .
两式相减，得 ，
故 .
由 ，得 ，
故 .
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学科网（北京）股份有限公司将 代入，得 ，
即 .
令 ，则 ，
即 .
设函数 ，其中 ，则 .
令 ，则 .
①当 时， ，所以 在区间 上单调递增，故 .
所以 在区间 上单调递减，
故 ，不符合题意.
②当 时，由 ，得 ，
所以 在区间 上单调递增.
故当 时， ，所以 在区间 上单调递减.
所以 ，不符合题意.
③当 时， ，所以 在区间 上单调递减，故 .
所以 在区间 上单调递增，
故 ，满足题意.
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学科网（北京）股份有限公司综上所述， 的取值范围是 .
【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数零点问题以及利用导数研究不等式恒成立问题，难
度较大，解答本题的关键在于合理构造函数，然后通过导数知识求解.
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学科网（北京）股份有限公司
