文档内容
重庆市高 2024 届高三第七次质量检测
数学试题
2024.3
命审单位：重庆南开中学
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本
试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求.
1.已知随机变量 服从正态分布 ， ，则 （ ）
A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.2
2.已知平面直角坐标系内两点 ， ，则过点 且以 为法向量的直线 的方程为（ ）
A. B. C. D.
3.若函数 ，则 （ ）
A. B. C.1 D.2
4.输血是外伤人员救治的重要手段，血液质量对提高救治成功率极为关键.血液质量的主要评判指标是血液中
ATP含量.已知血液中ATP浓度 （单位： ）随温度 （单位：℃）、时间 （单位：天）、及
起始浓度 变化的近似函数关系式为： （ 为自然底数， ）.由此可知，当血
液在20℃恒温条件下，保存5天后的ATP浓度，大约相当于血液在4℃恒温条件下保存（ ）天后的ATP
浓度.（参考数据： ）
A.16 B.20 C.25 D.30
5.已知 展开式中 项的系数为 ，则 （ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
6.正弦波是频率成分非常单一的信号，其波形是数学上的正弦曲线，任何复杂信号，如光谱信号，声音信号
学科网（北京）股份有限公司等，都可由多个不同的正弦波复合而成.现已知某复合信号 由三个振幅、频率相同的正弦波 ，
， 叠加而成，即 .设 ， ，
， ，若图中所示为 的部分图象，则下列描
述正确的是（ ）
A.
B. 的最小正周期是
C.若 ， ，则
D.若 ，则
7.在一个抽奖游戏中共有 扇关闭的门，其中 扇门后面有奖品，其余门后
没有奖品，主持人知道奖品在哪些门后.参赛者先选择一扇门，但不立即打开.主持人打开剩下的门当中一扇无
奖品的门，然后让参赛者决定是否换另一扇仍然关闭的门.参赛者选择不换门和换门的获奖概率分别为
（ ）
A. ； B. ； C. ； D. ；
8.如图，双曲线 的左右焦点分别为 ， ，若存在过 的直线 交双曲线 右支于 ，
两点，且 ， 的内切圆半径 ， 满足 ，则双曲线 的离心率取值范围为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列命题中正确的是（ ）
A.若向量 ， 满足 ，则
B.若非零向量 ， 满足 ，则
C.若 ， ， 为平面向量，则
D.若 ， ， 为非零向量，且满足 ，则
10.已知函数 ， ， ，令 ， .则（ ）
A. ， B.数列 为等差数列
C. D.
11. 已 知 三 次 函 数 有 三 个 不 同 的 零 点 ， 函 数
.则（ ）
A.
B.若 ， ， 成等差数列，则
学科网（北京）股份有限公司C.若 恰有两个不同的零点 ，则
D.若 有三个不同的零点 ，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知复数 ，则 ________.
13. 已 知 的 内 角 ， ， 所 对 应 的 边 分 别 是 ， ， ，
， ， ， 则 的 面 积 为
________.
14.如图，在三棱锥 中， ， ， ，二面角 的大小
为 ，则三棱锥 的外接球表面积为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
如图，几何体 中， 和 均为等边三角形，平面 平面 ， ，
， ， 为 中点.
（1）证明： 、 、 、 四点共面；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
学科网（北京）股份有限公司16.（15分）
已知函数 ， .
（1）若 ，求函数 在点 处的切线；
（2）若对任意的 ， ，有 恒成立，求实数 的取值
范围.
17.（15分）
在平面直角坐标系 中，已知 ，动点 到 轴的距离为 ，且 .
（1）求动点 的轨迹方程 ；
（2）过点 作直线交曲线 于 轴右侧两点 、 ，且 .求经过 、 且与直线
相切的圆的标准方程.
18.（17分）
某微信群群主为了了解微信随机红包的金额拆分机制，统计了本群最近一周内随机红包（假设每个红包的总
金额均相等）的金额数据（单位：元），绘制了如下频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图估计红包金额的平均值与众数；
（2）群主预告今天晚上7点将有3个随机红包，每个红包的总金额均相等且每个人都能抢到红包.小明是该
群的一位成员，以频率作为概率，求小明至少两次抢到10元以上金额的红包的概率.
（3）在春节期间，群主为了活跃气氛，在群内发起抢红包游戏.规定：每轮“手气最佳”者发下一轮红包，
每个红包发出后，所有人都参与抢红包.第一个红包由群主发.根据以往抢红包经验，群主自己发红包时，抢到
“手气最佳”的概率为 ；其他成员发红包时，群主抢到“手气最佳”的概率为 .设前 轮中群主发红包的
次数为 ，第 轮由群主发红包的概率为 .求 及 的期望 .
19.（17分）
学科网（北京）股份有限公司设集合 、 为正整数集 的两个子集， 、 至少各有两个元素.对于给定的集合 ，若存在满足如下条
件的集合 ：
①对于任意 ，若 ，都有 ；②对于任意 ，若 ，则 .则称集合 为集合
的“ 集”.
（1）若集合 ，求 的“ 集” ；
（2）若三元集 存在“ 集” ，且 中恰含有4个元素，求证： ；
（3）若 存在“ 集”，且 ，求 的最大值.
学科网（北京）股份有限公司重庆市高 2024 届高三第七次质量检测
数学试题参考答案与评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
选项 D A B C C D C B AB ACD ABD
一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.
1.D【解析】因为 ，∴ ，∴ .
2.A【解析】 ，所以直线 的斜率为 ，所以直线方程为 .
3.B【解析】 ， ， .
4.C【解析】设所求为 天，代入数据得： ，解得 ，取对数为
，所以 .
5.C【解析】由题意有 ，带入选项， 满足题意.
6.D【解析】由图可知， ，且 ，所以 .
又 ，所以 .因为 ，所以 .所以 ，A错误.
因为 ，所以 ， ， 的最小正周期均为 ，所以 的最小正周
期为 ，B选项错误.
因 为 ， ， 所 以
，C错误.
因 为 ， 所 以 ， 展 开 得
学科网（北京）股份有限公司，等式恒成立，则 ，
∴ ，平方求和得： ，∴ ；同理，可得
， ，
∴ ，故D正确.
7.C【解析】不换门：则与一开始随机选择一扇门的中奖概率一样，为 ；
换门：若一开始选择的门有奖，则换门后的中奖概率为 ；若一开始选择的门无奖，则换门后的中奖概
率为 .所以换门的中奖概率为 .
8.B【解析】如图，连接 ， ， ，可知 轴，设直线 的倾斜角为 ，∴
， ， 又 ， ∴ ，
，
∴ ，解得 ，
∴ ，∴ ，则离心率 .
学科网（北京）股份有限公司二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.AB
10.ACD【解析】由 ， ，解得 ， ，A正确；
∴ ， ， ， ，∴ ，又 ，
∴数列 是首项为2，公比为2的等比数列.∴ ， .B错误；
∴ .C正确；
， 即
.D正确.
11.ABD 【 解 析 】 ， ， ， 对 称 中 心 为
，对A：因为 有三个零点，所以 必有两个极值点，所以 ，
，A正确；
对B，由 ， ， 成等差数列，及三次函数的中心对称性可知 ，
学科网（北京）股份有限公司所 以 ， 又 ， 故 ， 所 以 ， 所 以
，故B正确；
对C： ，即 ，若 恰有两个零点，则 或 必为极值点；
若 为极值点，则该方程的三个根为 ， ， ，由一元三次方程的韦达定理可知： ；
若 为极值点，同理可得 ，故C错；
对D：由韦达定理
得 ，即 ，
故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【解析】∵ ，∴ ， ，∴ .
13.3
【解析】∵ ，∴ ， .
∵ ， ，由余弦定理， ，∴ ，
∴ .
14.
学科网（北京）股份有限公司【解析】取 和 的中点分别为 ， ，过点 作 面 于点 ，连结 ， ， .易
知 ，且 ， .因为 为等腰直角三角形，所以 是 的外心.设三
棱锥 的外接球的球心为 ，则 面 .设 ， ，则 ，且
，解得 ，所以外接球表面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
解：（1）证明：∵ ， 、 为等边三角形， 为 中点，∴ ，
， .又 ，∴ 平面 ， 平面 ，∴ ；
，∴ 平面 ， 平面 ，∴ ；
∵ ，∴ 平面 .
设平面 与直线 交于点 ，∴ .
又 平面 ，在平面 内，过直线 外一点 有且仅有一条直线与 垂直，
∴ 与 重合，即有 ， ， ， 四点共面.……………………………………………………6分
（2）如图，以 为原点，建立空间直角坐标系，
学科网（北京）股份有限公司∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，∴
.
∵ 和 均为等边三角形，
∴ ， .
∴ ， ， ， .
∴ ， ， .
设平面 的法向量为 ，∴ ， .
取 .
设直线 与平面 夹角为 ，∴ .
∴直线 与平面 所成角的正弦值为 .…………………………………………15分
16.（15分）
解：（1） ，当 ，时， ， ，故切线方程为： ；……5
分
（2）法一：不妨设 ，则 ，同除以 得 ，
所以 在 单调递增，所以 .……7分
①若 ， 恒成立，符合题意.
②若 ，则 恒成立.令 ，则 ，所以 在 单调递增，
学科网（北京）股份有限公司在 单调递减，所以 ，所以 .
③若 ，同理， 恒成立，由②可知，当 时， ，所以不存在满足条件的 .
综上所述， .……………………………………………………………………15分
法二： ，
令 ，则只需 在 单调递增，即 恒成立；……7分
，
令 ，则 恒成立；又 ，
①当 时， ， 在 单调递增成立；
②当 时， ， 在 单调递增，
又当 时， ，故 不恒成立，不满足题意；
（3）当 时，由 得 ，则 在 单调递减，在 单调递增，
因为 恒成立，所以 ，
解得 ，故 ；
综上，实数 的取值范围是 .…………………………………………15分
17.（15分）
解：（1） ，设 ，因为 ，所以 ，
整理得 ，所以，当 时， ；当 时， ；
学科网（北京）股份有限公司所以 的轨迹方程为 ： ， .……………………………………6分
（2）过 的直线不与 轴的负半轴相交， 为 中点，设 ， ，联立
，即 ，∴ ， .∴直线 ： .
此时 ： 为抛物线的准线， 为焦点，联立
由韦达定理可得 ， ，得弦长 ，
所以直线 的中垂线的方程为： ，
由圆心在弦的中垂线上，故可设圆心为 ，半径为 ，
因为圆 与直线 相切，故 ，
又 ，
所以 ，即 ，解得 或 ；
故 或 ，半径 或45，
故圆 的方程为： 或 .…………15分
18.（17分）
解 ： （ 1 ） 平 均 值 为 ：
；
众数为最高矩形的中点坐标，即为2.5.………………………………………………3分
（2）由题可知，每个红包抢到10元以上金额的概率为0.4，且3次红包相互独立，所以至少两次抢到10元
以上金额的概率为 ；………………8分
学科网（北京）股份有限公司（3）由题意， ， ，
∴ ，又 ，
∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列，∴ .
∴ .……………………………………………………13分
设 为第 轮发红包时群主抢到“手气最佳”的次数，
故 服从两点分布： ， . ，
∴ .
由已知 ，则
………………………………………………………………17分
19.（17分）
解：（1）若 ，由题意可得， ， ， ，即 ，此时 ，满
足题意，
假设集合 中还有第四个元素为 ，则由题意可知：若 ，即 ，则 ，∴不成立；
学科网（北京）股份有限公司若 ，则 ，∴ 或9或27，矛盾.故集合 中无四个元素，所以集合 .……3分
（2）设集合 ，不妨设 ，
假设 ，即 ，则 且 ，
由②知 ，注意到 ，故有 ，即 ，所以 ，
故 ，即 ，因为集合 中有4个元素，故设 ，
由②可得：若 ，则 ，∴ ，矛盾；
若 ， ，则 或 或 ，所以 或 或 ，与集合元素的互异性矛盾，
假设错误，故 .……………………………………………………………………9分
（3） ， ，不妨设 ，
所以 ， ，又 ，故 ，同理可得 ，
若 ，与（2）类似得 ，从而必有 ，
对任意的 ，有 ，即 ，所以 ，即 .
若 ，即 ， ，故 ， ， ， ，
所以 ，即 ，从而必有 ，
对任意的 ，必有 ，即 ，所以 ，即 .
综上，得 ，又 时，有 ， 符合题意，
所以 的最大值为4.………………………………………………………………17分
学科网（北京）股份有限公司
