文档内容
江门市 2025 届普通高中高三调研测试
数学
本试卷共 5页，19小题，满分 150分.考试时间 120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上，
2.做选择题时，必须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.
5.考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
A= { x∈N∣0≤ x2 ≤9 } ,B={ x∈N∣0≤ x≤10 }
AB =
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. { x∣0≤ x≤9 } B. { 1,2,3 }
C. { x∣0≤ x≤3 } D. { 0,1,2,3 }
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意求集合A,B，集合交集运算求解.
【详解】由题意可得：A= { x∈N∣0≤ x2 ≤9 } ={ 0,1,2,3 } ，
B={ x∈N∣0≤ x≤10 }={ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 } ，
所以A∩B={
0,1,2,3
}
.
故选：D.
2. 设m,n∈R，则“(m+1)3 =n3”是“2m 2n”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据充分、必要条件的判定方法进行判断.
【详解】由( m+1 )3 =n3 ⇒ m+1=n ⇒ 2m+1 =2n，
又2m <2m+1，所以2m 2n，故“(m+1)3 =n3”是“2m 2n”的充分条件；
又若2m 2n，如m=0，n=2，此时(m+1)3 =n3不成立，
所以“(m+1)3 =n3”是“2m 2n”的不必要条件.
综上：“(m+1)3 =n3”是“2m 2n”的充分不必要条件.
故选：A
3. 下列命题为真命题的是（ ）
a a+c
A. 若a>b>c>0，则 <
b b+c
c c
B. 若a>b>0,c<0，则 <
a b
C. a>b>0，则ac2 >bc2
a+b
D. 若a>b，则a > >b
2
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质作差法比较大小或取特殊值判断，即可得出结果.
a a+c a ( b+c )−b ( a+c ) c ( a−b )
【详解】对于A， − = = ，
b b+c b ( b+c ) b ( b+c )
因为 a>b>c>0，所以a−b>0,b ( b+c )>0，
a a+c c ( a−b ) a a+c
所以 − = >0，即 > ，故A错误；
b b+c b ( b+c ) b b+c
1 1
对于B，因为a>b>0，所以 < ，
a b
c c
又c<0，所以 > ，故B错误；
a b
对于C，当c=0时，ac2 =bc2 =0，故C错误；
对于D，若a>b，则2a >a+b,a+b>2b，
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学科网（北京）股份有限公司a+b
所以a > >b，故D正确.
2
故选：D.
ex +e−x,x≤2,
4. 已知函数 f
(
x
)=
x 则 f
(
ln27
)=（
）
f ,x>2,
3
8 10 728 730
A. B. C. D.
3 3 27 27
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数的运算性质计算可得答案.
【详解】因为1=lne3，又因为 f
(
x
)=
x ，
f ,x>2
3
所以 f ( ln27 )= f ln27 = f 3ln3 = f ( ln3 )=eln3+e−ln3 =3+e ln 1 3 =3+ 1 = 10 .
3 3 3 3
故选：B.
π
5. 下列函数中，以π为周期，且在区间 ,π上单调递增的是（ ）
2
A. y =sin x B. y =cos x
C. y = tanx D. y = cosx
【答案】D
【解析】
【分析】先判断各函数的最小正周期，再确定各函数在区间上的单调性，即可选择判断．
π 3π
【详解】对于A：由sin − =1，sin − =−1，可知π不是其周期，（也可说明其不是周期函数）故错
2 2
误；
cosx,x≥0 cosx,x≥0
对于B：y =cos x = = =cosx，其最小正周期为2π，故错误；
cos (−x ) ,x<0 cosx,x<0
对于C：y = tanx 满足 tan ( x+π) = tanx ，以π为周期，
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学科网（北京）股份有限公司π π
当x∈ ,π时，y = tanx =−tanx，由正切函数的单调性可知y = tanx =−tanx在区间 ,π上单
2 2
调递减，故错误；
对于D，y = cosx 满足 cos ( x+π ) = cosx ，以π为周期，
π π
当x∈ ,π时，y = cosx =−cosx，由余弦函数的单调性可知，y =−cosx在区间 ,π上单调递
2 2
增，故正确；
故选:D
6. 在正方形ABCD中，AE = EB,FC =2BF,AF 与DE交于点M ，则cos∠EMF =（ ）
2 1 2 1
A. B. C. D.
5 5 10 10
【答案】C
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标计算夹角的余弦值即可.
【详解】
建立平面直角坐标系，设正方形ABCD的棱长为2，
因为AE = EB,FC =2BF ，
2
( ) ( ) ( )
则E 0,1 ，A 0,2 ，D 2,2 ，F ,0，
3
2
所以AF = ,−2，DE =(−2,−1 )，
3
4
− +2
3 2
所以cos∠EMF = cosAF,DE = =
.
40 10
5×
9
故选：C
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学科网（北京）股份有限公司7. 金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金
针菇失去的新鲜度h与其来摘后时间t（天）满足的函数解析式为h=mln ( t+a )( a >0 ) .若采摘后1天，
金针菇失去的新鲜度为40%；若采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.现在金针菇失去的新鲜度为
60%，则采摘后的天数为（ ）（结果保留一位小数， 2 ≈1.41）
A. 1.5 B. 1.8 C. 2.0 D. 2.1
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件得到两个等式，两个等式相除求出a的值，再根据两个等式相除可求得结果.
mln ( 1+a )=0.4 ln ( 3+a )
【详解】由题可得 ，两式相除可得 =2，
mln ( 3+a )=0.8 ln ( 1+a )
则ln ( 3+a )=2ln ( 1+a ) ，3+a =( 1+a )2，
∵a>0，解得a =1，
设t天后金针菇失去的新鲜度为60%，
则mln ( t+1 )=0.6，又mln ( 1+1 )=0.4，
∴ ln ( t+1 ) = 3 ，2ln ( t+1 )=3ln2，( t+1 )2 =23 =8，t+1=2 2 =2×1.41=2.82，
ln2 2
则t =2.82−1=1.82≈1.8，
故选：B.
8. 已知各项都为正数的数列 满足a =1,a =2，a2 −a2 −a a >a a ( n≥3,n∈N ) ，则下列
1 2 n n−1 n n−2 n−1 n−2 +
结论中一定正确的是（ ）
{ 𝑎𝑎𝑛𝑛}
A. a >124 B. a >1024
8 20
C. a <124 D. a <1204
8 20
【答案】B
【解析】
【分析】由a2 −a2 −a a >a a ( n≥3,n∈N ) 得 ( a +a )a −( a +a ) >0，由题意，
n n−1 n n−2 n−1 n−2 + n n−1 n n−1 n−2
a >a +a ，根据递推公式可验证B，通过对a 赋值，可验证ACD.
n n−1 n−2 3
【详解】由a2 −a2 −a a >a a ( n≥3,n∈N ) ，
n n−1 n n−2 n−1 n−2 +
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学科网（北京）股份有限公司得 ( a
n
+a
n−1
)
a
n
−( a
n−1
+a
n−2
)
>0，
因为数列 各项都为正数，
所以a +{ a𝑎𝑎𝑛𝑛}>0，故a −( a +a )>0，即a >a +a ，
n n−1 n n−1 n−2 n n−1 n−2
所以a >a +a =2+1=3，
3 2 1
对于A，设a =4，则a >a +a =4+2=6，
3 4 3 2
设a =7，则a >a +a =7+4=11，
4 5 4 3
设a =12，则a >a +a =12+7=19，
5 6 5 4
设a =20，则a >a +a =20+12=32，
6 7 6 5
设a =33，则a >a +a =33+20=53，
7 8 7 6
则a 可以为54<124，故A错误；
8
对于B，a >a +a >3+2>5，a >a +a >5+3>8，
4 3 2 5 4 3
a >a +a >8+5>13，a >a +a >13+8>21，
6 5 4 7 6 5
a >a +a >21+13>34， a >a +a >34+21>55，
8 7 6 9 8 7
a >a +a >55+34>89，a >a +a >89+55>144，
10 9 8 11 10 9
a >a +a >144+89>233，a >a +a >233+144>377，
12 11 10 13 12 11
a >a +a >377+233>610，a >a +a >610+377>987，
14 13 12 15 14 13
a >a +a >987+610>1597，a >a +a >1597+987>2584，
16 15 14 17 16 15
a >a +a >2584+1597>4181，a >a +a >4181+2584>6765，
18 17 16 19 18 17
a >a +a >6765+4184>10946>1024，故B正确；
20 19 18
对于C，若a =124， 由于a >a +a ，则a >124，故C错误；
3 n n−1 n−2 8
对于D，若a =1024， 由于a >a +a ，则a >1024，故D错误；
3 n n−1 n−2 20
故选：B
二､多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
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学科网（北京）股份有限公司9. 若函数 f ( x )= x(x−c)2在x=1处取得极大值，则（ ）
A. c=1，或c=3
B. xf ( x+1 )<0的解集为 (−1,0 )
C. 当0 f ( cos2x )
2
D. f ( 2+x )+ f ( 2−x )=4
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，由题可得
f′(
1
)=0，据此得c的可能值，验证后可判断选项正误；B选项，由A分析，
可得xf ( x+1 ) 表达式，解相应不等式可判断选项正误；C选项，由A分析结合cosx，cos2x大小关系可判
断选项正误；D选项，由A分析，验证等式是否成立可判断选项正误.
【详解】A选项，由题 f ( x )= x3 −2cx2 +c2x，则 f′( x )=3x2 −4cx+c2，
因在x=1处取得极大值，则 f′( 1 )=c2 −4c+3=0⇒c=1或c=3.
1 1
当c=1时， f′( x )=3x2 −4x+1，令 f′( x )>0⇒ x∈ −∞, ∪( 1,+∞) ； f′( x )<0⇒ x∈ ,1.
3 3
1 1
则 f ( x ) 在 −∞, ，( 1,+∞) 上单调递增，在 ,1上单调递减，则 f ( x ) 在x=1处取得极小值，不合题
3 3
意；
当c=3时， f′( x )=3x2 −12x+9，令 f′( x )>0⇒ x∈(−∞,1 )∪( 3,+∞) ； f′( x )<0⇒ x∈( 1,3 ) .
则 f
(
x
)
在
(−∞,1 )，( 3,+∞)
上单调递增，在
(
1,3
)
上单调递减，则 f
(
x
)
在x=1处取得极大值，满足题
意；
则c=3，故A错误；
B选项，由A可知， f ( x )= x ( x−3 )2，则
xf ( x+1 )= x ( x+1 )( x−2 )2 <0⇒ x ( x+1 )<0⇒ x∈(−1,0 ) .
故B正确；
π ( )
C选项，当0 f ( cos2x ) ，故C正确； (0,1)
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学科网（北京）股份有限公司D选项，令x+2=m，2−x=n，由A可知， f ( x )= x3−6x2 +9x.
则 f ( x+2 )+ f ( 2−x )= f ( m )+ f ( n )
=m3 −6m2 +9m+n3 −6n2 +9n=( m+n )( m2 −mn+n2 ) −6 ( m2 +n2 ) +9 ( m+n ) ，
又m+n = 4，则 f ( m )+ f ( n )=−4mn−2 ( m2 +n2 ) +36=36−2 ( m+n )2 =4，故D正确.
故选：BCD
10. 在ABC中，AB =1，AC =4，BC = 13，点D在边BC上，AD为∠BAC的角平分线，点E
为AC中点，则（ ）
A. ABC的面积为 3 B. BA⋅CA=2 3
4 3
C. BE = 3 D. AD=
5
【答案】ACD
【解析】
π
【分析】根据余弦定理可得∠A= ，进而可得面积判断A，再结合向量的线性运算及向量数量积可判断BC，
3
根据三角形面积及角分线的性质可判断D.
【详解】
如图所示，
AB2 + AC2 −BC2 1+16−13 1
由余弦定理可知cos∠BAC = = = ，
2AB⋅AC 2×1×4 2
π 3
而∠BAC为三角形内角，故∠BAC = ，sin∠BAC = ，
3 2
1 1 3
所以ABC面积S = AB⋅AC⋅sin∠BAC = ×1×4× = 3，A选项正确；
2 2 2
1
BA⋅CA= AB⋅AC = AB ⋅ AC ⋅cos∠BAC =1×4× =2，B选项错误；
2
1
由点E为AC中点，则BE= AE−AB= AC−AB，
2
2
所以BE 2 = 1 AC−AB = 1 AC 2 + AB 2 −AB⋅AC =4+1−2=3，则 BE = 3，C选项正确；
2 4
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学科网（北京）股份有限公司π
由AD为∠BAC的角平分线，则∠BAD=∠CAD= ，
6
1
所以S = AB⋅AD⋅sin∠BAD+ AC⋅AD⋅sin∠CAD，
2
1 1 1 1 5 4 3
即 3 = ×1× AD+ ×4× AD= AD，则AD= ，D选项正确；
2 2 2 2 4 5
故选：ACD.
11. 已知 f ( x )=sin2nx+cos2nx ( n∈N ) ，则（ ）
n +
π
( )
A. f x 的最小正周期为
2
2
k π
B. f ( x ) 的图象关于点 + ,0 ( k∈Z ) 对称
2 2 8
( ) π
C. f x 的图象关于直线x= 对称
n 2
1
D. ≤ f ( x )≤1
2n−1 n
【答案】ACD
【解析】
【分析】用函数对称性的定义及函数周期性的定义可判断ABC选项的正误；利用导数法可判断D选项的
正误.
( )2 1
【详解】 f (x)=sin4 x+cos4 x= sin2 x+cos2 x −2sin2 xcos2 x=1− sin22x
2 2
1 1−cos4x 3+cos4x
=1− × = ，
2 2 4
2π π
所以 f(x)的最小正周期为T= = ，故A正确；
4 2
π π kπ kπ π 3
令4x= +kπ，可得x= + ,k∈Z,所以 f ( x ) 的图象关于点 + , ( k∈Z ) 对称，故B错误；
2 8 4 2 4 8 4
对于C： f (π−x )=
sin (π−x )
2n +
cos (π−x )
2n =( sinx )2n +(−cosx )2n
=sin2n x+cos2n x= f ( x ) ，
π
所以函数 f ( x ) 的图象关于直线x= 对称，C对；
2
2n 2n
π π π
对于D: ，因为 f +x = sin +x + cos +x =( cosx )2n +(−sinx )2n
2 2 2
=sin2n x+cos2n x= f ( x ) ，
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学科网（北京）股份有限公司π
( ) ( )
所以，函数 f x 为周期函数，且 是函数 f x 的一个周期，
2
π
( ) ( )
只需求出函数 f x 在
0,
上的值域，即为函数 f x 在R 上的值域，
2
f ( x )=sin2n x+cos2n x，则
f′( x )=2nsin2n−1xcosx−2ncos2n−1xsinx=2nsinxcosx ( sin2n−2 x−cos2n−2 x ) ，
π π 2
当x∈ , 时，0cos2n−2 x，此时 ，
′
𝑓𝑓 (𝑥𝑥)>0
π π
( )
所以，函数 f x 在
,
上单调递增，
4 2
π 2
当x∈ 0, 时，00，所以 f (−x )=sin (−x )
1+cos (−x )
=−sinx ( 1+cosx ) ，
又函数 f ( x ) 是定义在R上的偶函数，所以 f ( x )= f (−x )=−sinx ( 1+cosx ) .
故答案为：−sinx ( 1+cosx ) .
4 b+8
14. 已知a >0,b≠0，且a+ b =4，则 + 的最小值为__________.
a b
【答案】2+2 2 .
【解析】
4 b+8 4 8 b 4 8
【分析】先将所求式子化简 + = + + ，再根据基本不等式得到 + 的最小值，则可判断当
a b a b b a b
b<0，求得最小值.
4 b+8 4 8 b
【详解】根据题意： + = + + ，
a b a b b
b b
若b>0，则 =1， 若b>0，则 =−1，
|b| |b|
因为a >0,b≠0，则|b|>0，
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学科网（北京）股份有限公司4 8 1 4 8 b 2a b 2a
+ = ( + )(a+ b)=3+ + ≥3+2 ⋅ =3+2 2,
a b 4 a b a b a b
b 2a
当且仅当 = 即a =4( 2−1), b =4(2− 2)时取等号;
a b
4 b+8 4 8
则当b<0时， + = + −1的最小值是3+2 2−1=2+2 2，
a b a b
当且仅当a=4( 2−1), b=4( 2−2)时取等号.
故答案为：2+2 2 .
四､解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P ( 4,−3 ) .
（1）求sin2α的值；
5
（2）若角β满足sin (α+β)= ，求cosβ的值.
13
24
【答案】（1）−
25
33 63
（2） 或−
65 65
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义，求三角函数值，再根据二倍角公式，即可求解；
（2）利用角的变换cosβ=cos
(α+β)−α
，再结合两角差的余弦公式，即可求解.
【小问1详解】
由题意可知，P ( 4,−3 ) ，则r =5，
3 4
则sinα=− ，cosα= ，
5 5
24
sin2α=2sinαcosα=− ；
25
【小问2详解】
5 12
sin (α+β)= ，所以cos (α+β)=± ，
13 13
所以cosβ=cos
(α+β)−α
=cos (α+β) cosα+sin (α+β) sinα，
12 12 4 5 3 33
当cos (α+β)= ，所以cosβ= × + × − = ，
13 13 5 13 5 65
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学科网（北京）股份有限公司12 12 4 5 3 63
当cos (α+β)=− ，所以cosβ= − × + × − =− ，
13 13 5 13 5 65
33 63
综上可知，cosβ的值为 或−
65 65
16. 已知数列 { a } 的前n项和为S ，且3S =4n+1−4 ( n∈N ) .
n n n +
{ }
（1）证明：数列 log a 为等差数列；
2 n
1 1 1 1 100
（2）记数列 { log a } 的前n项和为T ，若 + + ++ < ，求满足条件的最大整数n.
2 n n T T T T 101
1 2 3 n
【答案】（1）证明见解析
（2）99
【解析】
【分析】（1）利用退一相减法可得a 及log a ，即可得证；
n 2 n
1 1 1 1
（2）根据等差数列求和公式可得T =n ( n+1 ) ，则 = = − ，利用裂项相消法可得
n T n ( n+1 ) n n+1
n
1 1 1 1 1
+ + ++ =1− ，解不等式即可.
T T T T n+1
1 2 3 n
【小问1详解】
由已知3S =4n+1−4，
n
当n=1时，3a =3S =42 −4=12，即a =4；
1 1 1
当n≥2时，3S =4n −4，
n−1
则3a =3S −3S =4n+1−4−4n +4=3⋅4n，即a =4n，
n n n−1 n
又n=1时，a =4满足a =4n，
1 n
所以a =4n =22n，
n
设b =log a =log 22n =2n，b −b =2 ( n+1 )−2n=2，
n 2 n 2 n+1 n
{ }
即数列 为等差数列，即数列 log a 为以2为首项2为公差的等差数列；
2 n
【小问
{
2
𝑏𝑏𝑛𝑛
详
}
解】
( b +b ) n ( 2+2n ) n
由等差数列可知T = 1 n = =n ( n+1 )，
n 2 2
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学科网（北京）股份有限公司1 1 1 1
则 = = − ，
T n ( n+1 ) n n+1
n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以 + + ++ =1− + − ++ − =1− ，
T T T T 2 2 3 n n+1 n+1
1 2 3 n
1 100
即1− < ，n∈N ，
n+1 101 +
解得n<100，
即满足条件的最大整数n=99.
17. 已知ABC的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，且a =4,c=3b，记ABC的面积为S，内
切圆半径为r ，外接圆半径为R.
（1）若b= 2 ，求sinA；
1 S
（2）记 p= ( a+b+c )，证明：r = ；
2 p
（3）求rR的取值范围：
2 2
【答案】（1）
3
3
（2）证明见解析 （3） ,2
4
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求得cosA，进而求得sin A.
（2）根据三角形的面积公式证得结论成立.
（3）用b表示rR，然后利用导数求得rR的取值范围.
【小问1详解】
∵a=4,b= 2 ,c =3 2,
b2 +c2 −a2 2+18−16 1
由余弦定理，得cosA= = = ，
2bc 2× 2×3 2 3
2 2
∵0< A<π,∴sinA= 1−cos2 A = .
3
【小问2详解】
∵ABC的面积为S,内切圆半径为r ，
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∴S = a×r+ b×r+ c×r = ( a+b+c ) r ,
2 2 2 2
1 S
又∵ p = (a+b+c),∴S = pr，∴r = .
2 p
【小问3详解】
a a 4 2
由正弦定理得 =2R,得R= = = ,
sinA 2sinA 2sinA sinA
因为a=4,c=3b，
1
由（2）得S = pr = r(4+b+3b)=(2+2b)r，
2
1 3b2
又因为S = bcsinA= ×sinA，
2 2
3b2sin A 3 b2
所以r = , 所以Rr = × ,
4(1+b) 2 1+b
b+3b>4
由 ,解得13b
令 f(b)=
3b2
(10，
2(1+b) 2 ( 1+b )2
3
则 f(b)在(1,2)上单调递增, 所以 < f(b)<2,
4
3
故rR的取值范围为 ,2.
4
1
18. 设函数 f ( x )=lnx,g ( x )=1− ( x>0 ) .
x
( )
（1）求 f x 在x=1处的切线方程；
（2）证明： f
(
x
)≥
g
(
x
)
：
（3）若方程af ( x )= g ( x ) 有两个实根，求实数a的取值范围，
【答案】（1）x− y−1=0
（2）证明见解析 （3）(0,1)∪(1,+∞)
【解析】
【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程.
（2）利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.
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学科网（北京）股份有限公司（3）利用构造函数法，结合导数以及对a进行分类讨论来求得a的取值范围.
【小问1详解】
1
f′(x)= ，则k = f′(1)=1, f(1)=0.
x
∴ f(x)在x=1处的切线方程为y=x−1，即x− y−1=0.
【小问2详解】
1
令h(x)= f(x)−g(x)=lnx+ −1,x∈(0,+∞)
x
1 1 x−1
h′(x)= − = .
x x2 x2
x−1
令h′(x)= =0，解得x=1.
x2
∴0< x<1,h′(x)<0；x>1,h′(x)>0.
h(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增.
h(x)≥h(1)=0，即 f(x)≥ g(x).
【小问3详解】
1
令m(x)= f(x)−g(x)=alnx+ −1,x∈(0,+∞)，
x
问题转化为m(x)在(0,+∞)上有两个零点.
a 1 ax−1
m′(x)= − = .
x x2 x2
①当a≤0时，
m′(x)<0，m(x)在(0,+∞)递减，m(x)至多只有一个零点，不符合要求.
②当a>0时，
1
令m′(x)=0，解得x=
a
1
当0< x< 时，m′(x)<0，m(x)递减；
a
1
当x> 时，m′(x)>0，m(x)递增.
a
1 1
所以m(x)≥m
=aln +a−1=a−alna−1.
a a
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当a =1时，m =m(1)=0，m(x)只有一个零点，不合题意.
a
令ϕ(a)=a−alna−1,ϕ′(a)=−lna，
当00，
所以φ(a)在(0,1)递增，ϕ(a)<ϕ(1)=0.
1 1 1 1 1
由于m(1)=0,m
=φ(a)<0，m(ea)=alnea +
1
−1=
1
>0，
a
ea ea
1 1
∴∃x ∈ ,ea ，使得m(x )=0，
1 a 1
故01时，ϕ′(a)=−lna<0，
所以φ(a)在(1,+∞)递减，φ(a)<φ(1)=0.
1 1
由于m(1)=0,m =φ(a)<0，m(e−a)=alne−a + −1=ea −a2 −1>0
a e−a
1
∴∃x ∈ e−a, ，使得m(x )=0，
2 a 2
故a>1满足条件.
综上所述：实数a的取值范围为(0,1)∪(1,+∞).
【点睛】关键点点睛：本题的解题过程中，需通过导数分析函数的性质，并将问题转化为函数零点的讨
论，充分体现了数学思想方法的应用．在解题时，要特别注意导数符号的变化对函数单调性的影响，确保
分类讨论的全面性和严谨性．
19. 如果定义域为 [ 0,1 ] 的函数 f ( x ) 同时满足以下三个条件：（1）对任意的x∈[ 0,1 ] ，总有 f(x)≥0；
（2） f ( 1 )=1；（3）当x ≥0,x ≥0，且x +x ≤1时， f ( x + x )≥ f ( x )+ f ( x ) 恒成立.则称
1 2 1 2 1 2 1 2
( )
f x 为“友谊函数”.请解答下列问题：
( ) ( )
（1）已知 f x 为“友谊函数”，求 f 0 的值；
（2）判断函数g ( x )=3x −x−1 ( x∈[ 0,1 ]) 是否为“友谊函数”？并说明理由；
（3）已知 f ( x ) 为“友谊函数”，存在x ∈[ 0,1 ] ，使得 f ( x )∈[ 0,1 ] ，且 f ( f ( x )) = x ，证明：
0 0 0 0
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学科网（北京）股份有限公司f
(
x
)=
x .
0 0
【答案】（1） f ( 0 ) =0
（2）是，理由见解析.
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）结合条件，利用“赋值法”可求函数值.
（2）根据给出的条件，逐一验证即可.
（3）先判断函数的单调性，结合反证法进行证明.
【小问1详解】
由条件（1）可知： f
(
0
)≥0；
结合条件（3），令x = x =0，则 f ( 0 )≥2f ( 0 )⇒ f ( 0 )≤0.
1 2
所以： f
(
0
)=0.
【小问2详解】
函数g ( x )=3x −x−1 ( x∈[ 0,1 ]) 是“友谊函数”.理由如下：
对条件（1）：因为g
(
0
)=0，g′(
x
)=3xln3−1，当x∈[
0,1
] 时，g′(
x
)>0，所以g (
x
)
在 上单调
[0,1]
递增，所以g
(
x
)≥0，x∈[
0,1
]
.
对条件（2）：g
(
1
)=3−1−1=1.
对条件（3）：设x ≥0,x ≥0，且x +x ≤1，则：
1 2 1 2
g ( x 1 +x 2 )− g ( x 1 )+g ( x 2 ) = 3x 1 +x 2 −( x 1 +x 2 )−1 − ( 3x 1 −x 1 −1 ) − ( 3x 2 −x 2 −1 ) =3x 1 +x 2 −3x 1 −3x 2 +1
( )( )
= 3x 1 −1 3x 2 −1 ≥0.
所以：g ( x +x )≥ g ( x )+g ( x ) .
1 2 1 2
综上可知：函数g ( x )=3x −x−1 ( x∈[ 0,1 ]) 是“友谊函数”.
【小问3详解】
设0≤ x < x ≤1且x +x ≤1，则x −x >0，
1 2 1 2 2 1
所以 f ( x )− f ( x )= f
x +( x −x )
− f ( x ) ≥ f ( x )+ f ( x −x )− f ( x ) = f ( x −x ) ≥0
2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1
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所以函数 f x 在 上单调递增.
[0,1]
下面用反证法证明： f
(
x
)=
x .
0 0
假设 f
(
x
)≠
x ，则 f
(
x
)>
x 或 f
(
x
)<
x .
0 0 0 0 0 0
若 f ( x )> x ，则 f ( x )< f
f ( x )
= x ，这与 f ( x )> x 矛盾；
0 0 0 0 0 0 0
若 f ( x )< x ，则 f ( x )> f
f ( x )
= x ，这与 f ( x )< x 矛盾.
0 0 0 0 0 0 0
故假设不成立，所以 f
(
x
)=
x .
0 0
【点睛】方法点睛：对于抽象函数的问题，“赋值法”是解决问题的突破口.合理赋值是解决问题的突破
口.
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