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莆田一中 2023-2024 学年度上学期高三期中考试卷
数学试题
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题：8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题意.
.
1 设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 设α是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且 ，则tanα=（ ）
A. B. C. D.
的
4. 正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙 基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵
感的源泉之一.如图，该几何体是一个棱长为 的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
5. 已知定义域为R的函数 ，其导函数为 ，且满足 ， ，则（
）
A. B. C. D.
6. 已知 的图象关于 对称，则函数 的图象的一条对称轴是
（ ）
A. B. C. D.
7. 函数 的图象大致为（ ）
A B.
.
C. D.
8. 在三棱锥 中， ，且 ，则三棱锥 外接
球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中有多项符合
题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列化简结果正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
的
10. 下列命题正确 是（ ）
A. “ ”是“ ” 的充分不必要条件
B.
C. 函数 ，则
D. 函数 若 ，则实数 的取值范围是
11. 已知 ，函数 ，下列选项正确的有（ ）
A. 若 的最小正周期 ，则
B. 当 时，函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象
C. 若 在区间 上单调递增，则 的取值范围是
D. 若 在区间 上只有一个零点，则 的取值范围是
12. 已知函数 ，则（ ）
A. 若函数 有两个零点，则
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学科网（北京）股份有限公司B. 当 时， 恒成立
C. 若方程 有5个解，则实数 的取值范围是
D. 若过点 与曲线 相切的直线有两条，则实数 的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数 是定义在 上的奇函数，则 ______.
14. 已知 ， ，则 ______．
15. 已知函数 （其中 ）的部分图像如右图所示，则 在
上的值域为______．
16. 已知实数 满足 ，其中 是自然对数的底数，则 的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数 的最小正周期为8．
（1）求函数 的单调减区间；
（2）若 ，且 ，求 的值．
18. 已知函数 的图象过点 ，且在点P处的切线恰好与直线
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学科网（北京）股份有限公司垂直.
（1）求函数 的解析式；
（2）若函数 的图象与抛物线 恰有三个不同交点，求m的取值范围.
19. 如图，在三棱锥 中， ，平面 平面 ， ．
（1）证明： ；
（2）若三棱锥 的体积为 ，求平面 与平面 所成角的余弦值．
20. 已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的最小值；
（2）若 ，且对 ，都 ，使得 成立，求实数
的取值范围．
21. 中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂.在中
国有着深厚的群众基础，是普及最广的棋类项目.某地区举行中国象棋比赛，先进行小组赛，每三人一组，
采用单循环赛（任意两人之间只赛一场），每场比赛胜者积3分，负者积0分，平局各1分.根据积分排名
晋级淘汰赛，若出现积分相同的情况，则再进行加赛.已知甲、乙、丙三人分在同一个小组，根据以往比赛
数据统计，甲、乙对局时，甲胜概率为 ，平局概率为 ；甲、丙对局时，甲胜概率为 ，平局概率为 ；
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学科网（北京）股份有限公司乙、丙对局时，乙胜概率为 ，平局概率为 .各场比赛相互独立，若只考虑单循环赛的三场比赛，求：
（1）甲积分的期望；
（2）甲、乙积分相同的概率
22. 已知函数
（1）讨论函数 在 上的单调性；
（2）若函数 在 上单调递减，求实数 的取值范围．
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