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莆田一中 2023-2024 学年度上学期高三期中考试卷
数学试题
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题：8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题意.
1. 设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先解不等式求出 ，再求出 和 ，最后求出 即可.
【详解】 ，所以 ，
，所以 ，所以 ，
所以 ，
故选：A
2. 实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】用已知条件消元后用基本不等式即可.
【详解】因为 ，
所以
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，当且仅当 取等号
故选：D．
3. 设α是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且 ，则tanα=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函数的定义先解得 ，再求正切值即可.
【详解】由三角函数定义可知： ，又α是第二象限角，
故 ，所以 .
故选：B
4. 正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵
感的源泉之一.如图，该几何体是一个棱长为 的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】正八面体的上、下结构是两个相同的正四棱锥，由勾股定理求得斜高，再由棱锥的体积公式即可
求解.
【详解】
如上图，由边长为 ，可得正八面体上半部分的斜高为 ，高为 ，则
其体积为 ，其表面积为 ，
∴此正八面体 体积与表面积之比为 .
的
故选：B.
5. 已知定义域为R的函数 ，其导函数为 ，且满足 ， ，则（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造 ，利用导数及已知判断其单调性，根据单调性及相对应函数值判断各项的大小.
【详解】令 ，则 ，
因为 在 上恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司所以 在 上恒成立，故 在 上单调递减，
，即 ，故A不正确；
，即 ，即 ，故B不正确；
，即 ，即 ，故C正确；
，即 ，即 ，故D不正确；
故选：C
6. 已知 的图象关于 对称，则函数 的图象的一条对称轴是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简后结合三角函数的对称轴即可求解.
【详解】 ，
又图象关于 对称， ，可以求得 ，
故 ，
对称轴为 ， 时即A项．
故选：A．
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学科网（北京）股份有限公司7. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用导函数研究 上的单调性，得到 在 上单调递减，在
上单调递增，且 ，进而研究 上的单调性，得到在 上单调递
减，在 上单调递增，且 ，从而选出正确答案.
【详解】当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得极小值， ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，故 ，
，
当 时， ，当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，显然 ，
综上：只有D选项满足要求.
故选：D
8. 在三棱锥 中， ，且 ，则三棱锥 外接
球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由条件确定球心的位置，即可得到球的半径，再由球的表面积公式，即可得到结果.
【详解】
由题意可得，点 在底面上的射影 是 的中点，是三角形 的外心，
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学科网（北京）股份有限公司令球心为 ，因为 ，且 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
在直角三角形 中， ，即 ，解得 ，
则三棱锥外接球的表面积为 .
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中有多项符合
题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列化简结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据题意，由三角函数的和差角公式，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】 ，所以A正确；
，所以B正确；
，所以C错误；
，所以D
错误．
故选：AB．
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学科网（北京）股份有限公司10. 下列命题正确的是（ ）
A. “ ”是“ ”的充分不必要条件
B.
C. 函数 ，则
D. 函数 若 ，则实数 的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于选项A，令 ，转化为 求解判断；对于选项B，利用对数的运算求解
判断；对于选项C，利用导数法判断 的单调性求解判断；对于选项D，分 ， ，
分别利用指数函数和对数函数不等式求解判断.
【详解】对于选项A，令 ，则由 得 ，解得 或 ， 或
，故“ ”是“ ”的充分不必要条件．故A正确；
对于选项B，原式 ，故B正确；
对于选项C，函数 ，可得 ，其中 ，
当 时， ；当 时， ，所以 在 上单调递增，在
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学科网（北京）股份有限公司上单调递减，因为 ，可得
，所以 ，又 在 上单调递减，所以
，所以 ，所以C是错误．
对于选项D，当 时，令 ，得 ，故 ；
是
当 时，令 ，得 ，故 ．综上， ．故D 正确；
故选：ABD
11. 已知 ，函数 ，下列选项正确的有（ ）
A. 若 的最小正周期 ，则
B. 当 时，函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象
C. 若 在区间 上单调递增，则 的取值范围是
D. 若 在区间 上只有一个零点，则 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】由余弦函数周期的公式，可判定A正确；利用三角函数的图象变换，可判定B错误；根据
在区间 上单调递增，列出不等式组，求得 的范围，得到当 时，不等式有解，可判定C正
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学科网（北京）股份有限公司确；由 在区间 上只有一个零点，列出不等式组，求得 的范围，可判定D正确．
【详解】解：由余弦函数图象与性质，可得 ，得 ，所以A正确；
当 时，可得 ，
将函数 的图象向右平移 个单位长度后得
，所以B错误；
若 在区间 上单调递增，则 ，
解得 ，
又因为 ，所以只有当 时，此不等式有解，即 ，所以C正确；
若 在区间 上只有一个零点，则 ，解得 ，所以D正确．
故选：ACD．
12. 已知函数 ，则（ ）
A. 若函数 有两个零点，则
B. 当 时， 恒成立
C. 若方程 有5个解，则实数 的取值范围是
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学科网（北京）股份有限公司D. 若过点 与曲线 相切的直线有两条，则实数 的取值范围是
【答案】BC
【解析】
【分析】对于 ，画出函数图象，根据图象即可判断；对于 ，化简为 ，令 ，不等式变
形为 ，构造函数 ，利用导数考查单调性，求得最大值即可判断；对于 ，令
，分离讨论 的范围，考查 的解的情况，进一步分析即可；对于 ，根据图
象观察即可.
【详解】因为当当 时， ，
令 得 ，令 ,得 ,
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，且 时， ，
故可画出函数 的大致图象如图所示：
由图知函数 有两个零点时，
则 或 ，故 错误;
对于 ,因为 ，不等式为 ，即 ，令 ，
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学科网（北京）股份有限公司不等式化为 ．
令 ，令 ，得 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
当 时， ，则 在 上单调递减，
故最大值为 ，则 恒成立，故 正确；
对于 ，令 ，
当 或 时，方程 只有一解记为 ，此时 不可能有5解。
当 时， ，有两解记为 ，（其中 ）
至多3个解， 有1解，不合题意.
当 时， ，有两解记为 ，
有1个解， 有2解，不合题意.
当 时， ，有三解记为
有1个解， 有2解， 有2解，符合题意.
综上方程 有5个解时实数 的取值范围是 ． 正确．
对于 ，当 时， ，
设切点为 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
令 ， ，
时， ， 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 时， ，
所以当 时，方程 由两个解；
当 ， 无解；
故 时，过 可以画出两条直线与 相切，
又当 时，过 必有一条与 相切，故 选项错误.
故选：
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数 是定义在 上的奇函数，则 ______.
【答案】
【解析】
的
【分析】根据奇函数 知识求得 ，由此求得 .
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学科网（北京）股份有限公司【详解】依题意函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，
，
，
恒成立，所以 ，
所以 .
故答案为：
14. 已知 ， ，则 ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】首先求出 ，再由二倍角公式求出 、 ，最后代入计算可得.
【详解】由 且 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ．
故答案为：
15. 已知函数 （其中 ）的部分图像如右图所示，则 在
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学科网（北京）股份有限公司上的值域为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由函数图像可求得函数 的解析式，再由正弦型函数的值域，即可得到结果.
【详解】
由图像可知， ；从而 ，
又由 ，因为 ，所以 ，从
而 ，当 时，则 ，因为 在
上单调递减，在 上单调递增，所以 ，因为
，所以 ，故 ，即 ，从而
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学科网（北京）股份有限公司，即 在 上的值域为 ．
故答案为：
16. 已知实数 满足 ，其中 是自然对数的底数，则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由 ，得 ， ，构造函数
，由函数单调，有 ，得 ，可解 的值.
【详解】由 可得， ，即 ，也即 ，
由 可得 ，所以 ，即 ，
构造函数 ， 在 恒成立，
所以函数 在定义域 上单调递减，
由 ，得 ，即 ，
又因为 ，得 ，所以 ，解得 ．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数 的最小正周期为8．
（1）求函数 的单调减区间；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，且 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，由最小正周期求出 ，整体代入法求函数单调
递减区间；
（2）由 ，得 ， ，利用两角和的正弦
公式计算.
【小问1详解】
，
由题意，得： ，所以 ，
所以 ，
由 ，得：
所以函数 的单调减区间是 ．
【小问2详解】
由 ，得： ，所以 ，
因为 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以
．
18. 已知函数 的图象过点 ，且在点P处的切线恰好与直线
垂直.
（1）求函数 的解析式；
（2）若函数 的图象与抛物线 恰有三个不同交点，求m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据图象过点及导数的几何意义列方程求解即可；
（2）构造差函数，从而只需函数有三个零点即可，求导，求极值即可求解.
【小问1详解】
因为 的图象经过点 ，
所以 ，又 ，则 ，
由条件 ，即 ，解得 ，代入 解得 ，
故 ；
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司由（1）知： ，
令 ，
则原题意等价于 图象与 轴有三个交点.
因为 ，
1
0 0
极大 极小
所以 在 时取得极大值 ， 在 时取得极小值 ，
依题意得 ，解得 ，故m的取值范围为 .
19. 如图，在三棱锥 中， ，平面 平面 ， ．
（1）证明： ；
（2）若三棱锥 的体积为 ，求平面 与平面 所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）由面面垂直的性质得 面 ，再由线面垂直的性质、判定证结论；
（2）过点 在平面 内作 于 ，证 平面 ，根据已知并求出相关边长，进而构
建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值.
【小问1详解】
因为面 面 ，面 面 ， 面 ，
所以 面 ，而 面 ，所以
又 ， 面 ，所以 面 ，
由 平面 ，从而 ．
【小问2详解】
过点 在平面 内作 于 ，
由面 面 ，面 面 面 ，
故 平面 ，
因为 ，则 ，
由等面积法得 则 ，
因为 ，所以 ，又 ，
以点 为原点， 的方向分别为 轴的正方向建立如下空间直角坐标系，
则 ，
设面 的一个法向量为 ，则 ，取 ，则 ，
易知面 的一个法向量为 ，故 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以平面 与平面 所成角的余弦值为 ．
20. 已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的最小值；
（2）若 ，且对 ，都 ，使得 成立，求实数
的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用导数研究 单调性，注意构造中间函数 判断
的符号；
（2）构造 研究其单调性证 在 上恒成立，再应用导数
研究 在 上的最大值，结合已知恒能成立有 即可求范围.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司因为函数 ，所以 ．
设 ，则 ，故 在 上递减．
，即 ，
在 上单调递减，最小值为 ．
【小问2详解】
令 ，则 在 上恒成立，
即函数 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，即 在 上恒成立；
又 ，当 时 ，
在区间 上单调递增；
在区间 上单调递减．
函数 在区间 上的最大值为 ．
综上，只需 ，解得 ，即实数 的取值范围是 ．
21. 中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂.在中
国有着深厚的群众基础，是普及最广的棋类项目.某地区举行中国象棋比赛，先进行小组赛，每三人一组，
采用单循环赛（任意两人之间只赛一场），每场比赛胜者积3分，负者积0分，平局各1分.根据积分排名
晋级淘汰赛，若出现积分相同的情况，则再进行加赛.已知甲、乙、丙三人分在同一个小组，根据以往比赛
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学科网（北京）股份有限公司数据统计，甲、乙对局时，甲胜概率为 ，平局概率为 ；甲、丙对局时，甲胜概率为 ，平局概率为 ；
乙、丙对局时，乙胜概率为 ，平局概率为 .各场比赛相互独立，若只考虑单循环赛的三场比赛，求：
（1）甲积分的期望；
（2）甲、乙积分相同的概率
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出甲和乙、丙对局时输的概率，甲积分为 ，则 的可能取值为 ，算出每种
情况的概率，得到 的分布列，利用期望的公式求解即可；
（2）若甲、乙积分相同，则只能同时积1分、2分、3分、4分，分类求出每种情况的概率，根据分类加
法计数原理求解即可.
【小问1详解】
由已知可得，甲、乙对局时，甲输 的概率为 ；甲、丙对局时，甲输的概率为 ，
设甲积分为 ，则 的可能取值为 ，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
.
的分布列为：
0 1 2 3 4 6
；
【小问2详解】
若甲、乙积分相同，则只能同时积1分、2分、3分、4分，
若甲、乙均积1分，则甲、乙对局平局，甲、丙对局丙胜，乙、丙对局丙胜，
其概率为 ；
若甲、乙均积2分，则甲、乙对局平局，甲、丙对局平局，乙、丙对局平局，
其概率为 ；
若甲、乙均积3分，则甲、乙对局甲胜，甲、丙对局丙胜，乙、丙对局乙胜，或者甲、乙对局乙胜，甲、
丙对局甲胜，乙、丙对局丙胜，其概率为：
；
若甲、乙均积4分，则甲、乙对局平局，甲、丙对局甲胜，乙、丙对局乙胜，其概率为：
；
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学科网（北京）股份有限公司所以甲、乙积分相同的概率为 .
22. 已知函数
（1）讨论函数 在 上的单调性；
（2）若函数 在 上单调递减，求实数 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，求导得 ，分 ， 以及 讨论，即可得到结果；
（2）根据题意，设 ，然后分 ， 以及 讨论，即可得到结果.
【小问1详解】
由题意知 ，
令 ，得 ，又 单调递增，
①当 时， ，所以当 时， ，即 在 上单调递增；
②当 时， ，所以当 时， ，即 在 上单调递减；
③当 时， 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减。
综上：当 时， 在[1，e]上单调递增；
当 时， 在 上单调递减
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司由题意， ，设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，故 ，
①当 时， 在 上恒成立，所以 ，
从而 ，因为 在 上单调递减，所以 在 上恒成立，从而
，设 ，当 时，
，所以 ，故 在 上单调递增，可得函数 在 上的最小值为
，最大值为
因为 恒成立，所以 ；
②当 时， 在 上恒成立，所以 ，
从而 ，
因为 在 上单调递减，所以 在 上恒成立，故 恒成立，
由①中计算知 在 上的最大值为 ，
当 时，显然 恒成立，满足题意；
③当 时， ，所以 在（1，e）上有唯一的零点 ，且当
时， ；当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司从而 ，
故 ，所以 在 上不可能单调递减，不合题意；
综上所述，实数 的取值范围是 ．
【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究含参函数单调区间的讨论问题以及已知函数单调性求参
数问题，难度较大，解答本题的关键在于分类讨论.
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学科网（北京）股份有限公司
