2004年辽宁高考数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_辽宁

2004 年辽宁高考数学真题及答案 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S 4R2 如果事件A、B相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R表示球的半径球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是 4 P，那么n次独立重复试验中恰好发生k V  R3 3 次的概率P (k) CkPk(1P)nk 其中R表示球的半径 n n 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．若cos0,且sin20,则角的终边所在象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．对于0 a 1，给出下列四个不等式 1 1 ①log (1a)log (1 ) ②log (1a) log (1 ) a a a a a a 1 1 1 1 ③a1a  a a ④a1a  a a 其中成立的是 A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④ 3．已知α、β是不同的两个平面，直线a ,直线b，命题 p:a与b无公共点；命题 q://. 则 p是q的 A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 1z 4．设复数z满足 i,则|1 z| 1 z A．0 B．1 C． 2 D．2 5．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p，乙解决这个问题的概率是 1 p，那么恰好有1人解决这个问题的概率是 2 A． p p B． p (1 p ) p (1 p ) 1 2 1 2 2 1 C．1 p p D．1(1 p )(1 p ) 1 2 1 2 第1页 | 共12页6．已知点A(2,0)、B(3,0)，动点P(x,y)满足PAPB  x2，则点P的轨迹是 A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线  7．已知函数 f(x) sin(x )1，则下列命题正确的是 2 A． f(x)是周期为1的奇函数 B． f(x)是周期为2的偶函数 C． f(x)是周期为1的非奇非偶函数 D． f(x)是周期为2的非奇非偶函数 8．已知随机变量的概率分布如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10  P 2 2 2 2 2 2 2 2 2 m 3 32 33 34 35 36 37 38 39 则P(10)  2 2 1 1 A． B． C． D． 39 310 39 310 1 9．已知点F ( 2,0)、F ( 2,0)，动点P满足|PF ||PF |2. 当点P的纵坐标是 时， 1 2 2 1 2 点P到坐标原点的距离是 6 3 A． B． C． 3 D．2 2 2 10．设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该 平面的距离是球半径的一半，则球的体积是 A．8 6 B．64 6 C．24 2 D．72 2 11．若函数 f(x) sin(x)的图象（部分）如图所示，则和的取值是   A．1, B．1,  3 3 1  1  C． , D． ,  2 6 2 6 12．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个 座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 A．234 B．346 C．350 D．363 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．若经过点P（－1，0）的直线与圆x2  y2 4x2y30相切，则此直线在y轴上 第2页 | 共12页的截距是 . (x)cosx 14．lim = . x x   15．如图，四棱柱ABCD—ABCD 的底面ABCD 1 1 1 1 为正方形，侧棱与底面边长均为2a， 且A AD A AB 60，则侧棱AA 和截面BDDB的距离是 . 1 1 1 1 1 16．口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出 5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 .（以 数值作答） 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，DAB 60,PD 平面ABCD，PD=AD， 点E为AB中点，点F为PD中点. （1）证明平面PED⊥平面PAB； （2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值. 18．（本小题满分12分） 设全集U=R （1）解关于x的不等式| x1|a10(aR);   （2）记A为（1）中不等式的解集，集合B {x|sin(x ) 3cos(x ) 0}， 3 3 若（ A）∩B恰有3个元素，求a的取值范围. ∪ 第3页 | 共12页19．（本小题满分12分） y2 设椭圆方程为x2  1，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点， 4 1 1 1 点P满足OP  (OAOB)，点N的坐标为( , )，当l绕点M旋转时，求： 2 2 2 （1）动点P的轨迹方程； （2）| NP|的最小值与最大值. 第4页 | 共12页20．（本小题满分12分） 甲方是一农场，乙方是一工厂. 由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方 索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t（吨）满足函数关系x  2000 t . 若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）， （1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润 的年产量； （2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y 0.002t2（元），在乙方按照获得最大 利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的 赔付价格s是多少？ 第5页 | 共12页21．（本小题满分14分） 3 1 1 1 1 已知函数 f(x)  ax x2的最大值不大于 ，又当x[ , ]时, f(x) . 2 6 4 2 8 （1）求a的值； 1 1 （2）设0 a  ,a  f(a ),nN.证明a  . 1 2 n1 n n n1 第6页 | 共12页22．（本小题满分12分） 已知函数 f(x) ln(ex a)(a 0). （1）求函数y  f(x)的反函数y  f 1(x)及f(x)的导数 f (x); （2）假设对任意x[ln(3a),ln(4a)],不等式|m f 1(x)|ln(f (x))0成立，求实 数m的取值范围. 第7页 | 共12页2004年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学试题答案与评分参考 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分. 1.D 2.D 3.B 4.C 5.B 6.D 7.B 8.C 9.A 10.A 11.C 12.B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题4分，满分16分. 13 13．1 14．2  15．a 16． 63 三、解答题 17．本小题主要考查空间中的线面关系，四棱锥的有关概念及余弦定理等基础知识，考查空 间想象能力和推理能力. 满分12分. （1）证明：连接BD. AB  AD,DAB 60,ADB为等边三角形.  E是AB中点，AB  DE.…………2分  PD 面ABCD，AB面ABCD，AB  PD.  DE 面PED，PD面PED，DE PD  D,AB 面PED.…………4分   AB 面PAB，面PED 面PAB. ……………………6分  （2）解： AB 平面PED，PE面PED，AB  PE.  连接EF， EF PED，AB  EF.  PEF 为二面角P—AB—F的平面角. ………… 9分 设AD=2，那么PF=FD=1，DE= 3. 在PEF中,PE  7,EF  2,PF 1, ( 7)2 22 1 5 7 cosPEF   , 22 7 14 5 7 即二面角P—AB—F的平面角的余弦值为 .…12分 14 18．本小题主要考查集合的有关概念，含绝对值的不等式，简单三角函数式的化简和已知三 角函数值求角等基础知识，考查简单的分类讨论方法，以及分析问题和推理计算能力. 满 分12分. 解：（1）由| x1|a10得| x1|1a. 当a 1时，解集是R； 当a 1时，解集是{x| x  a或x  2a}.……………………3分 （2）当a 1时，（ A）=； ∪ 第8页 | 共12页当a 1时， A={x|a  x  2a}.……………………5分 ∪       因sin(x ) 3cos(x )  2[sin(x )cos cos(x )sin ] 2sinx. 3 3 3 3 3 3 由sinx 0,得x  k(kZ),即x  kZ,所以B  Z.…………8分 a 1,  当（ A）∩B怡有3个元素时，a就满足2 2a 3, 解得1 a 0.…12分 ∪  1 a 0.  19．本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以 及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. 满分 12分. （1）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为y  kx1. 记A(x ,y )、B(x ,y ),由题设可得点A、B的坐标(x ,y )、(x ,y )是方程组 1 1 2 2 1 1 2 2 y  kx1 ①   y2 的解.…………………………2分  x2  1 ②  4 将①代入②并化简得，(4k2)x2 2kx30，所以  2k x  x   ,   1 2 4k2  于是 8  y  y  .   1 2 4k2 1 x  x y  y k 4 OP  (OAOB) ( 1 2 , 1 2) ( , ).…………6分 2 2 2 4k2 4k2 设点P的坐标为(x,y),则  k x  ,   4k2  消去参数k得4x2  y2  y 0 ③ 4  y  .   4k2 当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方 程为4x2  y2  y 0.………………8分 解法二：设点P的坐标为(x,y)，因A(x ,y )、B(x ,y )在椭圆上，所以 1 1 2 2 第9页 | 共12页y2 y2 x2  1 1, ④ x2  2 1. ⑤ 1 4 2 4 1 ④—⑤得x2 x2  (y2  y2) 0，所以 1 2 4 1 2 1 (x x )(x  x ) (y  y )(y  y ) 0. 1 2 1 2 4 1 2 1 2 1 y  y 当x  x 时，有x  x  (y  y ) 1 2 0. ⑥ 1 2 1 2 4 1 2 x x 1 2  x  x x  1 2 ,  2   y  y 并且y  1 2 , ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 4x2  y2  y 0. ⑧ 2  y1 y y  1 2 .  x x x  1 2 当x  x 时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0） 1 2 也满足⑧，所以点P的轨迹方程为 1 (y )2 x2 2  1.………………8分 1 1 16 4 1 1 1 （2）解：由点P的轨迹方程知x2  ,即  x  .所以 16 4 4 1 1 1 1 1 7 | NP|2(x )2 (y )2 (x )2  4x2  3(x )2  ……10分 2 2 2 4 6 12 1 1 1 故当x  ，| NP|取得最小值，最小值为 ;当x   时，| NP|取得最大值， 4 4 6 21 最大值为 .……………………12分 6 1000 注：若将s  代入v的表达式求解，可参照上述标准给分. t 21．本小题主要考查函数和不等式的概念，考查数学归纳法，以及灵活运用数学方法分析和 解决问题的能力. 满分14分. 3 1 （1）解：由于 f(x)  ax x2的最大值不大于 ,所以 2 6 a a2 1 f( )   ,即a2 1. ① ………………3分 3 6 6 第10页 | 共12页 1 1 a 3 1 f( ) ,   ,   1 1 1  2 8 2 8 8 又x[ , ]时f(x) ,所以 即  解得a 1. ② 4 2 8 1 1 a 3 1   f( ) ,   .    4 8 4 32 8 由①②得a 1.………………6分 1 1 （2）证法一：（i）当n=1时，0 a  ，不等式0 a  成立； 1 2 n n1 2 1 1 因 f(x) 0,x(0, ),所以0 a  f(a )  ,故n  2时不等式也成立. 3 2 1 6 3 1 3 （ii）假设n  k(k  2)时，不等式0 a  成立，因为 f(x)  x x2的 k k 1 2 1 1 1 1 对称轴为x  ,知 f(x)在[0, ]为增函数，所以由0 a   得 3 3 1 k 1 3 1 0 f(a ) f( )………………8分 k k 1 于是有 1 3 1 1 1 1 k 4 1 0 a         , k1 k 1 2 (k 1)2 k 2 k 2 k 2 2(k 1)2(k 2) k 2 …………12分 所以当n=k+1时，不等式也成立. 1 根据（i）（ii）可知，对任何nN，不等式a  成立.…………14分 n n1 1 1 证法二：（i）当n=1时，0  a  ，不等式0 a  成立； 1 2 n n1 1 （ii）假设n  k(k 1)时不等式成立，即0 a  ，则当n=k+1时， n k 1 3 1 3 a  a (1 a )  (k 2)a (1 a )………………8分 k1 k 2 k k 2 k 2 k 3 因(k 2)a 0,1 a 0,所以 k 2 k 3 1 1(k 2 )a 1(k  )a 3 2 k 2 k (k 2)a (1 a )[ ]2 [ ]2 1.……12分 k 2 k 2 2 1 于是0 a  . 因此当n=k+1时，不等式也成立. k1 k 2 1 根据（i）（ii）可知，对任何nN，不等式a  成立.…………14分 n n1 1 1 证法三：（i）当n=1时，0 a  ,不等式0 a  成立； 1 2 n n1 1 （ii）假设n  k(k 1)时,0 a  ,则当n  k 1时. k k 1 第11页 | 共12页1 3 1 若0 a  .则0 a a (1 a ) a  . ①…………8分 k k 2 k1 k 2 k k k 2 t2 a2 t2 a2 t t (t t )a2(t t ) v(t )v(t )  2  1  1 2 2 1 2 1 0. 2 1 t t t t 2 1 3 2 所以u(t),v(t)都是增函数. 12 因此当t[3a,4a]时，u(t)的最大值为u(4a)  a,v(t)的最小值为 5 8 v(3a)  a,而不等式②成立当且仅当u(4a)em v(3a),即 3 12 8 12 8 a em  a，于是得 ln( a) mln( a).………………12分 5 3 5 3 解法二：由|m f 1(x)|ln(f (x))0得 ln(ex a)ln(ex a) x  mln(ex a)ln(ex a)x. 设(x) ln(ex a)ln(ex a) x,(x) ln(ex a)ln(ex a)x, 于是原不等式对于x[ln(3a),ln(4a)]恒成立等价于(x)m(x). ③…7分 ex ex ex ex 由(x)   1,(x)   1，注意到 ex a ex a ex a ex a 0ex a ex ex a,故有(x) 0,(x) 0，从而可(x)与(x)均在 [ln(3a),ln(4a)]上单调递增，因此不等式③成立当且仅当 12 8 (ln(4a)) m(ln(3a)).即 ln( a) mln( a).………………12分 5 3 第12页 | 共12页