文档内容
重庆一中高 2025 届高三下期开学考试
数学试题
本试卷共 4 页， 共 19 题．满分 150 分， 考试用时 120 分钟．
注意事项：
1． 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上的指定位置．
2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．
写在本试卷上无效．
3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要 求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 复数 满足 ( 为虚数单位)，则复数 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列函数中，值域为 且为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
4. 为了得到曲线 的图象，可以将曲线
上所有的点（ ）
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（北京）股份有限公司A. 横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度
B. 横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度
C. 横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度
D. 横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度
5. 在 中， 是直线 上一点且 ，则
（ ）
A. -2 B. C. D. 0
6. 已知等差数列 的公差 ，记该数列的前 项和为 ，数列 恒
单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 四面体 中， ，点 在三角形 内
部 (包含边界) 且 ，则三棱锥 的体积最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知实数 满足 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D. 3
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（北京）股份有限公司二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部 选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若样本数据 的样本方差为9，则数据 的方差为16
的
B. 若一组样本数据 频率分布直方图为单峰不对称，且在左“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数
C. 已知随机变量 ，若 ，则
D. 运动员每次射击击中目标的概率为0.7 ，则在11次射击中，最有可能击中的次数是8次．
10. 若函数 在 上恒成立，且 ，则下列结论中正确的有（
）
A. B. 的最大值为
C. 若 的最小值为 D. 的最大值为
11. 设 为非负整数， 为正整数，若 和 被 除得的余数相同，则称 和 对模
同余，记为 A ． 若 是素数， 为不能被 整除的正整数，则
，这个定理称之为费马小定理． 下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 为素数，存在无数个正整数 D. 已知实数 ，则方程
的解只有 10 个
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 现有 2 位女生和 3 位男生站成一排照相，要求女生甲排在两端且 3 位男生中有且只有 2 位相邻，则
不同的站法有_____
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（北京）股份有限公司.
13 _____． (请用最简数值作答)
14. 已知双曲线 的离心率为 ，若双曲线 上不存在以点 为中点的弦，
则 的取值范围为_____．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 为奇函数．
（1）求 的值；
（2）若方程 在 上有两个不等实根，求实数 的取值范围．
16. 已知 内的角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，已知 ．
（1）求角 ;
（2）若 为 外一点，在四边形 中，边长 ， 求边
的最小值．
17. 已 知 定 义 域 为 的 函 数 满 足 ， 且 ， 记
.
（1）求数列 通项公式；
（2） ，求数列 的前 项和 ；
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（北京）股份有限公司（3） ，记数列 的前 项和为 ，求证： ．
18. 继 2023 年电子竞技首次作为正式竞赛项目登上杭州亚运会舞台后，2024 年国际奥委会宣布首届奥林
匹克电子竞技运动会将于 2025 年在沙特阿拉伯王国举办．这意味着电子竞技作为虚拟体育正式成为奥运
会项目的一部分．为迎接电子竞技行业这一里程碑式的时刻， 甲、乙两俱乐部计划按照现今体育比赛中的
赛制举办友谊赛．在体育比赛中有两种常见赛制：一种是 局 胜制，例如一场比赛有5局， 率先
胜3局一方获胜，本场比赛结束; 另一种是 局 胜制，例如一场比赛有7局，率先胜4局一方获
胜， 本场比赛结束．
（1）若采用5局3胜制，甲俱乐部每场比赛获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，甲俱乐部每场比赛获
胜的概率为0.9．已知甲、乙俱乐部采用这两种赛制各进行了 场比赛，试自行绘制 列联表，
并根据小概率值 的独立性检验，来推断赛制是否对甲队获胜的场数有影响;
（2）设甲俱乐部每局比赛获胜的概率均为 ，且每局比赛都能决出胜负，没有平同： ①若两
俱乐部采用5局3胜制比赛，记事件 ： “甲俱乐部只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”，事件 ：
“两俱乐部赛满5局，甲俱乐部至少取得3局比赛胜利且甲获胜”，试证明： ;
②若甲、乙两俱乐部创造一种全新的赛制，约定比赛规则为：共进行 局，赢得局数大于 局的俱乐部
获胜．若甲俱乐部每局比赛获胜的概率 ，试判断进行几局比赛时，甲俱乐部获胜的概率最大，并说
明理由．
0.02 0.01
0.10 0.05
5 0
.
2.70 3.84 502 6.63
6 1 4 5
附： ，其中 ．
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（北京）股份有限公司19. 在直角坐标系 中， 为椭圆 的左、右焦点．直线 交椭
圆 于 两点，交 轴于 点． 其中点 在 轴上方， 的最大值为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）将平面 沿 轴翻折，使 轴正半轴和 轴所确定的半平面与 轴负半轴和 轴所确定的半平面所
成二面角的平面角为 ，且 ，
① 在 取得最大值的情况下，若 ，求翻折后异面直线 与 所成角的正弦值;
②若在平面 上存在点 满足 ， ，且 ，求锐二面角
的余弦值的最小值．
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（北京）股份有限公司
