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北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测二
数学 参考答案 2023.5
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）B （2）C （3）C （4）B （5）D
（6）A （7）A （8）D （9）B （10）C
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12） （13） （答案不唯一）
（14） （15）①③④
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（本小题13分）
解：（Ⅰ）因为在 中， ，又 ，
所以 ．
所以 ． ………6
分
（Ⅱ）由余弦定理 ，得 ．
又 ，所以 ．
由正弦定理 ，得
………13分
（17）（本小题13分）
解：（Ⅰ）设事件 为“从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”．
由题可知，未废弃的发酵液共 瓶，其中品质高的有 瓶，
则 ． ………4
分（Ⅱ）设事件 为“从样本含A型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质
高”，
事件 为“从样本含B型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”，
事件 为“从样本含C型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”．
由题可知， ， ， ．
则 ． …10分
（Ⅲ） ． ………13分
（18）（本小题14分）
解：（Ⅰ）在矩形 中， ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
又因为 平面 ，且平面 平面 ，
所以 ．故 ．
又因为 是 的中点，所以 是 的中点． ………5
分
（Ⅱ）选择条件①：三角形 的面积为 ．
因为 平面 ，所以 ．
又 ，且 ，所以 平面 ．
又 平面 ，所以 ．
因此 ．所以 ，即 ．
故 .
因为 平面 ，
所以 ， ．
又在矩形 中， ，
所以 两两垂直．
如图建立空间直角坐标系 ，则 ．
所以 ．
平面 的一个法向量为 ．
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ．
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ． ………14
分
选择条件②：三棱锥 的体积为 ．
因为 为 的中点，
所以 ，即 ，得 ．
下同选择条件①．
（19）（本小题15分）
解：（Ⅰ）由题意得 解得
所以椭圆 的方程为 ． ………5
分
（Ⅱ）因为点 是椭圆 上的任意一点，所以 ．
①当 时，点 或 ．
当点 为 时，直线 与直线 相交于点 ．此时 ．
当点 为 时，直线 与直线 相交于点 ．此时 ．②当 时，直线 的方程为 ．
由 得 所以点 ．
所以
．
所以 ．
综上， ． ………15分
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ）（ⅰ）当 时， ，
所以 ，则 ．
又 ．
所以曲线 在点 处的切线方程为： ，
即 ． ………4
分
（ⅱ）设函数 ，定义域为 ，
当 时， ．
所以 ．
当 时， ，所以 的单调递增区间为 ，
当 时， ，所以 的单调递减区间为 ．
所以 ．所以 ．
故 ． ………9
分
（Ⅱ）① 当 时， ，
所以 ，与 的极大值大于 矛盾，不符合题意．
② 当 时， ，
令 ，得 ，或 （舍）．
设 ，则 ．
当 时， ，所以 的单调递增区间为 ，
当 时， ，所以 的单调递减区间为 ．
所以 为 的极大值点，且 ， ．
此时极大值 ，
因为 ，所以 ， ．
所以 ，符合题意．
综上， 的取值范围为 ． ………15
分
（21）（本小题15分）
解：（Ⅰ） 的所有可能值为 ． ………4
分
（Ⅱ）因为 ，所以 ．
所以 ．
因为无穷数列 中的项存在最大值，所以存在 使得 ．
因为 ，
所以 ．故存在 使得 ．
所以 为数列 中的项． ………9分
（Ⅲ）不存在正实数 ，使得对任意的正整数 ，都有 ．理由如下．
因为 ，所以 ．
设集合 ．
（1）若 ，则 ．
对任意 ，取 （其中 表示不超过 的最大整数），
则当 时，
．
（2）若 ，且 为有限集，
设 ，则 ．
对任意 ，取 （其中 表示不超过 的最大整数），
则当 时，
．
（3）若 ，且 为无限集，
设 ， ．
若 ，则 ，又 ，矛盾．
所以 ．
记 ．
当 时， ．
因为 ，所以 ．
当 时， ．因为 ，所以 ．
所以 ．
因为 ，
所以 ．
所以 ，且 ．
对任意 ，
取 （其中 表示不超过 的最大整数），则当 时，
．
综上，不存在正实数 ，使得对任意的正整数 ，都有 ． ………15分
