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北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测二
数 学 2023.5
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题40分和非选择题110分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
（1）已知集合 ，集合 ，则
（A） （B） （C） （D）
（2）若复数 为纯虚数，则
（A） （B） （C） （D）
（3）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则
（A） （B） （C） （D）
（4）已知数列 的前 项和是 ，则
（A） （B） （C） （D）
（5）已知 ，则
（A） （B） （C） （D）
（6）已知 ，则“ ”是“函数 在区间 上单调递增”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）在 中， , 分别是 , 的中点，若 ，则
（A） （B） （C） （D）（8）设函数 ，若 对任意的 恒
成立，则
（A） （B）
（C） （D）
（9）如图，在棱长为2的正方体 中， 为线段 的中点， 为线段
上的动点，则下列结论正确的是
（A）存在点 ，使得
（B）存在点 ，使得 平面
（C）三棱锥 的体积是定值
（D）存在点 ，使得 与 所成的角为
（10）已知函数 是 上的奇函数，当 时， ．若关于 的方程
有且仅有两个不相等的实数解，则实数 的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）函数 的定义域为 ．
（12）已知 的展开式中所有项的二项式系数的和为 ，则 ，展
开式中 的系数为 ．
（13）将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，若 在区间
上有且仅有一个零点，则实数 的一个取值为 ．
（14）已知圆 ，抛物线 ，则圆心 到抛物线 的准线的距
离为 ；过圆心 的直线与圆 相交于 , 两点，与抛物线 相交于 , 两
点，若 ，则 ．
（15）斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用．斐波那契数
列 满足 ， ．给出下列四个结论：
① 存在 ，使得 ， ， 成等差数列；
② 存在 ，使得 ， ， 成等比数列；
③ 存在常数 ，使得对任意 ，都有 ， ， 成等差数列；
④ 存在正整数 ，且 ，使得 .
其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
在 中， ， ， ．
（Ⅰ）求 的面积；
（Ⅱ）求 及 的值．
（17）（本小题13分）
果酒由水果本身的糖分被酵母菌发酵而成．研究表明，果酒中的芳香气味主要来自于酯
类化合物．某学习小组在实验中使用了3种不同的酵母菌（A型，B型，C型）分别对三组
（每组10瓶）相同的水果原液进行发酵，一段时间后测定发酵液中某种酯类化合物的含量．
实验过程中部分发酵液因被污染而废弃，最终得到数据如下（“X”表示该瓶发酵液因废弃
造成空缺）：
酵母菌类型 该酯类化合物的含量
A型 X 2747 2688 X X 2817 2679 X 2692 2721
B型 1151 X 1308 X 994 X X X 1002 X
224
C型 X X 2340 2318 X 2519 2162 X X
0
根据发酵液中该酯类化合物的含量 是否超过某一阈值来评定其品质，其标准如下：
酵母菌类
品质高 品质普通
型
A型
B型
C型
假设用频率估计概率．
（Ⅰ）从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，求其品质高的概率；
（Ⅱ）设事件 为“从样本含A型，B型，C型酵母菌的未废弃的发酵液中各随机抽取一瓶，
这三瓶中至少有一瓶品质高”，求事件 发生的概率 ；
（Ⅲ）设事件 为“从样本未废弃的发酵液中不放回地随机抽取三瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”，试比较事件 发生的概率 与（Ⅱ）中事件 发生的概率 的大小
（结论不要求证明）
（18）（本小题14分）
如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 底面 ，且 ，
是 的中点，平面 与线段 交于点 ．
（Ⅰ）证明： 为 的中点；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求直线 与平面 所成角的正弦值．
条件①：三角形 的面积为 ；
条件②：三棱锥 的体积为 ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
（19）（本小题15分）
已知点 在椭圆 上，且 的离心率为 ．（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）设 为椭圆 的右焦点，点 是 上的任意一点，直线 与直线
相交于点 ，求 的值．
（20）（本小题15分）
已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，
（ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（ⅱ）证明： ；
（Ⅱ）若函数 的极大值大于 ，求 的取值范围．（21）（本小题15分）
已知无穷数列 满足 ，其中
表示 中最大的数， 表示 中最小的数．
（Ⅰ）当 时，写出 的所有可能值；
（Ⅱ）若数列 中的项存在最大值，证明： 为数列 中的项；
（Ⅲ）若 ，是否存在正实数 ，使得对任意的正整数 ，都有 ？
如果存在，写出一个满足条件的 ；如果不存在，说明理由．
