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哈六中高三四模数学试题参考答案
一、二、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B C C A B A D BD ACD ABD
三、填空题：
12. ； 13. 0； 14. 第一空：12； 第二空：
四、解答题：
15.【详解】（1） ，
，又 ， ，
则 ， ，故 .
（2）因为 ，所以 ，则 ，
，
，
所以 ，
所以 .
16.【详解】
学科网（北京）股份有限公司（1）设
则
（2）X的取值为50，-30
分布列为 X 50 -30
P 0.129 0.871
,
（3） 评分为1分、2分、3分、4分的累计频数分别为30，90，210，480
，故中位数为 ，
不低于4分，不需要整改
众数也为4，所以改成众数后结论不变，也不需要整改
众数并未告诉它比别的数值多的程度，这种修改会使商家更关注获得最多评分的质量水平。
17.【详解】（1） ，
①当 时， ， ，则
②当 时， ，
解得 ，
当 ，当 ，
，减区间为
学科网（北京）股份有限公司综上，当 时， ；
当 时 ， ， 减 区 间 为
（2）要使 ，需 ， ，
令 ，
当 时， ，
当 时， ，
故 ， ，所以a的取值范围是
18.【详解】（1）证明：假设 ，又因为正方形 的边长为 ，
且 是线段 的中点，所以 ,所以 ,又因为 ,
有 ，所以 ，
因为 ， ,所以
因为 所以 ,
又因为 所以 ，这与 矛盾，所以假设不成立，
所以无论 取何值， 与 不可能垂直。
（2）过D作
学科网（北京）股份有限公司因为 ,所以
,又 ,
,
（3）由题可得，分别以EA，EF为 轴，过点E垂直平面ABFE向上为z轴，建立空间直角坐标系，
所以 ,
，
所以 ，
设平面BCM的一个法向量为 ，
所以 即 ，取 ，可得 ，
设平面BDM的一个法向量为 ，
所以 ，即 ，取 ，可得
又 ，所以
所以 解得 .
19.【详解】（1）注意到 三点共线，
学科网（北京）股份有限公司从而 ，即 ，所以 ，解得 ；
（2）由题意知直线 斜率不为0，设直线 的方程为 ，
联立直线 的方程与椭圆 的方程，得 ，整理得 ，
，
设 ，联立直线 的方程 与直线 的方程 ，
解得 ，
设 为点 到直线 的距离，从而 ，
，
从而 ，
设 ，则
学科网（北京）股份有限公司求导得
从而函数 在 上单调递增，故 面积的最小值为 .
学科网（北京）股份有限公司
