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2023~2024 学年福州市高三年级 2 月份质量检测
数学试题
（完卷时间120分钟；满分150分）
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知点 在抛物线 上，则 的焦点到其准线的距离为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
3．已知 是两个不共线的向量，若 与 是共线向量，则（ ）
A． B． C． D．
4．在 中， ，则 的面积为（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知正方形 的四个顶点都在椭圆上，粗圆的两个焦点分别在边 和 上，则该粗圆的离心率
为（ ）
A． B． C． D．
7．甲、乙、丙三个地区分别有 的人患了流感，且 构成以1为公差的等差数列．已知这三
个地区的人口数的比为 ，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地
区的概率最大，则 的可能取值为（ ）
A．1.21 B．1.34 C．1.49 D．1.51
学科网（北京）股份有限公司8．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ．若 的图象关于点
对称，且 ，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知等差数列 的前 项和为 ，则（ ）
A． 的最小值为1 B． 的最小值为1
C． 为递增数列 D． 为递减数列
10．在长方体 中， 为 的中点，则（ ）
A． B． 平面
C．点 到直线 的距离为 D．点 到平面 的距离为
11．通信工程中常用 元数组 表示信息，其中 或 ．设
表示 和 中相对应的元素（ 对应 ， ）
不同的个数，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则存在5个5元数组 ，使得
B．若 ，则存在12个5元数组 ，使得
C．若 元数组 ，则
D．若 元数组 ，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
学科网（北京）股份有限公司12．在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 ______．
13．底面半径为2且轴截面为正三角形的圆锥被平行于其底面的平面所截，截去一个高为 的圆锥，所得
的圆台的侧面积为______．
14．在平面直角坐标系 中，整点 （横坐标与纵坐标均为整数）在第一象限，直线 ， 与
分别切于 两点，与 轴分别交于 两点，则使得 周长为 的所
有点 的坐标是______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知函数 是 的零点．
（1）求 的值；
（2）求函数 的值域．
16．（15分）
如图，四棱锥 的底面为正方形，平面 平面 在 上，且 ．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 为 的中点，且 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
17．（15分）
人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，树人中学为了了解这两种性格特征与人的性别是否存
在关联，采用简单随机抽样的方法抽取90名学生，得到如下数据：
外向型 内向型
男性 45 15
女性 20 10
（1）以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取 2人、女生中随机抽取1人担任志愿者．设这
三人中性格外向型的人数为 ，求 的数学期望．
学科网（北京）股份有限公司（2）对表格中的数据，依据 的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的性
别没有关联．如果将表格中的所有数据都扩大为原来10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断这两
种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由．
附：参考公式： ．
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
18．（17分）
已知双曲线 ，动直线 与 轴交于点 ，且与 交于 两点，
是 的等比中项， ．
（1）若 两点位于 轴的同侧，求 取最小值时 的周长；
（2）若 ，且 两点位于 轴的异侧，证明： 为等腰三角形．
19．（17分）
已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）求证： ；
（3）若 且 ，求证： ．
2023~2024 学年福州市高三年级 2 月份质量检测
数学试题
参考答案
（完卷时间120分钟；满分150分）
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．【答案】A
学科网（北京）股份有限公司【解析】集合 包含所有小于1的实数， 包含 和1两个元素，所以 ．
2．【答案】B
【解析】将点 代入 ，可得 ，故 的焦点到其准线的距离为1．
3．【答案】D
【解析】依题意，设 ，又 是两个不共线的向量，所以 ，所以
．
4．【答案】B
【解析】由余弦定理得， ，所以 ，
所以 ．
5．【答案】D
【解析】函数 在 上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，所以 在
区间 单调递减，所以 ，解得 ．故选D．
6．【答案】C
【解析】不妨设椭圆方程为 ，当 时， ，所以 ，
因为四边形 为正方形，所以 ，即 ，所以 ，所以 ，解得
，因为 ，所以 ．
7．【答案】D
【解析】设事件 分别为“此人来自甲、乙、丙三个地区”，事件 分别为“此人患了流感，
且分别来自甲、乙、丙地区”，事件 为“此人患了流感”．
由题可知， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，因为此人患了流感来自甲地区的概率
最大，所以 解得 ，故选D．
8．【答案】C
【解析】因为 的图象关于点 对称，所以 的图象关于原点对称，即函数 为奇函数，
则 ， 又 ， 所 以 ， 所 以
，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，
所以3是 的一个周期；因为 ，故C正确；
取符合题意的函数 ，则 ，
所 以 ， 又 ， 故 2 不 是 的 一 个 周 期 ， 所 以
，排除B；
因为 不是函数 的最值，所以函数 的图象不关于直线 对称，
所以 ，排除A；因为 ，所以排除D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．【答案】ABC
【解析】假设 的公差为 ，由 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 ．
学科网（北京）股份有限公司选项A： ，故 时 的最小值为1，A正确；
选项B： ，令 ，所以 ，可知 在区间 单
调递增，所以 时 取得最小值1，B正确；
选项C： ，故 为递增数列，C正确；
选项D： ，因为 ，所以 不是递减数列，D错误．
10．【答案】BC
【解析】如图建立空间直角坐标系 ，易知 ， ， ， ，
， ．
选项A， ， ，所以A错误；
选项B，显然 ，可得 平面 ，所以B正确；
选项C，记直线 的单位方向向量为 ，则 ，又 ，
所以向量 在直线 上的投影向量为 ，
则有 到直线 的距离为 ，故C正确；
选项D，设平面 的法向量为 ，由 ，
学科网（北京）股份有限公司可求得 ，又 ，所以点 到平面 的距离 ，
故D错误．
11．【答案】ACD
【解析】选项A：满足条件的数组共有 个，故A正确；
选项B：满足条件的数组共有 个，故B错误；
选项C：设 中对应项同时为0的共有 个，同时为1的共有 个，从而对应
项一项为 1 与另一项为 0 的共有 个，这里 ，从而 ，而
，故C正确，同理D正确．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．【答案】
【解析】依题意可知 ，所以 ．
13．【答案】
【解析】由已知可得圆台的上底面半径 ，下底面半径 ，母线长 ，则该圆台的侧面积为
．
14．【答案】 或
【解析】因为直线 分别与 相切于 两点，且直线 分别与 轴交于
两点，所以 ，
所以 的周长为
学科网（北京）股份有限公司，
所以 ，设 ，所以 ，因为 为整点，所以点 的坐标为
或 ．
备注：只写出一个点坐标不得分．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．【解析】（1）由已知可得 ，
解得 ，
即 ，
又 ，可得 ．
（2）由 ，可得
，
其中 ，
学科网（北京）股份有限公司则当 时取得最小值 时取得最大值2，
故函数 的值域为 ．
16．【解法一】
（1）因为 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 ，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面
（2）由（1）得 平面 ，又 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 平面 平面 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
由（1）知 两两垂直，如图，以点 为原点，分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴
建立空间直角坐标系，
则 ．
所以 ，
显然平面 的一个法向量 ，
学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ，则
即 取 ，则 ，
所以 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
【解法二】
（1）因为 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
又 平面 平面 ，
所以 平面 ．
（2）由（1）知 两两垂直，如图，以点 为原点，分别以 所在直线为 轴， 轴，
轴建立空间直角坐标系，则 ．
设 ，则 ，
所以 ，
由 ，得 ，解得 ，或 （舍去），
所以 ，
所以 ，
显然平面 的一个法向量 ，
学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ，则
即 取 ，则 ，
则 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
17．【解法一】
（1）由统计结果可知，外向型男生在所有男生中占比为 ，外向型女生在所有女生中占比为 ，故从该校
男生中随机抽取一人为外向型男生的概率是 ，从该校女生中随机抽取一人为外向型女生的概率是 ．
则 的所有可能取值为0，1，2，3．
则 ，
，
所以 ．
（2）零假设为 ：这两种性格特征与人的性别无关联．
由所获得的所有数据都扩大为原来10倍，可知
学科网（北京）股份有限公司依据 的独立性检验，可以推断这两种性格特征与人的性别有关联，与原来的结论不一致，原因是每
个数据扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化．
【解法二】
（1）由统计结果可知，外向型男生在所有男生中占比为 ，外向型女生在所有女生中占比为 ，故从该校
男生中随机抽取一人为外向型男生的概率是 ，从该校女生中随机抽取一人为外向型女生的概率是 ．
从该校男生中随机抽取2人，抽到性格外向型的人数记为 ；从该校女生中随机抽取1人，抽到性格外向型
的人数记为 ，则 ，
所以 ，
所以 ．
（2）略，同解法一．
18．【解法一】
（1）因为动直线 与 轴交于点 ，因为 的右焦点为 ，所以点
为 的右焦点．
设 ，
因为 两点位于 轴的同侧，所以 ，
因为 是 的等比中项，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，所以 ，
当 时 ，所以 ，所以 轴，
学科网（北京）股份有限公司由 解得 ，
所以 ，所以 ，
由双曲线的定义得 ，
所以 ，
即 的周长为36
（2）设 ，
由 得 ，
因为直线 与 交于 两点，
所以 且 ，
由 ，可得 ，故 ，
又 两点位于 轴的异侧，所以 ，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
不妨设点 在第二象限，根据双曲线定义，得 ，即
解得 ，所以 是等腰三角形．
【解法二】
（1）设
学科网（北京）股份有限公司由 得 ，
因为直线 与 交于 两点，
所以 且 ，
由 两点位于 轴的同侧，可得 ，解得 ，
又 是 的等比中项，故可得 ，
故 ，
即 ，
又 ，故 ，
可得 ，即 且 ，所以 ，
当 即 时，所以 轴，由 解得 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
即 的周长为36．
（2）因为 两点位于 轴的异侧，故 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司且由（1）知 ，
解得 或 ，
当 时，设 的中点 的坐标为 ，
，所以点 的坐标为 ，
又 的垂直平分线的斜率为 ，所以 的垂直平分线方程为 ，
即 ，
又点 在直线 上，所以 ，即 为等腰三角形．
当 时，同理可证， 为等腰三角形．
综上所述， 为等腰三角形．
19．【解法一】
（1） 的定义域为 ， ，
记 ，
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减
所以 ，即 ，
所以 在区间 上单调递减．
（2）先证 ，记 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司记 ，则 ，所以 时， 递增；
时， 递减．
所以 ，所以 ，又 ，所以 ，故 ．
再证 ，即证 ，记 ，
则 ，
记 ，则 ，所以 在 递增，
所以 ，所以 ，即 ，
所以 ．
（3）由（2）知 的最大值为0．
因为 且 ，则 之中至少有一个大于1，
不妨设 ，则 ，由（1）可知 为减函数，所以 ，
所以 ，
因为
，
记 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ．
学科网（北京）股份有限公司【解法二】
（1）略，同解法一
（2）构造函数 ，
当 时， 单调递增， ，所以 ，
构造函数 ，
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减．
所以 ，即 ，即 成立．
所以 ，
所以 ，
9分则只需证明 ，即 ，而 显然成立，
所以 ．
（3）先证 ，记 ，则 ，
记 ，则 ，所以 时， 递增；
时， 递减．
所以 ，所以 ，又 ，所以 ，故 ．
所以 ，
因为 且 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，则 ．
学科网（北京）股份有限公司
