文档内容
临沂市 2023 级普通高中学科素养水平监测试卷
数学
2025.1
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知直线 与 平行，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线一般式中平行满足的系数关系即可求解.
【详解】由于直线 与 平行，
故 ，解得 ，
故选：D.
2. 若 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
【答案】C
【解析】
【分析】利用基底的意义，逐项判断即得.
【详解】对于 A， ，向量 ， ， 共面，A 不是；
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学科网（北京）股份有限公司对于 B， ，向量 ， ， 共面，B 不是；
对于 C，假定向量 ， ， 共面，则 ，而 不共面，
于是 ，无解，因此向量 ， ， 不共面，C 是.
对于 D， ，向量 ， ， 共面，D 不是.
3. 已知数列 为等比数列，若 ， ，则 （ ）
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出等比数列 公比，进而求出 .
【详解】设等比数列 公比为 ， ，而 ， ，则 ，解得 ，
所以 .
故选：B
4. 已知双曲线 （ ， ） 离心率为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由离心率求出 ，进而求出渐近线方程.
【详解】由双曲线 的离心率为 ，得 ，解得 ，
而曲线 的渐近线方程为 ，即 ，
所以该双曲线的渐近线方程为 .
故选：A.
5. 已知空间向量 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解.
【详解】空间向量 ， ，则 ，
所以 在 上的投影向量为 .
故选：A
6. 在等差数列 中，若 ，则 （ ）
A. 24 B. 28 C. 32 D. 36
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列的通项公式列式化简求解.
【详解】设等差数列 的公差为 ，由 ，得 ，
则 ，所以 .
故选：D.
7. 已知圆 与圆 交于 ， 两点，当弦 最长时，实
数 的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】求出圆 的圆心及半径，再求出公共弦所在的直线方程，进而求出弦长最
长时 的值.
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，
显然原点 在圆 内，又在圆 内，
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学科网（北京）股份有限公司因此两圆必相交，直线 方程为 ，而弦 最大值为 6，
即为圆 的直径，此时直线 过点 ，
则 ，所以 .
故选：C.
8. 已知空间直角坐标系中， 、 、 ，点 是空间中任意一点，若 ，
， ， 四点共面，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设 ，根据空间向量的坐标运算可得出关于 、 、 、 、 的等
式组，消去 、 可得结果.
【详解】在空间直角坐标系中， 、 、 ，
则 ， ， ，
因为 、 、 、 四点共面，设 ，
即 ，
可得 ，消去 、 可得 ，即 ，
故选：A.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
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学科网（北京）股份有限公司9. 椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 为 上的任意一点，则（ ）
A. 椭圆 的长轴长为 3 B. 椭圆 的离心率为
C. 的最大值为 5 D. 存在点 ，使得
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长、半焦距，再逐项判断得解.
【详解】椭圆 ： 的长半轴长 ，短半轴长 ，半焦距 ，
对于 A，椭圆 的长轴长为 6，A 错误；
对于 B，椭圆 的离心率为 ，B 正确；
对于 C， ，C 正确；
对于 D， ，以线段 为直径的圆在椭圆 内，因此不存在点 ，使得 ，D 错误.
故选：BC.
10. 已知圆 ： ， 是直线 ： 上的一动点，过点 作直线 ， 分别
与 相切于点 ， ，则（ ）
A. 存在圆心在 上的圆与 相内切 B. 四边形 面积的最小值为
C. 的最小值是 D. 点 关于 的对称点在 内
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用两圆内切的条件判断 A；借助切线长定理求出面积最小值判断 B；求出 时对应弦长判
断 C；求出点 关于直线 的对称点到圆心距离判断 D.
【详解】圆 ： 的圆心 ，半径
对于 A，在直线 上取点 ， ，点 在圆 外，
以点 为圆心， 为半径的圆与圆 相内切，A 正确；
对于 B，四边形 面积 ，
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学科网（北京）股份有限公司点 到直线 的距离 ，则 ， ，
当且仅当 时取等号，B 正确；
对于 C，当 时， ，由 ，得 ，
解得 ，C 错误；
对于 D，点 到直线 的距离为 ，点 与点 的距离为 5，
点 与圆心 确定的直线斜率为 ，而直线 的斜率为 ，
即点 与 确定的直线垂直于 ，因此点 关于 的对称点到点 的距离为 ，
则点 关于 的对称点在 内，D 正确.
故选：ABD
11. 如图，该几何体是四分之一圆柱体（点 ， 分别是上、下底面圆的圆心），四边形 是正方形，
点 是圆弧 的中点，点 是圆弧 上的动点（含端点），则（ ）
A. 存在点 ，使得
B. 存在点 ，使得直线 ∥平面
C. 存在点 ，使得平面 平面
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学科网（北京）股份有限公司D. 存在点 ，使得直线 与平面 的所成角的余弦值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】建系标点，对于 A：利用空间向量说明线线垂直；对于 B：利用空间向量说明线面平行；对于 C：
利用空间向量说明线面垂直；对于 D：利用空间向量求线面夹角.
【详解】如图，以 为坐标原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，
不妨设 ，则 ，
设 ，
对于选项 A：因为 ，
令 ，
可得 ，显然该方程无解，
所以不存在点 ，使得 ，故 A 错误；
对于选项 B：因为 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
若直线 平面 ，
则 ，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司且 ，则 ，即 ，
所以存在点 ，使得直线 ∥平面 ，故 B 正确；
对于选项 C：因为 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
若平面 平面 ，
则 ，
显然 时，上式成立，
所以存在点 ，使得平面 平面 ，故 C 正确；
对于选项 D：设直线 与平面 的所成角为 ，
若 ，则 ，
可得： ，
整理可得 ，
构建 ，
因为 在 内连续不断，且 ，
可知 在 内有零点，即 在 内有根，
所以存在点 ，使得直线 与平面 的所成角的余弦值为 ，故 D 正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：对于方程 根 问题，应构建函数，结合零点存在
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学科网（北京）股份有限公司性定理分析判断，不能强解.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 抛物线 的焦点坐标是______.
【答案】
【解析】
【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.
【详解】因为抛物线方程 ，焦点坐标为 ，且 ，
所以焦点坐标为 ，
故答案为： .
13. 若数列 满足 （其中 ， ， 为常数， ），则称 是以 为周期，
以 为周期公差的“类周期性等差数列”.若“类周期性等差数列” 的前 4 项为 1，1，2，2，周期为 4，周
期公差为 2，则 的前 16 项和为_____.
【答案】72
【解析】
【分析】根据给定的定义，求出以数列 首项开始的每 4 项为一组的和，再求出前 4 组和的和即可.
【详解】依题意， ，
，
，
，
所以 的前 16 项和为 .
故答案为：72
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学科网（北京）股份有限公司14. 已知双曲线 ： （ ， ）的右焦点为 . 为坐标原点，若在 的左支上存在关
于 轴对称的两点 ， ，使得 ，且 ，则 的离心率为_____.
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性可得 是正三角形，且 是其中心，再用半焦距 c 表示
出点 坐标，代入双曲线方程求出离心率.
【详解】 轴，令垂足为 ，由双曲线的对称性知 ，则 是正三角形，
又 ， ，则 是 的中心， ，
而 ，则 ，点 在双曲线 ，
因此 ，即 ，整理得 ，即 ，
解得 ，所以 的离心率
故答案为：
【点睛】关键点点睛：由题设条件，结合双曲线对称性确定出正三角形是求解问题的关键.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆 ： ，点 .
（1）若直线 与 相切，切点为 ，求 ；
（2）已知直线 过点 ，若圆 上恰有三个点到 距离都等于 1，求 的方程.
【答案】（1） ；
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学科网（北京）股份有限公司（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）利用切线的性质，结合勾股定理计算即得.
（2）根据给定条件，把问题转化为圆心到直线距离为 1，再列式计算得解.
【小问 1 详解】
圆 ： 的圆心 ，半径 ， ，
由直线 与 相切于点 ，得 .
【小问 2 详解】
要圆 上恰有三个点到 的距离都等于 1，当且仅当圆心 到直线 的距离为 1，
而点 在圆 外，直线 与圆 相离，则直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ，即 ，由 ，解得 或 ，
所以直线 的方程为 或 .
16. 已知抛物线 ： （ ）， 是 的焦点， 为 上的一动点，且 的最小值为 1.
（1）求 的方程；
（2）直线 （不过坐标原点 ）交 于 、 两点，且满足 ，证明 过定点，并求出该定点的坐
标.
【答案】（1）
（2）证明见解析，定点为
【解析】
【分析】（1）由抛物线中 的最小值为 1，所以 ，即 ，即可得到方程.
（ 2） 联 立 直 线 与 抛 物 线 方 程 ， 利 用 韦 达 定 理 得 到 ， 由
得 到
，即可求得结果.
小问 1 详解】
因为 的最小值为 1，故 ，即 ，所以抛物线方程为
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学科网（北京）股份有限公司【小问 2 详解】
显然直线 的斜率存在，设方程为 ，则 ,
即 ，设 ，由韦达定理得 ，则
，
因为 ，所以 ，解得 （舍）， ，故 的方程为：
，故恒过点 .
17. 已知等差数列 满足 ， 的前 项和为 .
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可求解公差和首项，即可求解，
（2）根据裂项相消法以及等比求和公式分别求解 ，即可由分组求解.
【小问 1 详解】
设等差数列 的公差为 ，
由 可得 ，解得 ，
故 ，
【小问 2 详解】
，
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学科网（北京）股份有限公司故 ，
由于 ，
，
其中 分别为前 项中奇数项的和以及偶数项的和，
故
18. 若 为平面 的一条斜线， 为斜足， 为 在平面 内的射影， 为平面 内的一条直线，
其中 为 与 所成的角， 为 与 所成的角， 为 与 所成的角，那么
，简称三余弦定理.如图，直三棱柱 中， ，
， （ ）.
（1）求 的余弦值；
（2）当点 到平面 距离最大时，求 的值；
（3）在（2）的条件下，求平面 与平面 夹角的大小.
【答案】（1）
（2）
（3）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）根据三余弦定理即可求解，
（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用点到平面的距离公式求解距离表达式，结合二次函
数的性质即可求解最值得解，
（3）求解平面法向量，根据法向量的夹角即可求解.
【小问 1 详解】
在直三棱柱 中，
又 ，由三余弦定理可得
故
【小问 2 详解】
由（1）知 ， ,
在 中，由余弦定理可得
,
在直三棱柱 中， 平面 ，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角
坐标系，
则
为平面 的一个法向量，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，即 ,
令 ，则 ，
故点 到平面 距离为 ,
故 时，此时点 到平面 距离最大，且最大值为 ，
故点 到平面 距离最大时，
【小问 3 详解】
由（2）知：当 时，平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量为
则 ，
，即 ,
取 ，则 ，
故
故平面 与平面 夹角的余弦值为 ，
故平面 与平面 的夹角大小为
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学科网（北京）股份有限公司19. 已知椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ， 的面积
为 ，直线 与 的斜率之积为 .
（1）求 的方程；
（2）已知点 .
（ⅰ）若直线 过点 且与 交于 、 两点，求 的最大值；
（ⅱ）若直线 过点 且与 交于 ， 两点，求证：
【答案】（1）
（2）（ⅰ） ，（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的性质，结合面积公式以及斜率公式联立方程求解即可，
（2）对 讨论，联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可根据模长公式代入求解（ⅰ），根据韦达定理以及两
点斜率公式，代入化简即可求解（ⅱ）.
【小问 1 详解】
由题意可得 ，解得 ，
故椭圆方程为
【小问 2 详解】
（ⅰ）当直线 与 轴重合时，点 则 ，
所以 ，
当直线 与 轴不重合时，设 ，
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学科网（北京）股份有限公司联立 ，则 ，
由 得 ，
设 ，则
所以
由于 ，故 同号，因此 ，
故
，
此时 ，
综上可得 的最大值为
（ⅱ）由于 ,设 ，
当直线 与 轴重合时， ，符合题意，
当直线 与 轴不重合时，设
联立 ，则 ，
则
而
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学科网（北京）股份有限公司，
即 ，故 ，
综上可得 ,
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何
特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可
首先建立目标函数，再求这个函数的最值.
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