2025届陕西省汉中市高三下学期质量检测考试（二模）数学+答案_2025年4月_2504062025届陕西省汉中市高三下学期质量检测考试（二模）（全科）

{#{QQABbYQAggggAAAAAAgCAwUyCAAQkACCAYoGgEAUMAABgQFABAA=}#}{#{QQABbYQAggggAAAAAAgCAwUyCAAQkACCAYoGgEAUMAABgQFABAA=}#}汉中市普通高中#$#%届高三年级质量检测考试
数学参考答案
!!&!!解析"本题考查正弦定理的应用#考查数学运算的核心素养!
!
槡+,
" $ " #
由正弦定理得 * !解得$* * !
’()# ’()% ! "
’()
+
#!-!!解析"本题考查元素与集合的关系#考查逻辑推理的核心素养!
因为#*"#&.槡+’"&#!!’#"#!所以槡+##!/##!0#.%槡+##!0!.#槡+$#!
+!1!!解析"本题考查复数的四则运算#考查数学运算的核心素养!
!.(+ !0( $!0(%$/.(% %0+( % +
* * * * 0 (!
/0( /0( $/0(%$/.(% !" !" !"
/!1!!解析"本题考查三角函数的单调性#考查数学运算与逻辑推理的核心素养!
$ !%
因为0槡%%$!所以要求($)%的单调递增区间!只需求**’()#). 的单调递减区间!令
+
! ! +! ! "!
.#+!&#). & .#+!$+#!%!解得 .+!&)& .+!$+#!%!所以($)%的单调
# + # !# !#
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递增区间为 .+!! .+! $+#!%!
!# !#
%!-!!解析"本题考查统计中的百分位数#考查数据处理能力!
因为2$,"%3*/%!所以第"%百分位数是所有数据从小到大排列的第/%项和第/2项的平
4$.!$$
均数!由表中数据可知!第/%项为4$!第/2项为!$$!所以第"%百分位数是 *4%分钟!
#
2!&!!解析"本题考查正四棱台中的平行直线$计数原理与古典概型#考查数学运算的核心素
养与空间想象能力!
#-# #
因为#,’%-’#,’%-!#%’-,’#%’-,!所以这#条棱互相平行的概率为 / * !
! ! ! ! ! ! ! ! -# !!
!#
"!5!!解析"本题考查抛物线的标准方程与性质#考查数学建模与数学运算的核心素养!
以该碗轴截面的对称轴为*轴!抛物线的顶点为坐标原点!建立平
面直角坐标系!如图所示!设该抛物线的方程为)#*#.*$.($%$)!
*的单位均为67%!点#的纵坐标为/$单位(67%!则#$%!/%!
* !#%
/* !
"#%*#./! "#
%$!+!/.!$%!所以 解得) 故该抛物线的
!24*#.$/.!$%! +2
.* !
+ %
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$%
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书书书+2
焦点到准线的距离为 67!
%
8!-!!解析"本题考查对数大小的比较与构造函数法的应用#考查逻辑推理与数学抽象的核心
素养!
9)!/ 9)!% 9)!2 9)$).%%
"* !$* !0*9:;!2* !构造函数($)%* $),4%!则(1$)%*
9)4 9)!$ !! 9)!! 9))
)9))0$).%%9)$).%%
!易证函数**)9))$),4%为增函数!所以)9))0$).%%9)$).
)$).%%$9))%#
%%%$$),4%!所以(1$)%%$!所以($4%(($!$%(($!!%!即"($(0!
4!1-&!!解析"本题考查函数的求值$定义域与性质#考查数学运算$逻辑推理的核心素养!
($槡+%*槡+,槡#*槡2!1正确!由)#0!,$!得)#$0<!0!’-&!!.<%!&正确!因为
($0#%%$!所以($)%的最小值不是$!5错误!因为($0)%*0)槡)#0!*0($)%!所以
($)%是奇函数!-正确!
!$!5-&!!解析"本题考查双曲线与椭圆的定义#考查直观想象$逻辑推理的核心素养!
$)# *# %$)# *# % )# *# )# *# )#
由 0 0! 0 0! *$!得 0 *!或 0 *!!所以曲线-由双曲线 0
/ % / !# / % / !# /
*# )# *#
*!与双曲线 0 *!组成!这两条双曲线的实轴长相等!虚
% / !#
)# *#
轴长不相等!1错误!#$0+!$%!%$+!$%是双曲线 0 *!的
/ %
两个焦点!所以存在无数个点2!使得"2#"0"2%"*#"*/!5
)# *#
正确!3$/!$%!4$0/!$%是双曲线 0 *!的两个焦点!所以
/ !#
存在无数个点2!使得"23"0"24"*0#"*0/!-正确!因为"25"."26"*/槡#(
"56"!所以满足"25"."26"*/槡#的点2的轨迹是以5!6为焦点!/槡#为长轴长的椭
圆!由图可知!该椭圆与曲线-共有8个交点!故存在8个点2!使得"25"."26"*/槡#!&
正确!
!!!5-!!解析"本题考查四面体的体积$二面角以及翻折问题#考查直观想象$逻辑推理$数学
运算的核心素养!
因为.2#%/.2%-!2#0#%!所以2%0%-!又#%0%-!#%12%*%!所以
#
%-0平面2#%!因为2#2%*+$=!#%*!!所以2#*槡+!2%*#!%-* !所以四面体
槡+
! # ! !
2#%-的体积为 , , ,!,槡+* !5正确!由%-0平面2#%!得%-02#!又2#
+ 槡+ # +
!高三数学"参考答案!第!!!!#页#共"页$%
!"#$%&’
{#{QQABbYQAggggAAAAAAgCAwUyCAAQkACCAYoGgEAUMAABgQFABAA=}#}0#%!#%1%-*%!所以2#0平面#%-!则2#0#-!所以2%#-为二面角%72#7-的
# 槡" #% 槡#!
平面角!因为%-* !#%0%-!所以#-* !所以6:’2%#-* * !&错误!
槡+ 槡+ #- "
将侧面2%-翻折至点-与平面2#%共面!如图所示!过点#作#6
!
02-于点6!过点-作-, 02#于点, !则#5.56的最小值为
! ! !
+
#6*#2’()2#2-*槡+’()2$=* !-5.,5的最小值为-, *
! # !
/
2-)’()2#2-* ’()2$=*#!1错误!-正确!
槡+
!#!+槡+!!解析"本题考查圆的方程与两点间的距离#考查直观想象的核心素养!
圆-的圆心为-$+!0槡+%!半径为槡+!因为"8-"*槡4.+*#槡+!所以"28"的最大值为
"8-".槡+*+槡+!
!"
!+! !!解析"本题考查平面向量的实际应用#考查逻辑推理与直观想象的核心素养!
+#
设作用在点8处的两个向上的拉力分别为!!!!向下的拉力为!!依题意得"!"*"!"
! # + ! #
*/!"!"*"!且!.!.!*#!则!.! *0!!所以$! .!%#*$0!%#!则/#.#
+ ! # + ! # + ! # +
!"
,/#6:’2#8%./#*"#!解得6:’2#8%* !
+#
!/!/!!解析"本题考查三角恒等变换#考查逻辑推理与数学运算的核心素养!
#9
#,
! ! $ !% #9 ! $ !% !09#
设>?) *9!则>?) *>?)#, * !>?) *>?)#, * *!!
!2 8 !2 !09# / 8 $#9 %#
!0
!09#
整理得9/./9+029#0/9.!*$!故"*/!
!%!解($!%(1$)%*!.9))0"!************************#分
0!
依题意可得(1$@%*!.9)@0"* !********************/分
0!
解得"*!! *******************************%分
$#%($)%的定义域为$$!.<%!***********************2分
!
由$!%知)9))0),$)0 对)#$$!.<%恒成立!
@
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即$&9))0!. 对)#$$!.<%恒成立!******************8分
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! ! ! @)0!
设:$)%*9))0!. !则:1$)%* 0 * !*************4分
@) ) @)# @)#
!高三数学"参考答案!第!!!!+页#共"页$%
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{#{QQABbYQAggggAAAAAAgCAwUyCAAQkACCAYoGgEAUMAABgQFABAA=}#}! $ !%
令:1$)%%$!得$%)% !:$)%在 $! 上单调递减+
@ @
! $! %
令:1$)%($!得)( !:$)%在 !.< 上单调递增!************!!分
@ @
$!%
所以:$)% *: *0!! ***********************!#分
7() @
则$&0!!即$的取值范围是$0<!0!’!******************!+分
!2!$!%证明(因为#-为直径!%是上底面圆周上异于#!-的一点!所以#%0%-!**!分
因为%% 为该圆柱的母线!所以%%0平面#%-!所以%%0#%!*******#分
! ! !
又%%1%-*%! ****************************+分
!
所以#%0平面%--%!*************************/分
! !
因为#%3平面#%%!所以平面#%%0平面%--%!************%分
! ! ! !
554 554 554
$#%解(设点#在圆柱下底面的射影为# !连接#%!以% 为坐标原点!%# !%-!%%
! ! ! ! ! ! ! ! !
的方向分别为)!*!;轴的正方向!建立空间直角坐标系!如图所示! *******2分
因为#-*#!2#-%*+$=!所以#%*!!%-*槡+! **"分
所以%$$!$!$%!#$!!$!+%!-$$!槡+!+%!-$$!槡+!$%!**
! !
**********************4分
554 554 554
#-*$0!!槡+!$%!#%*$0!!$!0+%!#-*$0!!槡+!0+%!
! !
**********************!$分
554
设平面#%-的法向量为"*$)!*!;%!则")#-*")
!
554
#%*$!即0).槡+**0)0+;*$! *******!!分
!
取;*0!!得"*$+!槡+!0!%!**********************!#分
554
由6:’,"!# 55 - 4 ! -* "" " " ) "# # 55 - - 4 ! " * 槡!+, + 槡!+ * ! + + !***************!/分
!
+
得#- 与平面#%-所成角的正弦值为 !*****************!%分
! ! !+
!"!$!%解(在区间$!!+#.#%内的偶数为#!/!2!8!!$!***************!分
共有%个!则<*%! ***************************#分
+
$#%证明(在区间$!!#’.!.+%内的偶数为#!/!*!#’.!!#’.!.#!*********+分
#’.!.#0#
则0* .!*#’.!!***********************%分
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{#{QQABbYQAggggAAAAAAgCAwUyCAAQkACCAYoGgEAUMAABgQFABAA=}#}所以"00!#是首项为#!公比为#的等比数列!****************"分
’
"0"
$+%解(设等差数列""#的公差为<!则<* % ! *#!*************8分
’ %0!
所以"*%.#$’0!%*#’.+!***********************4分
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#’.#0#
所以$* .!*’.!! **********************!$分
’ #
由$#%知!=*#,#.+,##.*.$’.!%,#’!
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则#=*#,##.+,#+.*.$’.!%,#’.!!*****************!!分
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所以0=*/.$##.#+.*.#’%0$’.!%,#’.! **************!#分
’
##0#’.!
*/. 0$’.!%,#’.!*0’,#’.!!*****************!/分
!0#
故=*’,#’.!!*****************************!%分
’
!8!$!%解(设每次游戏1的得分为>!5的得分为?!则>的分布列为
> % 0" 0! +
2 )* )$!0*% $!0)%* $!0)%$!0*%
************************************#分
所以5$>%*%)*0")$!0*%0$!0)%*.+$!0)%$!0*%*!2)*0!$)0/*.+! **
***********************************/分
所以5$?%*05$>%*0!2)*.!$)./*0+!****************2分
! !
$#%解(当)* !** 时!?的分布列为
# +
? 0% " ! 0+
! ! ! !
2
2 + 2 +
************************************"分
当5第一次得"分时!第二次不管得几分!5的总得分均为正数+
当5第一次得0%分或0+分时!第二次只能得"分+
当5第一次得!分时!第二次只能得!分或"分!***************4分
! $! !% ! ! $! !% "
故经过两次游戏后!5的总得分为正数的概率为 . . , . , . * !
+ 2 + + 2 2 + !#
**********************************!!分
$ !%
$+%证明(记5$>%*($)%*$!2*0!$%)0/*.+$&)&!且)6 !
/
% !
当** 时!5$>%*0/*.+* +*********************!#分
8 #
!高三数学"参考答案!第!!!!%页#共"页$%
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{#{QQABbYQAggggAAAAAAgCAwUyCAAQkACCAYoGgEAUMAABgQFABAA=}#}& %%
当*# $! 时!!2*0!$%$!($)%单调递减!****************!+分
8
!
则1可取)*$!使得5$>%*($$%*0/*.+( + *************!/分
#
$% ’
当*# !! 时!!2*0!$($!($)%单调递增!****************!%分
8
!
则1可取)*!!使得5$>%*($!%*!#*0"( !**************!2分
#
!
综上!不论*取何值!1总能通过调整)的值!使得每次游戏1得分的期望不小于 ! *
#
**********************************!"分
0 #槡# "#0$# 8
!4!$!%解(因为 * !所以 * !可得"#*4$#!*************!分
" + "# 4
8
$ #槡#% ! 4
又因为点5!!0 在该椭圆上!所以 . *!!解得$#*!!所以"#*4!***+分
+ 4$# $#
)#
故该椭圆的方程为 .*#*!!***********************/分
4
$#%解(设#$)!*%!%$)!*%!则#%的中点3 $) ! .) #! * ! .* #% !
! ! # # # #
#槡#
*.*0
).).! ! # +
因为.#%5的重心是坐标原点8!所以 ! # *$! *$!可得).)*
+ + ! #
#槡# $ ! 槡#%
0!!*.** !得#%的中点3 0 ! ! ***************2分
! # + # +
*)#
! .*#*!!
4 ! $).)%$)0)%
由) 得 ! # ! # .$*.*%$*0*%*$!
)# 4 ! # ! #
# .*#*!!
+4 #
)0) #槡# *0* !
即0 ! # . $*0*%*$!可得+ * ! # * !***********8分
4 + ! # #% ) ! 0) # 2槡#
槡# ! $ !% $ 槡# +槡#%
所以直线#%的方程为*0 * ). !即#)0!#槡#*.4*$ 或** ). !
+ 2槡# # !# 8
***********************************4分
$+%证明(设-$&!’%!
+
当直线#%的斜率不存在时!易得-$+!$%!直线#%的方程为)*0 或-$0+!$%!直线
#
+ + 槡+ !
#%的方程为)* !将)*A 代入椭圆的方程!可得"*"* !所以.#%-的面积=*
# # # #
!高三数学"参考答案!第!!!!2页#共"页$%
!"#$%&’
{#{QQABbYQAggggAAAAAAgCAwUyCAAQkACCAYoGgEAUMAABgQFABAA=}#}4 4槡+
, ,槡+* ! ****************************!!分
# /
当直线#%的斜率存在时!设#$)!*%!%$)!*%!
! ! # #
$ & ’%
与$#%同理!可得).)*0&!*.**0’!得#%的中点3 0 !0 !
! # ! # # #
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可得直线#%的斜率+*0 ! **********************!#分
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所以直线#%的方程为*. *0 ). !
# 4’ #
& !$&# % & !
即**0 )0 .’# *0 )0 !
4’ #’ 4 4’ #’
! ! !
令)*$!可得直线#%在*轴上的截距为0 !则= * ) 0 )")0)"!**
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**********************************!+分
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将**0 )0 代入椭圆的方程!得 )#. ). 0!*$!即 )#. ).
4’ #’ 4’# 4’# /’# 4’# 4’#
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0!*$!则).)*0&!))* !***************!/分
/’# ! # ! # /
所以")0)"*槡$).)%#0/)) *槡&#04.+2’#! ***********!%分
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&# +槡+
因为 .’#*!!所以&#*404’#!所以")0)"*槡#"’#*+槡+"’"!所以= * !
4 ! # .8#% /
4槡+
又因为8是.#%-的重心!所以= *+= * !
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4槡+
综上!.#%-的面积是定值 !**********************!"分
/
!高三数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$%
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