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北京一零一中 2021-2022 学年度第二学期高三数学三模
一、选择题共10小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据并集的定义运算即得.
【详解】∵ ，
∴ .
故选：A.
2. 已知函数 ，则不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据绝对值的定义和对数函数的单调性即可求解．
【详解】 ．
故选：C﹒
3. 一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为 ，则该四棱柱的高为（
）
A. B. 2 C. D.
【答案】C【解析】
【分析】根据球的表面积公式，可算出 ，由正四棱柱的顶点在同一球面上，可得正四棱柱体对角线恰好
是球的一条直径，即可得到答案
【详解】设球的半径为 ，则 ，解得
设四棱柱的高为 ，则 ，解得
故选：C
4. 已知向量 的夹角为 ，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由 ，得 ，即 ，则
，解得 （舍去）或 ，故选D.
5. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 若a＞b，c＞d，则ac＞bd B. 若ac＞bc，则a＞b
C. 若 ，则a＜b D. 若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
【答案】C
【解析】
【分析】通过举反例判断选项A,D，利用不等式的性质判断选项B,C的真假.
【详解】解：令a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，d＝﹣5，显然A、D不成立，
对于B：若c＜0，显然不成立，
对于C：由c2＞0，得a＜b，故C正确，
故选：C．
6. 已知函数 的最小正周期为 ，且 ，有 成立，则 图象的一个对称中心坐标是（ ）
.
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据函数的最小正周期和最值确定函数的解析式，进一步利用整体思想求出函数图象的对称中心.
【详解】由 的最小正周期为 ，得 ，
因为 恒成立，所以 ，
即 ，
由 ，得 ，故 ，
令 ，得 ，
故 图象的对称中心为 ，
当 时， 图象的对称中心为 .
故选：A.
【点睛】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质、周期性和对称中心的应用及相关的运算问题，属于基
础题.
7. 一个圆的周上有8个点，连接任意两点画出弦.如果有一对弦不相交且没有共同的端点，我们称它们为一
组“自由弦对”.则此圆上的“自由弦对”总组数为（ ）A. 70 B. 140 C. 210 D. 280
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的每一组对边为一组“自由弦对”的事实，从8个点中任取4点可构成四边形个
数即可作答.
【详解】因顺次连接一组“自由弦对”的两条弦的4个端点构成的四边形是圆内接四边形，
并且这个四边形的每一组对边都是一组“自由弦对”，
从而得每个圆内接四边形都有两组“自由弦对”，
从圆周上8个点中任取4点可以构成 个圆内接四边形，
所以圆上的“自由弦对”总组数为 .
故选：B.
8. 数列 表示第n天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n天的日增长率
．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率 会发生变化．下图描
述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长
率 的规律描述正确的是（ ）A. B.
C D.
.
【答案】B
【解析】
【分析】根据散点图的规律即可判断【详解】由图象可知，第一天到第五天，实际情况与理想情况重合， 为定值，
而实际情况在第六天以后日增长率逐渐降低，且逐渐趋于0
故选：B
9. 如果函数 在定义域内存在区间 ，使 在 上的值域是 ，那么称 为“倍增
函数”，若函数 为“倍增函数”，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先判断出 的单调性，然后根据倍增函数的定义列式求得 的取值范围.
【 详 解 】 由 于 在 定 义 域 上 是 增 函 数 ， 根 据 “ 倍 增 函 数 ” 的 定 义 可 知
，且 .则 ，所以 .构造函数 ，
即 有两个解. ，令 ，解得 所以 在区间
上 递 减 ， 在 上 递 增 ， 极 小 值 也 即 是 最 小 值 为
.注意到当 时， ， ，当
时， ，所以 .
故选：D
【点睛】本小题主要考查新定义函数性质的理解和运用，考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值，属于中档题.
10. 如图，已知正方体 的棱长为 ， 是 的中点，点 在侧面 （含边界）内，
若 ，则 面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐
标系，设 ，利用向量法确定M的轨迹满足 ，求出 的最小值，
直接求出 面积的最小值.
【详解】以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐
标系，如图，则 ， ， ， ，
设 ，则 ， ，
因为 ，
所以 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
当 时， 取最小值 ，
易知 ，
所以 的最小值为 ．
故选：D.
二、填空题共5小题．
11. 已知等差数列 中 ，则 _______．
【答案】4【解析】
【分析】设出公差，利用等差数列通项公式基本量计算得到方程组，求出公差，求出答案.
【详解】设公差为 ，则 ，
解得： ，所以
故答案为：4
12. 设m为实数，复数 （这里i为虚数单位），若 为纯虚数，则 的值
为______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据 为纯虚数计算出 的值，再计算 ，最后计算 的值
【详解】 ，
为纯虚数
故答案为：
13. 设函数 ，则使得 成立的 的取值范围是________.
【答案】
【解析】【分析】分 和 两种情况讨论从而解不等式 即可.
【详解】当 时，由 ，得 ，所以 ，又因为 ，所以 ；
当 时，由 ，得 ，所以 ，又因为 ，所以 .
所以满足 成立的 的取值范围为 .
故答案为： .
14. 设双曲线 的两个焦点是 ，点 在双曲线上，则 ___________；若
为锐角，则点 的纵坐标的取值范围是___________.
.
【答案】 ① ②.
【解析】
【分析】根据双曲线的方程及定义可求出 ，设 ，再由向量的夹角的数量积为正求
解即可.
【详解】由 可知 ，
故 ，
设 ，
则 ，
因为 为锐角，
所以 ,
因为 ，所以 ，
解得 或
故答案为： ；
15. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，下列判断：
①若 ，则角 有两个解；
②若 ，则 边上的高为 ；
③ 不可能是9.
其中判断正确的序号是______.
【答案】③
【解析】
【分析】
利用余弦定理逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于①，若 ，由余弦定理得 ，
故 ，此方程有唯一解 ，故角 有唯一解，所以①错.
对于②，因为 ，故 ，即 ，
又由余弦定理可得 ，故 ，
所以 即 ，故 ，
消元后可得 ，因 ，故方程无解，
即满足 的三角形不存在，故②错误.对于③，由余弦定理可得 ，
整理得到 即 ，故 不可能是9，故③正确.
故答案为：③.
【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，还考查了基本不等式的应用，注意根据三角形中已知的
量选择合适的定理来构建关于未知量的方程，再对所得的方程进行代数变形（如放缩、消元等），本题属
于中档题.
三、解答题共6小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
16. 已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的单调递增区间和最小正周期；
（Ⅱ）若当 时，关于 的不等式 ______，求实数 的取值范围．
请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立．
【答案】（Ⅰ）单调递增区间为： ， ； ；（Ⅱ）答案见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先将函数整理，得到 ，利用正弦函数的周期性与单调性，即可求出其单调递
增区间与最小正周期；
（Ⅱ）若选①，可得 ，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最大值，即可得出结果；
若选②，可得 ，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最小值，即可得出结果.
【详解】（Ⅰ）解：因为
．所以函数 的最小正周期 ；
因为函数 的单调增区间为 ， ，
所以 ， ，
解得 ， ，
所以函数 的单调增区间为 ， ；
（Ⅱ）解：若选择①
由题意可知，不等式 有解，即 ；
因为 ，所以 ，
故当 ，即 时， 取得最大值，且最大值为 ，
所以 ；
若选择②
由题意可知，不等式 恒成立，即 ．
因为 ，所以 ．
故当 ，即 时， 取得最小值，且最小值为 ．
所以 ．
【点睛】思路点睛：
求解三角函数最值问题时，一般需要根据三角恒等变换将函数化简整理，化为正弦型函数或余弦型函数的
形式，结合正弦函数或余弦函数的性质，即可求解.
17. 作为北京副中心，通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点，也肩负着医治北京市“大城市病”的历史重任，因此，通州区的发展备受瞩目．2017年12月25日发布的《北京市通州区统计年鉴
（2017）》显示：2016年通州区全区完成全社会固定资产投资939.9亿元，比上年增长 ，下面给出
的是通州区2011~2016年全社会固定资产投资及增长率，如图一．又根据通州区统计局2018年1月25日
发布：2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长 ．
（1）在图二中画出2017年通州区全区完成全社会固定资产投资（柱状图），标出增长率并补全折线图；
（2）通过计算2011~2017这7年的平均增长率约为 ，现从2011~2017这7年中随机选取2个年份，
记X为“选取的2个年份中，增长率高于 的年份的个数”，求X的分布列及数学期望；
（3）设2011~2017这7年全社会固定资产投资总额的中位数为 ，平均数为 ，比较和 与 的大小（只
需写出结论）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据“2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长 ”补全
折线图
（2）根据题意写出 的取值并计算对应的概率，写出分布列即可
（3）根据题意分别计算 ，直接写出答案即可
【小问1详解】【小问2详解】
依题意， 的可能取值为
； ；
的分布列为：
的数学期望
【小问3详解】
18. 在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ，侧面 底面 ，
, , 分别为 的中点，点 在线段 上.
（Ⅰ）求证：直线 平面 ；
（Ⅱ）若 为 的中点，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）设 ，当 为何值时，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.
【答案】(Ⅰ)见证明；(Ⅱ) (Ⅲ)【解析】
【分析】（Ⅰ）因为 ， ，所以 ，即 ．又由题意可知 底
面 ，所以 ，由线面垂直的判定定理即可得证．
（Ⅱ）分别以 为 轴、 轴和 轴正方向建系，利用向量法能求出平面 与平面
所成锐二面角的余弦值．
（Ⅲ）由 结合（2），可得 ， ，又平面
，根据线面角的余弦值即可求解．
【详解】（Ⅰ）证明：在平行四边形 中，因为 ， ，所以 .
所以 .
因为侧面 底面 ，且 ，面 面
且 面 所以 底面 .
又因为 底面 ，所以 .
又因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面
（Ⅱ）解：因为 底面 ， ，所以 两两垂直，故以 分
别为 轴、 轴和 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
由 ， ，得令 ,得 .
为 的中点，由（1）知， 平面 且 ，
所以 ，
平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 ；
（Ⅲ）设 ，则 ，所以 ，
由（1）知 .直线 与平面 所成的角正弦值为
所以 ，即 ，
解得 .或 （舍）
【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，二面角求余弦值，线面角的正弦值的求法，考查空间坐标系的性
质等基础知识，考查计算能力，属中档题．
19. 已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）证明：对于 ， 在区间 上有极小值，且极小值大于0.
【答案】（1） （2）见解析
【解析】
【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义求曲线 在点 处的切线方程. （Ⅱ）先求函数的极小值，再利用导数求函数极小值大于0.
【详解】（Ⅰ） 的定义域为 ，
因为 ，所以 ，所以 .
因为 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（Ⅱ） 因为 ,所以 在区间 上是单调递增函数.
因为 ， ，
所以 ,使得 .
所以 ， ； ， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 有极小值 .
因为 ,
所以 .
设 ， ，
则 ，所以 ，即 在 上单调递减，所以 ，
即 ，所以函数 的极小值大于0．
【点睛】（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，考查利用导数求函数的极值和最值，意
在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是利用导数求
>0.
20. 已知椭圆 ，离心率 ．直线 与 轴交于点 ，与椭圆 相交
于 两点．自点 分别向直线 作垂线，垂足分别为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程及焦点坐标；
（Ⅱ）记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，试证明 为定值．
【答案】（Ⅰ）椭圆 的方程为 ，焦点坐标为 ；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】（Ⅰ）由 ，椭圆离心率公式即可求得 的值，求得椭圆方程及焦点坐标；（Ⅱ）将直线方程
代入椭圆方程，由韦达定理及三角形的面积公式，求得 ， ，即可证明 为定值.
【详解】（Ⅰ）由题意可知 ，又 ，即 ．解得 ．即 ．
所以 ．
所以椭圆 的方程为 ，焦点坐标为 ．（Ⅱ）由 得 ，显然 ．
设 ， ，
则 ， ， ，
因为
，
又因为．
所以 ．
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后
借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
21. 设正整数数列 满足 ．
（1）若 ，请写出 所有可能的取值；
（2）记集合 ，证明：若集合 存在一个元素是3的倍数，则 的所有元素都是3的倍数；
（3）若 为周期数列，求 所有可能的取值.
【答案】（1） ， ，
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据递推公式求出 、 即可求出 ，再分类讨论，分别计算可得；
（2）首先证明如果存在 为3的倍数，根据递推公式得到 都是3的倍数，再证
都是3的倍数，即可得证；
（3）依题意数列 一定有最小值，设为 ，再 或 ，即可得到当数列中出现 或 时数列为周期数
列，即可得解；
【小问1详解】解：因 正整数数列 满足 ，
为
当 时， ，所以 ， ，所以 ，则 或 ，即 或 ，
当 时， 或 ，所以 或 ；
当 时， ，所以 ；
所以 的可能取值为 、 、 ；
【小问2详解】
证明：如果存在正整数 ，满足 是 的倍数，则对 ， 都是 的倍数；
如果存在 为3的倍数，根据 ，可知 也是3的倍数，
以此类推， 都是3的倍数；
另一方面，当 时，由于 ，当 为3的倍数时，可知 也是3的倍数，
以此类推， 都是3的倍数；
综上所述，若集合 存在一个元素是3的倍数，则 的所有元素都是3的倍数；
【小问3详解】
证明：
首先注意到 是正整数数列，则数列 一定有最小值，设为 ，下证 或 ；
当 为偶数时，设 ，则 ，与 是最小值矛盾；
所以 是奇数；不妨设 ，则 是偶数， ，假设 ，则 ，与 是最小值矛盾；
综上， 只能是小于 的正奇数，即 或 ；
当数列 中出现1时，后面的项为4，2，1，4，2，1，4，2，1…循环；
当数列 中出现3时，后面的项为6，3，6，3…循环；
所以数列 为周期数列时， 只能为1，2，3，4，6中某一个数；
经检验，当 时，数列 确实是周期数列；
