文档内容
安庆示范高中 2024 届高三联考
数学试题
2024.4
命题单位：安庆一中 审稿单位：太湖中学、野寨中学、石化一中
考生注意：
1．满分150分，考试时间120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上
对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答
题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知线段 是圆 的一条长为4的弦，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
2．复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知圆锥 的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
4．已知一组数据 的平均数为 ，另一组数据 的平均数为 ．若数据
， 的平均数为 ，其中 ，则 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D． 的大小关系不
确定
5．已知抛物线 的焦点 到其准线的距离为2，点 是抛物线
上两个不同点，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．3
学科网（北京）股份有限公司6．已知函数 的图象经过点 ，则关于 的不等式 的解集为（
）
A． B．
C． D．
7．在正方体 中，点 分别为棱 的中点，过点 三点作该正方体的截
面，则（ ）
A．该截面多边形是四边形
B．该截面多边形与棱 的交点是棱 的一个三等分点
C． 平面
D．平面 平面
8 ． 若 项 数 均 为 的 两 个 数 列 满 足 ， 且 集 合
，则称数列 是一对“ 项紧密数列”．设数列
是一对“4项紧密数列”，则这样的“4项紧密数列”有（ ）对．
A．5 B．6 C．7 D．8
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知集合 ，集合 ，若 有且仅有3个
不同元素，则实数 的值可以为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知函数 ，则（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 在 上单调递增
C．函数 的最大值为
学科网（北京）股份有限公司D．若方程 在 上有且仅有8个不同的实根，则
11．直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 两点，与 的两条渐近线分别交于
两点， 从左到右依次排列，则（ ）
A．线段 与线段 的中点必重合 B．
C．线段 的长度不可能成等差数列 D．线段 的长度可能成等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在 的展开式中，不含字母 的项为_________．
13．一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字 1，2，3，4，4．现甲从中随机摸出
一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜
（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为_________．
14．由函数 图象上一点 向圆 引两条切线，切点分别为点 ，连接
，当直线 的横截距最大时，直线 的方程为_________，此时 _________．（第1空
2分，第2空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）
随着生活水平的不断提高，老百姓对身体健康越来越重视，特别认识到“肥胖是祸不是福”．某校生物学
社团在对人体的脂肪含量和年龄之间的相关关系研究中，利用简单随机抽样的方法得到 40组样本数据
，其中 表示年龄， 表示脂肪含量，并计算得到 ，
作出散点图，发现脂肪含量与年龄具有线性相关关系，并得到其线性回归方程为 ．
（1）请求出 的值，并估计35岁的小赵的脂肪含量约为多少？
（2）小赵将自己实际的脂肪含量与（1）中脂肪含量的估计值进行比较，发现自己的脂肪含量严重超标，
于是他打算进行科学健身来降低自己的脂肪含量，来到健身器材销售商场，看中了甲、乙两款健身器材，
并通过售货员得到这两款健身器材的使用年限（整年），如下表所示：
甲款使用年限统计表
使用年限 5年 6年 7年 8年 合计
台数 10 40 30 20 100
乙款使用年限统计表
使用年限 5年 6年 7年 8年 合计
学科网（北京）股份有限公司台数 30 40 20 10 100
如果小赵以使用年限的频率估计概率，请根据以上数据估计，小赵应选择购买哪一款健身器材，才能使用
更长久？
16．（本题满分15分）
如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ，
， ， 连 接
．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角正弦值的大小．
17．（本题满分15分）
已知函数 在点 处的切线平行于直线 ．
（1）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）若 是函数 的极值点，求证： ．
18．（本题满分17分）
已知数列 的首项等于3，从第二项起是一个公差为2的等差数列，且 成等比数列．
（1）求数列 的前 项的和 ；
（2）设数列 满足 且 ，若数列 的前 项的和为 ，求 ．
19．（本题满分17分）
已知椭圆 ，圆 ．
学科网（北京）股份有限公司（1）点 是椭圆 的下顶点，点 在椭圆 上，点 在圆 上（点 异于点 ），连 ，直
线 与直线 的斜率分别记作 ，若 ，试判断直线 是否过定点？若过定点，请求出定
点坐标；若不过定点，请说明理由．
（2）椭圆 的左、右顶点分别为点 ，点 （异于顶点）在椭圆 上且位于 轴上方，连
分别交 轴于点 ，点 在圆 上，求证： 的充要条件为 轴．
安庆示范高中 2024 届高三联考
数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
选项 C D A B A C B B AB ACD ABD
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．C 【解析】由条件知 ，故选C．
2．D 【解析】由条件知 ，所以 ，故选D．
3．A 【解析】根据条件可知其外接球与内切球的半径之比为 ，所以其表面积之比为 ，故选A．
4．B 【解析】由题意可知 ， ，
， 于 是 ， 又 ， 所 以
，所以 ，两式相减得
，所以 ，故选B．
5．A 【解析】由已知得 ，所以 ，根据 得
即 ，于是 ，即 ，所以 ，故选A．
6．C 【解析】由题意知 ，解得 ，所以 ，其在 上单调递增，且函数
为 奇 函 数 ， ， 所 以 不 等 式 可 化 为
学科网（北京）股份有限公司，于是 ，即 ，解得 或 ，故选
C．
7．B 【解析】将线段 向两边延长，分别与棱 的延长线，棱 的延长线交于 ，连
分别与棱 交于 ，则可得到截面多边形 是五边形，A 错误；因
，所以 ，于是截面与棱 的交点 是棱 的一个三等分点，B
正确，因 与 不垂直， 平面 ，所以 与平面 不垂直，选项 C 错误；因
平面 ，所以平面 与平面 不平行，选项D错误，故选B．
8．B 【解析】由条件知 ，
于是 ，
又 ，
所以 ，
于是“4项紧密数列”有 ；
，
共有6对，故选B．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9 ． AB 【 解 析 】 由 条 件 知 ，
，要使 有且仅有3个不同元素，则 ，解得
，结合备选答案，AB符合，故选AB．
10 ． ACD 【 解 析 】 由 条 件 可 知 ， 因
，又函数 与 的最小
学科网（北京）股份有限公司正周期均为 ，所以函数 的最小正周期为 ，A正确；又 ，
所 以 函 数 为 偶 函 数 ， 考 虑 当 时 ，
， 所 以 B 错 误 ， C 正 确 ， 又
，作出函数 的大致图象，即可判断D正确，故选ACD．
11．ABD 【解析】设直线 ，联立
得 ， 于 是 ， 联 立 得
，于是 ，所以 ，因此线段
与线段 的中点必重合，A正确；设中点为 ，则 ，所以 ，B
正确；假设线段 的长度成等差数列，则 ，所以 ，于是
， 两 边 同 时 平 方 并 整 理 得 ， 于 是
，展开整理得 ，该方程有解，所以存
在直线 ，使得线段 的长度成等差数列，C错误；同上推理，当线段 的长度相
等时，线段 ， 的长度成等比数列，D正确，故选ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．
学科网（北京）股份有限公司【解析】由条件可知不含字母 的项为 ．
13．
【解析】设事件“甲获胜”为事件 ，事件“乙摸到2号球”为事件 ，则 ，
，所以 ，故填 ．
14．
【解析】设点 ，则以线段 为直径的圆的方程为 ，整理得
， 与 圆 相 交 ， 得 直 线
， 令 ， 则 ， 构 造 函 数 ， 对 其 求 导 得
，令 ，则 ，于是函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
其 最 大 值 为 ， 此 时 直 线 的 方 程 为
， 于 是
．
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15．解：（1）因线性回归直线方程经过样本中心 ，
所以将 代人 ，
学科网（北京）股份有限公司得到 ．
于是 ，
当 时， ．
所以 的值为 ，估计35岁的小赵的脂肪含量约为19.317．
（2）以频率估计概率，设甲款健身器材使用年限为 （单位：年），则 的分布列为
5 6 7 8
0.1 0.4 0.3 0.2
于是 ．
设乙款健身器材使用年限为 （单位：年），则 的分布列为
5 6 7 8
0.3 0.4 0.2 0.1
于是 ．
因 ，所以小赵应购买甲款健身器材才能使用更长久．
16．解：（1）因 ，所以 ，
又 ，所以 ，
根据余弦定理知
，
又 ，所以 ，
于是 ，所以 ，
，于是 ，
因 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）如图，以点 为原点，分别以 所在直线为 轴， 轴建立空间直角坐标系．
学科网（北京）股份有限公司则
于是 ，
设平面 的法向量为 ，
又 ，
于是 ，所以不妨取 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
17．解：对函数 求导得 ，
所以 ，
解得 ．
（1）由题意可知 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立，只需 ，
令 ，
学科网（北京）股份有限公司对其求导得 ，
所以当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增．
所以 ，
于是 ，因此实数 的取值范围是 ．
（2）由条件知 ，对其求导得 ，
函数 在 上单调递增，且 ，
所以存在 ，使 ，即 ，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增，
于是 是函数 的极值点，
所以 ，即得证．
18．解：（1）因 成等比数列，所以 ，即 ，
解得 ，
所以当 时， ，
又 不符合上式，
所以数列 的通项公式为
因此 ，
当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司又 符合上式，
所以当 时， ．
（2）由（1）知 ．
令 ，
所以 ，
又 ，所以
因此 ，
所以 ，
于是
19．解：（1）设 ，则 ，
丁是 ，
因点 ，所以 ，于是 ，
整理得 ，
又直线 的方程为 ，
即 ，
所以直线 过定点，定点坐标为 ．
学科网（北京）股份有限公司（2）设 ，则 ，设 ，
因 ，所以直线 ，所以 ，
因 ，所以直线 ，所以 ，
于是 ．
先证充分性：当 轴时， ，所以 ，即 ，于是 ，
设直线 交 轴于点 ，
因 轴，所以 ，又 ，
所以 ，于是 ，
不妨设点 在第一象限，点 在第二象限，则 ，即 ，
所以直线 的方程为 ，
联立 得 ，解得 或 ，
所以 ，
于是
，所以充分性成立．
再证必要性：当 时，即 ，
学科网（北京）股份有限公司整理得 ，
又 ，所以 ，
又 三点共线，所以直线 的方程为 ，
三分共线，所以直线 的方程为 ，
联立 ，消去 ，得 ，即 ，
所以 轴，即必要性得证．
学科网（北京）股份有限公司
