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延庆区 2022—2023 学年第二学期质量检测高三数学
2023.03
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将答题卡交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ，若 ，则 的值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】分析：根据集合间的关系确定 ，进而可以求解．
详解：因 为 ，
所以 ，
解得 ．
点睛：本题考查元素和集合间的关系、集合和集合间的关系等知识，意在考查学生的逻辑思维能力．
2. 已知 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项式展开式的特点，即可求解.
【详解】 ，所以 ，
故选：C
3. 若直线 与圆 相切，则 等于（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】
【分析】直线与圆相切，由圆心到直线距离等于半径，求 的值.
【详解】圆 化成标准方程为 ，则 且圆心坐标为 ，半径
为 ，
直线 与圆 相切，则圆心到直线距离等于半径，
即： ，解得 .
故选：A
4. 若 ，则“ ”是“复数 是纯虚数”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合复数中纯虚数的概念求解.
【详解】 ，
当 时，复数 ，是纯虚数；
复数 是纯虚数时，有 ，解得 .
则“ ”是“复数 是纯虚数”的充分必要条件.
故选：C
5. 设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A【解析】
【分析】根据对数函数的单调性即可比较 ，由指数的性质即可求解 .
【详解】 ， ，所以 ，
，故 ，
故选：A
6. 为坐标原点，点 ， 的坐标分别为 ， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的夹角公式可得 ，进而确定 .
【详解】由已知点 ， 的坐标分别为 ， ，
则 ， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
故选：B.
7. ISO216是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定义了A，B系列的纸张尺寸．设型号为
的纸张的面积分别是 ，它们组成一个公比为 的等比数
列，设型号为 的纸张的面积分别是 已知，则 的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用 是等比数列以及 ，令 求解即可.
【详解】 ，令 ，
又 组成一个公比为 的等比数列，
，
又 ，
.
故选：C.
8. 将 的图象向左平移 个单位，所得图象与 的图象关于 轴对称，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出与 关于 轴对称的解析式，然后一一分析选项即可.
【详解】与 关于 轴对称的三角函数为 ，对A，平移后的解析式为 ，不合题意，舍去；
对B，平移后的解析式为 ，符合题意，
对C，平移后的解析式为 ，不合题意，舍去；
对D，平移后的解析式为 ，不合题意，舍去；
故选：B.
9. 若 外接圆的半径为1，圆心为 ， 且 ,则 等于
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】分析：利用向量的运算法则将已知等式化简得到 ，得到 为直径，所以 为
直角三角形，求出三边的长求得 的值，利用两个向量的数量积的定义即可求得 的值．
详解：因为 ，所以 ，
所以 ，所以 三点共线，且 为直径，
如图所示，所以 ，
因为 ，所以 ，
则 ，故选D．点睛：本题主要考查了向量在几何问题中的应用、数量积的计算，以及向量垂直的充要条件等知识的应用，
其中求出 为直角三角形即三边是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与
运算能力．
10. 数列 中， ，定义：使 为整数的数 叫做期盼
数，则区间 内的所有期盼数的和等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用换底公式与累乘法把 化为 ，然后根据 为整数，
可得 ，最后由等比数列前 项和公式求解．
【详解】解： ， ，
，
又 为整数，
必须是2的 次幂 ，即 ．
内所有的“幸运数”的和：
，
故选：D．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知函数 的定义域为 ，且 ，则 的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】由 ，可知 ，解不等式即可.
【详解】由 ，可知 ，
解得 ，
故答案为： .
12. 若双曲线 的焦距是 ，则实数 _______．
【答案】 ##0.125
【解析】
【分析】根据双曲线标准方程直接求解.
【详解】由双曲线 ，即 ，
且焦距为 ，
即 ，
解得 ，
故答案为： .
13. 如图，某地一天从 时至 时的温度变化曲线近似满足函数 ，其中 ，且函数在 与 时分别取得最小值和最大值. 这段时间的最大温差为___； 的一个取值为
___________.
【答案】 ①. ②. （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据图像直接可得最大温差，再根据函数的最值情况与周期情况可得 ， ， ，代入点
，可得 .
【详解】由图像可知最大值为 ，最小值为 ，
所以最大温差为 ，
即 ，解得 ，
又由已知可得 ，即 ，
且 ，所以 ，
所以函数解析式为 ，
又函数图像经过点 ，
代入得 ，所以
解得 ， ，
所以 的一个可能取值为 （答案不唯一），
故答案为： ， （答案不唯一）.
14. 曲线 的一条对称轴是_______； 的取值范围是_______.
【答案】 ①. 轴 ②. .
【解析】
【分析】以 代替 ，方程不变，可得曲线的对称轴方程，由方程可得 ，即可求出
y的取值范围
【详解】以 代替 ，方程不变，可得曲线的一条对称轴是 轴；
由 ，可得 ，所以 ，解得 ，
即 的取值范围是 .
故答案为： 轴；
15. 四面体 的三条棱 两两垂直， ， ， 为四面体 外一点，
给出下列命题：
①不存在点 ，使四面体 三个面是直角三角形；
②存在点 ，使四面体 是正三棱锥；
③存在无数个点 ，使点 在四面体 的外接球面上；
④存在点 ，使 与 垂直且相等，且 .其中真命题的序号是___________.
【答案】②③④.
【解析】
【分析】对于①，可构造四棱锥 与四面体 一样进行判定；
对于②，使 ，此时存在点D，使 ，使四面体 是正三棱锥；
对于③，四面体 的外接球的球心为P，半径为为r，只需 ，可判定真假；
对于④，取 ， ，此时满足CD与AB垂直并且相等.
【详解】如图所示：
对于①，∵四面体 的三条棱 两两垂直， ， ，
∴ ， ．
当四棱锥 与四面体 一样时，即取 ， ，四面体 的三条棱 、
、 两两垂直，此时点D，使四面体 有三个面是直角三角形，故①不正确；
对于②，由①知 ， ，使 ，此时存在点D， 使 ，
则四面体 是正三棱锥，故②正确；
对于③，四面体 的外接球的球心为P，半径为为r，只需 即可，
∴存在无数个点D，使点O在四面体 的外接球面上，故③正确；
对于④，由 ， ，取 ， ， AB的中点为E，则有 ， ， 平面 ， ， 平面 ， 平面
， ，即存在点 ，使 与 垂直且相等，且 ，故④正确.
故答案为∶②③④
【点睛】思路点睛：
本题考查空间几何图形有构造法，围绕线面垂直的判定与性质定理、直三棱锥的结构特征、长方体与外接
球的性质、特殊的四面体性质，需要较强的空间想象能力、推理能力，运用好数形结合的思想是关键.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 如图，四棱锥 中，底面 是梯形， ， 面 ， 是等腰三角形，
， ， 是 的中点.
（1）求证： ；
（2）设 与 所成的角为 ，直线 与平面 所成的角为 ，二面角 为 ，从
以下所给的三个条件中选出其中一个作为已知条件，求四棱锥 的体积.
① ； ② ； ③ ．
【答案】（1）证明见解析
（2）2
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直可得线线垂直，进而由线线垂直即可求证，
（2）根据空间中的垂直关系可利用几何法求解线面角，进而利用角度求解长度，由体积公式即可求解，
或者建立空间直角坐标系，利用空间角的向量求解即可解出长度，进而可求体积.
【小问1详解】因为 是 的中点,所以 ,
因为 平面 ， 平面 ，所以 .
因为 ， 平面 ,
所以 平面 .因为 平面 ,所以 .
【小问2详解】
选① ；
法一：设 是 的中点，连接 ，
因为 ，所以 .
所以 就是 与 所成的角， .
设 ， 则 ， ， .
因为 ，所以 .
解得 .
所以 .
法二：设 ，设 的中点为 ，连 ，
则 ， 两两垂直.
分别以 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ,
则 .
所以 .
所以 ，解得 .所以 .
选② ；
法一：连接 .
因为 平面 ，所以 是 在平面 内的投影.
所以 就是 与平面 所成的角， ，且 ，
因为 ，所以 .
因为 ， 所以 ， .
所以 ，故 .
所以 .
法二: 设 的中点为 ，连 ，
则 ， 两两垂直，分别以 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系如图.
设平面 的法向量为 .设
所以 .所以 .
解得 .
所以 .
选③ .因为 ， 面 ，所以 平面 ，
所以 .
所以 就是二面角 的平面角， .
因为 ，所以 .
所以 .
所以 .
17. 在 中， ， .
（1）当 时，求 和 ；
（2）求 面积的最大值.
【答案】（1） ，
（2）27
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理即可求解；
（2）由余弦定理可得 ，结合 可得 ，进而根据面积公式即可求解.
【小问1详解】
因 且 ，
为
所以 .
由正弦定理得 ，即 .
所以 .
所以 或 .
因为 ，
，所以 .
所以 .
由 ，即 ，
解得 .
【小问2详解】
因为 ，
因为 ，所以 .
所以 ，当且仅当为 时，等号成立.
所以 .
所以 面积的最大值为 .
18. 某服装销售公司进行关于消费档次的调查，根据每人月均服装消费额将消费档次分为0-500元；500-
1000元；1000-1500元；1500-2000元四个档次，针对 两类人群各抽取100人的样本进行统计分析，
各档次人数统计结果如下表所示：
0～ 500～ 1000～ 1500～
500元 1000元 1500元 2000元
A类 20 50 20 10
B类 50 30 10 10
月均服装消费额不超过1000元的人群视为中低消费人群，超过1000元的视为中高收入人群.
（Ⅰ）从 类样本中任选一人，求此人属于中低消费人群的概率；
的
（Ⅱ）从 两类人群中各任选一人，分别记为甲、乙，估计甲 消费档次不低于乙的消费档次
的概率；
（Ⅲ）以各消费档次的区间中点对应的数值为该档次的人均消费额，估计 两类人群哪类月均服装
消费额的方差较大（直接写出结果，不必说明理由）.
【答案】(1)0.7;(2)0.78;(3)B.
【解析】
【详解】试题分析：
(Ⅰ)利用题意结合古典概型公式可得从 类样本中任选一人，求此人属于中低消费人群的概率为0.7；
(Ⅱ)利用题意列出所有可能的时间，然后进行计算可得甲的消费档次不低于乙的消费档次的概率为0.78(Ⅲ)利用题中数据的波动程度可得 两类人群哪类月均服装消费额的方差较大是B.
试题解析：
（Ⅰ）设此人属于中低消费人群为事件 ，
则
（Ⅱ）设甲的消费档次不低于乙的消费档次为事件 ，
则
（Ⅲ）答：
19. 已知椭圆 经过点 ，离心率为 ， 与 轴交于两点 ，
，过点 的直线 与 交于另一点 ，并与 轴交于点 ，直线 与直线 交于点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为原点，当点 异于点 时，求证： 为定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由椭圆过点 及离心率，可得椭圆方程；
（2）法一：设直线 方程，联立方程组确定点 ，联立直线 ， 方程可得 ，从而确定 ；
法二：设 ，分别表示直线 ， ，进而表示点 ，即可确定 ，若直线 过点 ，可得 ， 当 直 线 不 过 点 时 ， 要 证 ， 即 证
，化简即可得证；法三：设 ，分别表示直
线 ， ，进而表示点 ，即可确定 ，化简即可.
【小问1详解】
由题意得 ，
又因为 ，解得 ， ，
所以 的方程为 ；
【小问2详解】
法一：
若 的斜率不存在，则 ，
此时 ， ，不符合题意，
若 的斜率存在，则设 的斜率为 ，则 的方程为 ，
联立方程 ，得 ，解得 ， ，
所以 ，
所以 ，
，
则 ，
又 ，
，
联立 ， 的方程，解得： ， ，
所以 点坐标为 ，
直线 ，令 ，解得： ，
所以 ，
所以 为定值.
法二：
若 在 轴上，则 ，此时 ， ，不符合题意，
设 ， 则 ，且 ， ，
， ， ，
， ，
消去 得 ，
，
解得 ，
， ，
令 ，解得 ，
，
特别地，当 过点 时， ， ，此时 ，
要证 恒成立，即 恒成立，
只需证 ，
即证 ，即证 ，
即 ，
上式显然成立，
所以 .
法三：
若 在 轴上，则 ，
此时 ， ，不符合题意，
设 ， 则 ，且 ， ，
， ， ，
， ，
消去 得 ，
，
解得 ，
， ，
令 ，解得 ，所以 为定值.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三
角形的面积等问题．
20. 已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求证： 有且只有一个极值点；
（3）求证：方程 无解．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义可得切线斜率，进而可得切线方程；
（2）求导，根据导数的正负情况确定函数的极值点情况；
（3）构造函数 ，根据导数判断函数的单调性与最值情况，即可确定零点情况.
【小问1详解】由 ，得 ，
则 ，且
所以切线斜率为 ，
所以切线方程为 ，即 ；
【小问2详解】
由 的定义域为 ，
又 ， ，
所以 在 上单调递减，
因为 ， ，
所以 ，使 ，
且当 时， ，当 时， ，
所以函数在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 有且只有一个极值点；
【小问3详解】
设 ，
则 ，
当 时， ， ，则 ， 单调递减，
且 ，由（2）可得 在上单调递减，
时， ，
时， ，
在 上单调递减，
又当 时， ， ， ，即 ，
当 时， ，
所以当 时， ，
即 时， 恒成立，
所以函数 无零点，
即方程 无解.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用
的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导
数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中
的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
21. 已知 为正整数，集合 具有性质 ：“对于
集合 中的任意元素 ， ，且 ，其中
”. 集合 中的元素个数记为 ．
（1）当 时，求 ；
（2）当 时，求 的所有可能的取值；（3）给定正整数 ，求 ．
【答案】（1）
（2）所有可能取值为
（3）
【解析】
【分析】（1）由定义即可求解，
（2）先证明 ，且 ，然后利用“移位”，即可求解，
（3）根据数组中有多少个不满足 ，即可推理求解.
【小问1详解】
时，集合 中的元素为 ， ，
所以 ．
【小问2详解】
时，首先证明 ，且 ．
在 中，令 ，得 ，从而有 ．
在 中，令 ，得 ．
又 ， 故 ，从而有 ．
考虑 ，即 ， ，
此时 为最大值．
现交换 与 ，使得 ，此时 ．
现将 逐项前移，直至 ．在前移过程中，显然 不变，这一过程称为1次“移
位”．依此类推，每次“移位” 的值依次递减 ．经过有限次移位， 一定可以调整为
交替出现．
注意到 为奇数，所以 为最小值．
所以 的所有可能取值为 ．
【小问3详解】
由题设，在 中，有 个 ， 个 ，显然，从 中选 个 ，其余为 的种数共有
种．
下面我们考虑这样的数组中有多少个不满足 ，记该数为 ．
如果 不满足 ，则一定存在最小的正整数
，使得 ，且 ．
将 统统改变符号， 这一对应为：
，
从而将 变为 个 ， 个 组成的有序数组．
因此， 就是 个 ， 个 组成的有序数组的个数，即 ．
所以 .
【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学
思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽
象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规
律即可利用已学相关知识求解.
