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延庆区2022-2023学年第二学期质量检测 高三数学--评分参考
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.）
（1） D （2）C （3）A （4）C （5） A
（6） B （7）C （8）B （9）C （10）D
二、填空题（共5个小题，每小题5分，共25分）
（11） . （12） . （13） ， （答案不唯一）.
（14） 轴， . （15）② ③ ④.
说明：① 两个空的题目，前3后2，
② 15题填对1个给2分，填对2个给3分，填对3个给5分，错选①不给分。
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（本小题14分）
如图，四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， ， 面 ，
是等腰三角形， ， ， 是 的中点.
（Ⅰ）求证： ；
P
（Ⅱ）设 与 所成的角为 ，直线 与平面
所成的角为 ，二面角 为 ，
E
B
A
从以下所给的三个条件中选出其中一个作为已知
条件，求四棱锥 的体积.
D
C
① ； ② ； ③ ．
解：（Ⅰ） 因为 是 的中点，
所以 . ……………1分
因为 平面 ， 平面 ，
所以 . ……………2分
因为 ，
所以 平面 . ……………4分
因为 平面 ，
所以 . ……………5分
（Ⅱ）选① ；法一：设 是 的中点，连接 ， ……………6分
因为 ，
所以 . ……………7分
所以 就是 与 所成的角， . ……………8分
设 ， 则 ， ， .
因为 ，
所以 .
解得 . ……………12分
所以 . ……………14分
法二：设 ，设 的中点为 ，连 ，
则 ， 两两垂直.
分别以 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ……7分
则 .
所以 . ……………9分
所以 .
解得 . ……………12分
所以 . ……………14分
选② ；
法一：连 . ……………6分
因为 平面 ，所以 是 在平面 内的投影. ……………7分
所以 就是 与平面 所成的角， ，且 ……8分
因为 ,
所以 .
因为 ,
所以 .
所以 .
所以 .
所以 . ……………12分
所以 . ……………14分
法二: 设 的中点为 ，连 ，
则 ， 两两垂直，
分别以 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系如图.……7分
设平面 的法向量为 .
设
所以 . ……………9分
所以 .
解得 . ……………12分所以 . ……………14分
③ .
选
因为 ， 面 ，
所以 平面 ，
所以 .
所以 就是二面角 的平面角， . ……………8分
因为 ，
所以 .
所以 . ……………12分
所以 . ……………14分
（17）（本小题14分）
在 中， ， .
（Ⅰ）当 时，求 和 ；
（Ⅱ）求 面积的最大值.
解：解：（Ⅰ）因为 且
所以 . ……………1分
因为 ， 所以 .所以 . ……………3分
所以 或 . ……………4分
因为 ，
所以 .
所以 . ……………5分
. ……………7分
（Ⅱ）因为 ， ……………8分
因为 ，
所以 .
所以 ，当且仅当为 时，等号成立. ……………10分
.
所以 ，当且仅当为 时，等号成立. ……………12分
即 时， .
所以 面积的最大值为 . ……………14分
（18）（本小题13分）
某服装销售公司进行关于消费档次的调查，根据每人月均服装消费额将消费档次分为 0-500元；
500-1000元；1000-1500元；1500-2000元四个档次，针对 两类人群各抽取100人的样本进行统计分
析，各档次人数统计结果如下表所示：
0～ 500～ 1000～
1500～
档次
500元 1000元 1500元
2000元
人群
A类 20 50 20 10
B类 50 30 10 10月均服装消费额不超过1000元的人群视为中低消费人群，超过1000元的视为中高收入人群.
（Ⅰ）从 类样本中任选一人，求此人属于中低消费人群的概率；
（Ⅱ）从 两类人群中各任选一人，分别记为甲、乙，估计甲的消费档次不低于乙的消费档次的概率；
（Ⅲ）以各消费档次的区间中点对应的数值为该档次的人均消费额，估计 两类人群哪类月均服装消
费额的方差较大（直接写出结果，不必说明理由）.
解（Ⅰ）设此人属于中低消费人群为事件 ， ………………………………1分
则
………………………………3分
（Ⅱ）设甲的消费档次不低于乙的消费档次为事件 ，………………………………4分
……………………………8分
则
………………………………10分
（Ⅲ）答： ………………………………13分
（19）（本小题15分）
已知椭圆 经过点 ，离心率为 ， 与 轴交于两点
，过点 的直线 与 交于另一点 ，并与 轴交于点 ，直线 与直线 交于
点 .
(Ⅰ) 求椭圆 的方程；
(Ⅱ) 设 为原点，当点 异于点 时，求证： 为定值.
(Ⅰ)由题意得
解：………………………………1分
又因为
解得 ………………………………3分
所以 的方程为 ………………………………4分
(Ⅱ) 法一
若 的斜率不存在，则 ，
此时 ， ，不符合题意.………………………………5分
设 的斜率为 ，则 的方程为 . ………………………………6分
整理得 . ………………………………7分
消去
解得 . ………………………………8分
. ………………………………9分
.
所以. ………………………………10分
. ………………………………11分
， . ………………………………12分
联立 的方程，解得： .
点坐标为 . ………………………………13分
所以令 ，解得： ，
所以 ， ………………………………14分
所以 为定值. ………………………………15分
法二、
若 在 轴上，则 ，
此时 ， ，不符合题意 ………………………………5分
设 ， 则 ，且 ，
， ， ，………………………6分
， ， ………………………7分消去 得 ，
，
解得 ， ………………………8分
， ，
令 ，解得 ， ………………………9分
， ………………………10分
特别地，当 过点 时， ，此时 ，…11分
要证 恒成立，即 恒成立，
只需证 ，
即 ，
即 ， ………………………14分
即
上式显然成立
所以 . ………………………15分
法三、若 在 轴上，则 ，
此时 ， ，不符合题意………………………………5分
设 ， 则 ，且 ，
， ， ………………………6分
， ， ………………………………7分
消去 得 ，
，
解得 ，………………………………8分
， ，
令 ，解得 ， ………………………………9分
………………………………10分………………………………15分
所以 为定值.
（20）（本小题15分）
已知函数 .
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求证： 有且只有一个极值点；
（Ⅲ）求证：方程 无解．
解：（Ⅰ） ， ………………1分
， ………………2分
∴ 的方程为 .
即： ： ． ………………4分
（Ⅱ） 的定义域是
………………5分
在区间 上是减函数， 在区间 上也是减函数，
是减函数， ………………6分
，
， ………………7分
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上是增函数，在 上是减函数， ………………8分
所以 有且只有一个极值点 . ………………9分
（Ⅲ）设 ，
则 ， ………………10分
当 时， ，∴ ， ………………11分当 时， ，
由（Ⅱ）知， 在 上是减函数，
∴ 当 时， ，
∴ 当 时， ，
∴ 在区间 上是减函数， ………………12分
当 时， ，
∴ ； ………………13分
当 时， ，
∴ 当 时， ， ………………14分
∴ 无零点，
∴ 方程 无解． ………………15分
（21）（共15分）
解：（Ⅰ） 时，集合 中的元素为 ， ，
所以 ． ………………3分
（Ⅱ） 时，首先证明 ，且 ．
在 中，令 ，得 ，从而有 ．
在 中，令 ，得 ．
又 ， 故 ，从而有 ．
考虑 ，即 ， ，
此时 为最大值．
现交换 与 ，使得 ，此时 ．
现将 逐项前移，直至 ．在前移过程中，显然 不变，这一过程称
为1次“移位”．
依此类推，每次“移位” 的值依次递减 ．经过有限次移位， 一定可以调整为 交替出现．
注意到 为奇数，所以 为最小值．
所以 的所有可能取值为 ． ………………9分
（Ⅲ）由题设，在 中，有 个 ， 个 ．
显然，从 中选 个 ，其余为 的种数共有 种．下面我们考虑这样的数组中
有多少个不满足 ，记该数为 ．
如果 不满足 ，则一定存在最小的正整数
，使得 ，且 ．
将 统统改变符号， 这一对应为：
，
从而将 变为 个 ， 个 组成的有序数组．
因此， 就是 个 ， 个 组成的有序数组的个数，即 ．
所以 . ………………14分
