文档文本内容
延庆区 2022—2023 学年第二学期质量检测
高三数学
2023.03
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷
上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。
第一部分
（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，
选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 ， ，且 ，则 等于
（A） （B） （C） （D）
（2）已知 ，则 等于
（A） （B） （C） （D）
（3）若直线 与圆 相切，则 等于
（A） （B） （C） （D）
4）若 ，则“ ”是“复数 是纯虚数”的
（
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（5）设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（A） （B） （C） （D）
（6） 为坐标原点，点 ， 的坐标分别为 ， ，则 等于
（A） （B） （C） （D）
（7） 是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定义了 系列
的纸张尺寸. 设型号为 的纸张面积分别是
，它们组成一个公比为 的等比数列，设型号为 的纸张
的面积分别是 ，已知 ，则 的值
为
（A） （B） （C） （D）
f (x)
（8）将 的图象向左平移 个单位，所得图象与 的图象关于 轴对称，
f (x)=
则
（A） （B） （C） （D）
（9） 的外接圆半径为 ，圆心为 ，且 ， ，则 等于
（A） （B） （C） （D）
（10）数列 中， ，定义：使 为整数的数
叫做期盼数，则区间 内的所有期盼数的和等于
（A） （B） （C） （D）
第二部分
（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）已知函数 的定义域为 ，且 ，则 的取值范围是 ．
（12）若双曲线 的焦距是 ，则实数 ____________．
（13）如图，某地一天从 时至 时的温度变化曲
30
线近似满足函数 ，其中
20
10
，且函数在 与 时分别取得
最小值和最大值. 这段时间的最大温差为 ；O 6 8 10 12 14
时
（13题图）
的一个取值为 .
（14）曲线 的一条对称轴是 ； 的取值范围是 .
（15）四面体 的三条棱 两两垂直， ， ，
为四面体 外一点，给出下列命题：
① 不存在点 ，使四面体 三个面是直角三角形；② 存在点 ，使四面体 是正三棱锥；
③ 存在无数个点 ，使点 在四面体 的外接球面上；
④ 存在点 ，使 与 垂直且相等，且 .
其中真命题的序号是 .
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）
如图，四棱锥 中，底面 是梯形， ， 面 ，
是等腰三角形， ， ， 是 的中点.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）设 与 所成的角为 ，直线 与平面
所成的角为 ，二面角 为 ，
从以下所给的三个条件中选出其中一个作为已知
条件，求四棱锥 的体积.
（16题图）
① ； ② ； ③ ．
（17）（本小题14分）
在 中， ， .
（Ⅰ）当 时，求 和 ；
（Ⅱ）求 面积的最大值.
（18）（本小题13分）某服装销售公司进行关于消费档次的调查，根据每人月均服装消费额将消费档次分
为0～500元；500～1000元；1000～1500元；1500～2000元四个档次，针对 ， 两
类人群各抽取100人的样本进行统计分析，各档次人数统计结果如下表所示：
0～ 500～ 1000～ 1500～
500元档次1000元 1500元 2000元
人群
类 20 50 20 10
类 50 30 10 10
月均服装消费额低于1000元的人群视为中低消费人群，不低于1000元的人群视为
中高消费人群.
（Ⅰ）从 类样本中任选一人，求此人属于中低消费人群的概率；
（Ⅱ）从 ， 两类人群中各任选一人，分别记为甲、乙，估计甲的消费档次不低于乙
的消费档次的概率；
（Ⅲ）以各消费档次的区间中点对应的数值为该档次的人均消费额，估计 ， 两类人
群哪类月均服装消费额的方差较大（直接写出结果，不必说明理由）.
（19）（本小题15分）
已知椭圆 经过点 ，离心率为 ， 与 轴交
于两点 ， ，过点 的直线 与 交于另一点 ，并与 轴交于点 ，
直
线 与直线 交于点 .(Ⅰ) 求椭圆 的方程；
(Ⅱ) 设 为原点，当点 异于点 时，求证： 为定值.
（20）（本小题15分）
已知函数 .
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求证： 有且只有一个极值点；
（Ⅲ）求证：方程 无解．
（21）（本小题14分）
已知 为正整数，集合
具有性质 ：“对于集合 中的任意元素 ，
且 ，其中 ”. 集合 中的元素个数记为 ．
（Ⅰ）当 时，求 ；
（Ⅱ）当 时，求 的所有可能的取值；
（Ⅲ）给定正整数 ，求 ．
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