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2025-2026 学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．（5分）已知复数z满足2（cos60°+isin60°）z＝1+i，i为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）“x2﹣2x﹣3＜0”的一个充分条件是（ ）
A．x≥﹣1 B．1≤x≤3 C．0＜x＜3 D．x＜3
3．（5分）已知实数a＞b＞c且a，b，c≠0，则（ ）
A．a+b＞c B． ＞ C．2a＞b+c D． ＞
4．（5分）终边落在下图阴影
区+域
（含2边界）的角的集合为（ ）
+
2
A．
2
{ |0≤ ≤ }
B． 3 ，
2
{ | ≤ ≤ + ∈ }
C． 3 ，
2
{ |2 ≤ ≤2 + ∈ }
D． 3 ，
4
5．（5分{ ）|−已知3 等+比2 数 列≤ { a ≤ n}满2 足 |an +1 ∈ |＝ 2 } |an|，且a1+a2+a3 ＝3，则a4+a5+a6 ＝（ ）
A．24 B．﹣24或24 C．﹣24 D． 或
3 3
−
6．（5分）已知向量 ， ， ， ，若 与 的夹角不超过8，则8 的范围是（ ）
→ → → → → →
=( ) =(1 3) | − |
A． ， B． ， C．[1，3] D． 3，
1 3 1 3
[1 3] [ ] [ ]
7．（5分）已知点P是椭圆 2 2 上的一个动点，A（2，2），B（0，﹣2），4则|P 4 A|+|PB|的最大值为（ ）
2 2
A．4 B．+ = 1 C． D．8
9 5
2 5 29+1
8．（5分）已知函数f（x）＝（ax﹣b）（3lnx﹣b），a，b R，若f（x）≥0恒成立，则 的取值范围
3
∈ (1+ )
第1页（共21页）是（ ）
A．（﹣∞，3] B．（0，3） C．（3，+∞） D．（﹣∞，0）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）若 ，则下列选项正确的是（ ）
6 6
A．展开式中的二项(式3−系2数 )最大=项 0为+第 1 3 项+和⋯第+ 4 6项
B．a1+a2+a3+a4+a5+a6 ＝﹣728
C．a1+2a2+3a3+
⋯
+6a6 ＝﹣12
D．当x＝5时，（3﹣2x）6除以8的余数为1
（多选）10．（6分）已知函数（f x）＝asin x+bcos x（a＞0， ＞0）的最小正周期为 ，且
ω ω ω π ( )≤ ( )=2
恒成立，则下列选项正确的是（ ） 12
A．
B．f （= x）3的图象关于点 ， 对称
( 0)
C．f（x）在 ， 上单6调递减
( )
D．若 ＜ ＜3 ＜2 ， ，则
5
（多选）121．（ 1 6分 ） 2 已 知定 (义 1 在) = R −上 的( 2 函)数f（ 1 x）+满 2 足= f（3 f（x））＝x，且f（x﹣1）为奇函数，则下列选
项正确的是（ ）
A．f（x）的图象关于直线y＝x对称
B．f（0）+f（﹣1）＝﹣2
C．f（﹣x）+f（x）＝﹣2
D．f（1）+f（2）+ +f（40）＝﹣860
⋯
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5 分）已知顶点在坐标原点且开口向上的抛物线 C 过点（1，2），则 C 的准线方程
为 ．
13．（5分）某芯片研发部门共有8名核心工程师，其中3人精通AI算法，另外5人精通硬件架构，现需
分为两个小组进行技术攻关，每组4人，每组满足以下要求：①至少有1名AI算法工程师，②指定
一名组长，组长由硬件架构工程师担任．则有 种不同的分组方法（用数字作答）．
14．（5分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且AB⊥AD，AD∥BC，PA＝AB＝AD BC＝1，
1
=
2
第2页（共21页）动点 E 在侧面 PCD 内以点 P 为圆心，1 为半径的圆弧上，动点 F 在直线 PB 上，则 EF 的最小值
为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
( + )= +
（1）求A； 3
（2）若△ABC的周长为 ，面积为 ，求a．
16．（15分）如图，在三棱锥2(P﹣3+ABC6中) ，AB⊥平3面PBC，∠ACB＝45°，平面PAC⊥平面ABC，棱AC
的中点为O．
（1）求证：PC⊥平面ABC；
（2）若AB＝2，C到平面PAB的距离为 ，求直线OP与平面PAB所成角的正弦值．
3
17．（15分）已知数列{an}的前n项和为 ， ， ．
2
（1）求数列{an}的通项公式； + +1 =3 +2 +1 1 =1
（2）证明： ＜ ．
1 1 1 5
+ + ⋯ +
18．（17分）已知 1函数 2 3 ， ，， ．
1 2 1 2
（1）若y＝f（x）﹣ e (x 在)= x＝2 1处+的 切−线2方 程 为( ) y＝=（3 2 ﹣ − e）6x ﹣+ 1， 求 a， b ∈的 值；
（2）当a＝﹣4时， x1 （0，6]，总存在x2 [1，4]，使得g（x2 ）＜f（x1 ）成立，求b的取值范围；
∀ ∈ ∈
（3）当a＝﹣4时， 有三个不同零点，求b的取值范围．
1 2
ℎ( )= ( )+ ( )+
6
19．（17分）已知椭圆 ＞＞ 的左，右焦点分别为F1 （﹣c，0），F2 （c，0），长轴长是焦
2 2
距的2倍，短轴长为2 + ．2 = 1( 0)
（1）求椭圆的标准方2程3；
（2）若A（x1 ，y1 ），B（x2 ，y2 ）是椭圆上的两个不同的动点，直线OA，OB的斜率分别为 ， ， ．
2
（i）求坐标原点O到直线AB的距离d的取值范围； 1 2 1 2 =−
2
第3页（共21页）（ii）设AB的中点为D，点E满足 ，过D作DH1 ⊥x轴，过E作EH2 ⊥y轴，直线
→ → →
DH1 与直线EH2 交于点 ， ， 3， = ， + ， 以OA′，OB′为邻边作 OA′NB′，求线段
2 2 2 2
MN长度的取值范围． ′ ( 1 1) ′ ( 2 2) ▱
第4页（共21页）2025-2026 学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C C B A D B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BCD ACD ACD
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．（5分）已知复数z满足2（cos60°+isin60°）z＝1+i，i为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据复数的除法运算求出z，再由此求出对应点所在象限．
【解答】解：因为2（cos60°+isin60°）z＝1+i，
所以 ，可得
(1+ 3 ) =1+ ，
1+ (1+ )(1− 3 ) 1+ 3+(1− 3) 1+ 3 1− 3
= = = = +
1+ 3 (1+ 3 )(1− 3 ) 4 4 4
所以z在复平面内对应的点的坐标为（ ， ），位于第四象限．
1+ 3 1− 3
故选：D．
4 4
2．（5分）“x2﹣2x﹣3＜0”的一个充分条件是（ ）
A．x≥﹣1 B．1≤x≤3 C．0＜x＜3 D．x＜3
【分析】先解不等式x2﹣2x﹣3＜0得到“x2﹣2x﹣3＜0”的充要条件，再根据充分条件的概念进行判断．
【解答】解：由x2﹣2x﹣3＜0 ﹣1＜x＜3，
所以AD是“x2﹣2x﹣3＜0”的⇔必要条件，
B既不是“x2﹣2x﹣3＜0”的必要条件，也不是“x2﹣2x﹣3＜0”的充分条件，
只有C是“x2﹣2x﹣3＜0”的充分条件．
第5页（共21页）故选：C．
3．（5分）已知实数a＞b＞c且a，b，c≠0，则（ ）
A．a+b＞c B． ＞ C．2a＞b+c D． ＞
【分析】根据条件，通过取
特+殊
值，2即可判断A、B和D的正误，对C，
根+据
条件2，利用不等式的性质，
即可求解．
【解答】解：对于A，取a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣4，但a+b＝﹣5＜c＝﹣4，A错误，
对于B，取a＝2，b＝﹣3，满足a＞b且a，b≠0，但 ＜，B错误，
3 2
对于C，因为a＞b＞c，则a＞b，a＞c，所以2a＞b+c ，+ C 正=确−， 2 − 3 0
对于D，a＝2，b＝1，c＝﹣3，满足a＞b＞c且a，b，c≠0，但 ＜，D错误，
故选：C．
+
= 2 − 3 =− 1 0
4．（5分）终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为（ ）
A．
2
{ |0≤ ≤ }
B． 3 ，
2
{ | ≤ ≤ + ∈ }
C． 3 ，
2
{ |2 ≤ ≤2 + ∈ }
D． 3 ，
4
{ |− +2 ≤ ≤ 2 ∈ }
【分析】先3求出终边落在OP边上的角为 ，结合图象，即可得答案．
2
【解答】解：因为点P（﹣1， ），
3
3
所以终边落在OP边上的角的正切值为 ，对应的弧度为 ，
2
− 3
因此终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为 3 ， ．
2
故选：C． { |2 ≤ ≤ 2 + 3 ∈ }
5．（5分）已知等比数列{an}满足|an+1|＝2|an|，且a1+a2+a3 ＝3，则a4+a5+a6 ＝（ ）
A．24 B．﹣24或24 C．﹣24 D． 或
3 3
−
8 8
第6页（共21页）【分析】利用|an+1|＝2|an|求出公比q的值，再分类讨论即可求解．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵|an+1|＝2|an|，可得|q|＝2，∴q＝±2，
当q＝﹣2时， ；
3 3 3 3 3
当q＝2时， 4+ 5+ 6 = 1 + 2 + 3 =( 1+ 2+ 3) =3×(−2)；=−24
3 3 3 3 3
∴a4+a5+a6 的 值4+为 2 5 4+或 ﹣6 =24 ．1 + 2 + 3 =( 1+ 2+ 3) =3×2 =24
故选：B．
6．（5分）已知向量 ， ， ， ，若 与 的夹角不超过 ，则 的范围是（ ）
→ → → → → →
=( ) =(1 3) | − |
A． ， B． ， C．[1，3] D． 3，
1 3 1 3
[1 3] [ ] [ ]
【分析】由题意确定 2 2，再通过 求其范围，即可求解．4 4
→ →
2 2
0≤ ≤ | − |
【解答】解：因为向量 3 ， ， ， ，若 与 的夹角不超过 ，
→ → → →
=( ) =(1 3)
所以设 ， ，则 ，且 ， 3
→ →
(1 3) = ∠ =
3
因为 ，所以在单位圆上取 ，
→ → →
| |=1 =
因为 与 的夹角不超过 ，
→ →
所以 ， 3
2
0≤ ≤
3
所 以
→ → → → → →
2 2 2 1 3
| − | = + −2 ⋅ =1+4−(2 +2 3 )=5−4( + )=5−
， 2 2
4 ( + )
6
又 ，所以 ，
2 5
0≤ ≤ ≤ + ≤
所以 3 6 ， 6 6
2≤ 4 ( + )≤4
6
所以 ，
→ →
2
1≤ | − | ≤3
第7页（共21页）故 的范围是 ， ．
→ →
故选| ：−A ．| [1 3]
7．（5分）已知点P是椭圆 上的一个动点，A（2，2），B（0，﹣2），则|PA|+|PB|的最大值为（ ）
2 2
A．4 B．+ = 1 C． D．8
9 5
【分析】注意到B是椭圆的2 下5焦点，则上焦点为F2（9+0，12），故|PA|+|PB|＝2a+|PA|﹣|PF|，而|PA|﹣|PF|
的最大值为|AF|，由此求得|PA|+|PB|的最大值．
【解答】解：已知椭圆方程 ，
2 2
则a2＝9，b2＝5， + ，= 1
9 5
2 2
即 ， ， = ，− =2
故 B=为3椭圆 的=下5焦点 ，=则2 椭圆的上焦点为F（0，2），
根据椭圆的定义，有|PA|+|PB|＝|PA|+2a﹣|PF|＝2a+|PA|﹣|PF|，
根据三角形两边的差小于第三边可知|PA|﹣|PF|≤|AF|，
故|PA|+|PB|的最大值为2a+|AF| ．
2 2
故选：D． =6+ (2−0) +(2−2) =8
8．（5分）已知函数f（x）＝（ax﹣b）（3lnx﹣b），a，b R，若f（x）≥0恒成立，则 的取值范围
3
是（ ） ∈ (1+ )
A．（﹣∞，3] B．（0，3） C．（3，+∞） D．（﹣∞，0）
【分析】先分析f（x）恒成立的条件，再确定参数符号，化简目标式，利用导数法求值域．
【解答】解：要使（ax﹣b）（3lnx﹣b）≥0对x＞0恒成立，两因式需同号且零点重合．
因式零点： ； ，所以 ①．
3 3
y＝3lnx﹣b在 （−0 ，=+∞0 ⇒）单 =调
递(增 ≠，0要)使3两 因 式−同 =号0，⇒y＝ a=x﹣ b需单调
递=增 ，得a＞0．
由a＞0及 ＞ 可知b＞0，令 ，则b＝3t，且t＞0，由①得 ．
3 3 3
= 0 = = ⇒ =
3
第8页（共21页）则目标式： ．
3 3 3 3( +1)
(1+ )= ⋅(1+ )=
设 ＞ ， 求导得3 ＜，所以h（t）在（0，+∞）上单调递减．
3( +1) −3
由单ℎ( 调)性=知： t→( 0 +时0，) h（t）→′ℎ 3；( t )→= +∞ 时，0 h（t）→0．因此 h（t） （0，3）．
∈
综上， 的取值范围为（0，3）．
3
故选： B (．1+ )
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）若 ，则下列选项正确的是（ ）
6 6
A．展开式中的二项(式3−系2数 )最大=项 0为+第 1 3 项+和⋯第+ 4 6项
B．a1+a2+a3+a4+a5+a6 ＝﹣728
C．a1+2a2+3a3+
⋯
+6a6 ＝﹣12
D．当x＝5时，（3﹣2x）6除以8的余数为1
【分析】对于A直接用二项式系数的性质判断；对于B用赋值法可得；对C可对二项式两边求导，然
后再赋值可得；对于D则将76＝（8﹣1）6按二项式展开式进行判断可得．
【解答】解：因为二项式展开式中共有7项，所以第4项的二项式系数最大，A不正确；
令x＝0，可得 ，
6
令x＝1，得 0 =3 ，
6
所以 0+ 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6 =(3，−B2正×1确)；=1
6
对 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6 =1两−边3求=导−，728
6 6
得(3−2 ) = 0+ 1 +⋯+ 6 ，
5 2 5
令6x＝⋅(13，−得2 a) 1+⋅2(a2 −+32a) 3+=
⋯
+ 1 6+a6 2＝ 2 6 ×+13× （3 ﹣+2）⋯＝+﹣6 1 6 2 ，C正确；
当x＝5时，（3﹣2x）6＝（3﹣2×5）6＝（﹣7）6＝76＝（8﹣1）6，
而
6 0 6 1 5 2 4 2 5 5 6 6
(8−1) = 68 + 68 (−1)+ 68 (−1) +⋯+ 68(−，1)即+76 除6(以−18)的余数为1，D正确．
0 5 1 4 2 3 2 5 5
=故选[ 6：8BC+D ．68 (−1)+ 68 (−1) +⋯+ 6(−1) ]⋅8+1
（多选）10．（6分）已知函数（f x）＝asin x+bcos x（a＞0， ＞0）的最小正周期为 ，且
ω ω ω π ( )≤ ( )=2
恒成立，则下列选项正确的是（ ） 12
A．
= 3
第9页（共21页）B．f（x）的图象关于点 ， 对称
( 0)
C．f（x）在 ， 上单6调递减
( )
D．若 ＜ ＜3 ＜2 ， ，则
5
1 2 ( 1) =− ( 2) 1+ 2 =
【分析2】先利用辅助角公式把f（x）化为标准形式，利用3最小正周期公式求出 ，结合
ω ( )≤ ( )=2
恒成立求出a，b，再根据正弦函数的性质逐一分析判定选项． 12
【解答】解：∵ ， ，
2 2
∵f（x）最小正周 (期 )为= T ＝ ， + = + ( + ) ( = )
π
∴ ，
2
= =2
∵ ，﹣1≤sin（ x+ ）≤1，
( )≤ ( )=2 ω φ
∴ 12， ，
2 2
+ =2 2⋅ + = +2
故 ， 12 2
=
3
∴ ，
即 = ，= 3
= 3
∴ ，
2 2
+ =2
＞ =1
= 3 ⇒
= 3
∴ 0 ，
( )= 2 + 3 2 =2 (2 + )
对于A： ，故选项A正确； 3
对于B： ∵=正弦3函数的对称中心满足f（x0 ）＝0，
，
2 3
( )=2 =2× = 3≠0
∴f6（x）的图象3不关于点2 ， 对称，故选项B错误；
( 0)
6
对于C：∵sin 的单调递减区间为 ， ， ，
3
θ [ +2 +2 ] ∈
∴ ，2 2
3
+2 ≤ 2 + ≤ +2
解得2 3 2 ，
7
+ ≤ ≤ +
当k＝120时，f（x）的1递2减区间为 ， ，
7
[ ]
12 12
第10页（共21页）∵ ， ， ，
7
( )⊂[ ]
∴f（3 x）2在 ，12 上1单2 调递减，故选项C正确；
( )
对于D：∵f（3 x1 ）2 ＝﹣f（x2 ），
∴ ，
2 (2 1+ )=−2 (2 2+ )
即 3 ① 3或 ②，
2 1+ =−(2 2+ )+2 2 1+ = +2 2+ +2
式①化简3得 3 ，又∵ ＜ ＜3 ＜ ， 3
1+ 2 = − 1 2
∴x1+x2 （ ，2 ），取k＝23，
2
∈ π π
则 ；
5
1+ 2 =2 − =
式②化简得 3 3 ，与 ＜ ＜ ＜ 矛盾，舍去，
1− 2 = + 1 2
∴ ，故选项 2 D正确．2
5
故选 1 ：+ A C 2 D =．3
（多选）11．（6分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（f（x））＝x，且f（x﹣1）为奇函数，则下列选
项正确的是（ ）
A．f（x）的图象关于直线y＝x对称
B．f（0）+f（﹣1）＝﹣2
C．f（﹣x）+f（x）＝﹣2
D．f（1）+f（2）+ +f（40）＝﹣860
⋯
【分析】对于A项，可证明点（x0 ，y0 ），（y0 ，x0 ）同时满足y＝f（x）即可；对于B项，可利用f（f（x））
＝x，且f（x﹣1）为奇函数，赋值求解即可；对于C项，由函数关于点（﹣1，0）对称，再结合函数关
于y＝x对称，即可证明；对于D项，应用 ，可证明f（x+2）﹣f（x）＝﹣2，可得
( )=− (− −2)
f（1），f（2），f（3）， ，f（40）依次构成
等
(−
差
数
)
列
+
，
(
进
)
而
=−
可
2
判断正误．
⋯
【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（f（x））＝x，
对于A项，设点（x0 ，y0 ）是y＝f（x）图象上任意一点，
则y0 ＝f（x0 ），f（y0 ）＝f（f（x0 ））＝x0 ，
所以点（y0 ，x0 ）也是y＝f（x）图象上的点，
所以f（x）的图象关于直线y＝x对称，A正确；
对于B项，因为g（x）＝f（x﹣1）为R上的奇函数，
第11页（共21页）所以g（0）＝f（0﹣1）＝f（﹣1）＝0；
又因为f（f（x））＝x，所以﹣1＝f（f（﹣1））＝f（0），
于是f（0）+f（﹣1）＝﹣1，B错误；
对于C项，因为f（x﹣1）为奇函数，所以﹣f（x﹣1）＝f（﹣x﹣1），
即f（x）＝﹣f（﹣x﹣2），令f（x）＝﹣f（﹣x﹣2）＝m，
则f（m）＝f（f（x））＝x，f（﹣m）＝f（f（﹣x﹣2））＝﹣x﹣2，
所以f（m）+f（﹣m）＝x﹣x﹣2＝﹣2，
因为f（x）的值域为R，所以该结论对任意实数都成立，
即f（﹣x）+f（x）＝﹣2，故C项正确；
对于D项，由以上推理知 ，
( )=− (− −2)
所以f（x）＝﹣f（﹣x﹣2） ( ＝ − ﹣ （ )+ ﹣ 2( ﹣ )f（ =−x+22））＝2+f（x+2），
所以f（x+2）﹣f（x）＝﹣2；
又因为f（﹣1）＝0，f（0）＝﹣1，
所以f（1）＝﹣2，f（2）＝﹣3，f（3）＝﹣4，f（4）＝﹣5，f（5）＝﹣6， ，f（40）＝﹣41依次
⋯
构成等差数列，其首项为﹣2，公差为﹣1，
所以f（1）+f（2）+ +f（40）＝﹣860，故D项正确．
⋯
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知顶点在坐标原点且开口向上的抛物线C过点（1，2），则C的准线方程为 ．
1
=−
【分析】抛物线开口向上，可设抛物线标准方程为x2＝2py，且抛物线过点（1，2），可以求得 8 .所
1
=
以准线方程为 ． 4
1
【解答】解：已 =知−顶8点在坐标原点且开口向上的抛物线C过点（1，2），
则抛物线开口向上，
所以设抛物线标准方程为x2＝2py（p＞0），
又抛物线过点（1，2），
则 ，
1
1=4 ⇒ =
所以准线方程为 4 ．
1
=−
8
第12页（共21页）故答案为： ．
1
13．（5分）某芯 =片−研8发部门共有8名核心工程师，其中3人精通AI算法，另外5人精通硬件架构，现需
分为两个小组进行技术攻关，每组4人，每组满足以下要求：①至少有1名AI算法工程师，②指定
一名组长，组长由硬件架构工程师担任．则有 180 种不同的分组方法（用数字作答）．
【分析】先根据条件选择4人组成第一组，确定组长，则第二组人员随之确定，只需确定组长即可．
【解答】解：每组满足以下要求：①至少有1名AI算法工程师，②指定一名组长，组长由硬件架构
工程师担任．
故先从3个精通AI算法的工程师中选1人，从5个精通硬件架构的工程师中选3人，再从3个精通硬
件架构的工程师中选1人做组长，有 种选法，
1 3 1
此时第二组的人员已经确定，由2个 精3通⋅ A5I⋅算 3法=的90工程师和2个精通硬件架构的工程师组成，选1个
精通硬件架构的工程师做组长，有 种选法．
1
综上，满足条件的分组方法有90× 22＝=1820种．
故答案为：180．
14．（5分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且AB⊥AD，AD∥BC，PA＝AB＝AD BC＝1，
1
=
2
动点E在侧面PCD内以点P为圆心，1为半径的圆弧上，动点F在直线PB上，则EF的最小值为 ．
6
【分析】先明确动点进行轨迹分析，再利用余弦定理进行距离转化，利用线面角的性质确定∠EPF的最
3
小值，最后通过几何关系求出线面角的正弦值，即可得到EF的最小值．
【解答】解：如图，因为四棱锥P﹣ABCD满足PA⊥底面ABCD，
且 ， ， ，
1
所以 以⊥ P 为球 心 1 ∥ 为 半径 的=球 与 △= P C D =（2包 括 边=界1）的交线即为△PCD内以P为圆心，1为半径的一
截圆弧，
因为PE＝1，所以则当F点固定时，
由余弦定理可知，EF的距离只取决于∠EPF，∠EPF越小，EF距离越小，
过B作面PCD的垂线，垂足为G，易知在△BCD中， ， ，
⊥ = = 2
所以 ，
1
因为 P △ A ⊥ 平=面2 × ABC 2 D ×，B 2 C =平1面ABCD，则PA⊥BC，
又易知BC⊥AB，AB∩PA＝⊂A，AB，PA 平面PAB，
则BC⊥平面PAB，又因为PB 平面PA⊂B，则BC⊥PB，
⊂
第13页（共21页），
2 2 2 2
在 △= PC D 中+， = ( 2) +，2 = 6
= = 2
所以 ，
1 2 6 2 3
由VP
﹣
△
B
C
D
＝=V2B﹣ ×
PCD
6，× ( 2) −(
2
) =
2
得 ，所以 ，
1 1 3 2 3
且由
3
×等1面×积 △ P=BC
3
可×知
2
G×在 PC上， =
3
延长PG交圆弧为E，过E作PB的垂线，垂足为F，
此时∠EPF为线面角，取到最小值，
所以 ，
2 3
3 6
∠ = =
2 3 取到最小值．
6 6
= ∠ =1× =
故答案为： ． 3 3
6
3
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
( + )= +
（1）求A； 3
（2）若△ABC的周长为 ，面积为 ，求a．
2( 3+ 6) 3
【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角及正弦的和角公式得 ，即可求解；
1 3
（2）利用三角形的面积公式及余弦定理，再结合条件得 = 2 + 2 ， 即 可求解．
2 2
【解答】解：（1）因为 =[，2( 3+ 6)− ] −12
( + )= +
3
由正弦定理可得 ，
1 3
又B （0， ）， 所 以 ( s2in B ≠ 0 +，整2 理 可 得)= ( ， + )=
又A ∈（0，π），所以 ； = 3
∈ π =
3 第14页（共21页）（2）由（1）知 ，三角形的面积为 ，即 ，
1 3
解得bc＝4， =
3
3 =
2
=
4
= 3
又因为a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣12，
由△ABC的周长为 ，
所以 2( 3+ 6) ，
2 2
整理得 到=[2( 3+ 6)− ] −12 ，
解得 24(．1+ 2)−4 3(1+ 2) =0
16．（15 分=）2如3图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥平面PBC，∠ACB＝45°，平面PAC⊥平面ABC，棱AC
的中点为O．
（1）求证：PC⊥平面ABC；
（2）若AB＝2，C到平面PAB的距离为 ，求直线OP与平面PAB所成角的正弦值．
3
【分析】（1）先利用面面垂直的性质定理证明BO⊥平面PAC，可得BO⊥PC，结合线面垂直的性质定
理知AB⊥PC，再利用线面垂直的判定定理，即可得证；
（2）作CD⊥PB，垂足为D，先证CD⊥平面PAB，从而知CD ，解三角形可得PC＝2 ，再取
PA的中点E，连接OE，并证明OE⊥平面ABC，然后以O为原点=建3系，利用向量法求线面角即3可．
【解答】（1）证明：∵AB⊥平面PBC，BC，PC 平面PBC，
∴AB⊥BC，AB⊥PC， ⊂
∵∠ACB＝45°，∴AB＝BC，
∵O为AC的中点，∴BO⊥AC，
又平面PAC⊥平面ABC，OB 平面ABC，平面ABC∩平面PAC＝AC，
∴BO⊥平面PAC， ⊂
∵PC 平面PAC，∴BO⊥PC，
又AB⊂∩BO＝B，AB，BO 平面ABC，
∴PC⊥平面ABC． ⊂
第15页（共21页）（2）解：作CD⊥PB，垂足为D，
∵AB⊥平面PBC，CD 平面PBC，∴AB⊥CD，
又∵PB∩AB＝B，PB，⊂AB 平面PAB，∴CD⊥平面PAB，
∵C到平面PAB的距离为 ⊂，∴CD ，
3 = 3
在Rt△BCD中，sin∠DBC ，即∠DBC＝60°，
3
= =
在Rt△PBC中，tan∠DBC 2 ，即PC＝2 ，
取PA的中点E，连接OE，=则
OE
=∥2PC =，3 3
由（1）知PC⊥平面ABC，
∴OE⊥平面ABC，
以O为坐标原点，OB，OC，OE所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
( 2 0 0) (0 2 0) (0 − 2 0) (0 2 2 3)
∴ ， ， ， ， ， ， ， ， ，
→ → →
=( 2 2 0) =(0 2 2 2 3) =(0 2 2 3)
设平面PAB的法向量为 ，， ，则 ，即 ，
→ →
→
=( ) → ⋅ → =0 2 + 2 =0
2 2 +2 3 =0
⋅ =0
令 ，得 ， ，∴ ， ， ，
→
设直 =线− OP 3与平 面= PAB 3所 成=角为2 ， =( 3 − 3 2)
α
则sin ＝|cos＜ ， ＞| ，
→ → → →
| ⋅ | |− 6+2 6| 42
α = → → = =
14×2 2 28
| |⋅| |
即直线OP与平面PAB所成角的正弦值为 ．
42
28
17．（15分）已知数列{an}的前n项和为 ， ， ．
2
（1）求数列{an}的通项公式； + +1 =3 +2 +1 1 =1
（2）证明： ＜ ．
1 1 1 5
+ + ⋯ +
1 2 3 第16页（共21页）【分析】（1）由递推公式可得an+1 ﹣an﹣1 ＝6（n≥2），进而可得数列的奇数项和偶数项分别为公差为6
的等差数列，从而可得数列的通项公式．
（2）根据（1）的结论求得 ，再利用放缩法和裂项求和法证明不等式．
(3 −1)
【解答】解：（1）∵ = 2 ，
2
∴ + +1 =3 +2 +1 ，
2
∴ an + − a 1 n + +1 ＝ 6=n﹣3(1 （−n≥1)2）+．2( −1)+1( ≥2)
∵当n＝1时，S1+S2 ＝a1+a1+a2 ＝6，且a1 ＝S1 ＝1，∴a2 ＝4．
∴a1+a2 ＝5＝6×1﹣1，∴ ， ．
∗
∴an﹣1+an ＝6n﹣7（n≥2）， ∴+a
n
+
+
1
﹣1 =an 6
﹣
1
＝−61（n ≥∈2） ，
所以{an}中奇数项是以a1 ＝2为首项，6为公差的等差数列；
偶数项是以a2 为首项，6为公差的等差数列．
所以当n为偶数时， ，
= 2+( −1)×6=4+3 −6=3 −2
2
当n为奇数时， ，
+1
= 1+( −1)×6=1+3 +3−6=3 −2
∴ ， ． 2
∗
（ 2） =证3明 ：−由2 （ 1）∈ 知{an}是以1为首项，3为公差的等差数列，
∴ ，∴ ．
( 1+ ) (3 −1) 1 2
= = =
当n＝1时，2 ＜ 2， (3 −1)
1 5
= 1
当n≥2时， 1 3 ＜ ，
1 2 2 2 1 2 1 1
= = ⋅ = ( − )
∴ (3＜ −1) (3 −3) 3 ( −1) 3 −1 ＜ ．
1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 5 2 5
+ + ⋯ + 1+ [(1 − )+ ( − )+ ⋯ +( − )] = 1 + (1 − ) = −
∴ 1 2 ＜ ．3 2 2 3 −1 3 3 3 3
1 1 1 5
+ + ⋯ +
18．（ 1 1 7分 ）2已知函数 3 ， ，， ．
1 2 1 2
（1）若y＝f（x）﹣ e (x 在)= x＝2 1处+的 切−线2方 程 为( ) y＝=（3 2 ﹣ − e）6x ﹣+ 1， 求 a， b ∈的 值；
（2）当a＝﹣4时， x1 （0，6]，总存在x2 [1，4]，使得g（x2 ）＜f（x1 ）成立，求b的取值范围；
∀ ∈ ∈
（3）当a＝﹣4时， 有三个不同零点，求b的取值范围．
1 2
【分析】（1）先求得ℎ y (′ )＝= x+ ( a ﹣) e +x， (得 )到+ y6′ |x＝1 ＝1+a﹣e，得到方程1+a﹣e＝2﹣e，求得a的值，再
将x＝1代入切线方程，求得y＝1﹣e，得出 ，求得b的值；
1
+1 − 2 − = 1 −
2
第17页（共21页）（2）当a＝﹣4时， ，利用二次函数的性质，求得f（x）
min
＝﹣8﹣2b，求得
1 2
( )= −4 −2 ′ ( )=
，得出函数的单调性， 2 求得 ，得出不等式 ＜ ，即可求解；
2
9− 1 1
( ) = − − −8−2
（3 3 ）转化为 有三个不相等实6 根，设 6 ，利用导数求得 （x）
1 2 1 2
的单调区间和 极=值2， 结−合4 y +＝3 b 与 （x）有三个交点，列 出( 不)等=式2 ，即−可4 求+解3 ． φ
φ
【解答】解：（1）根据题意可得 ，
1 2
则y′＝x+a﹣ex，所以y′|x＝1 ＝ 1+ = a﹣ ( e ，)− = 2 + −2 −
因为y＝f（x）﹣ex在x＝1处的切线方程为y＝（2﹣e）x﹣1，
可得1+a﹣e＝2﹣e，解得a＝1，
将x＝1代入切线方程y＝（2﹣e）x﹣1，可得y＝1﹣e，
即 ，解得 ，所以 ， ；
1 1 1
+1 − 2 − = 1 − = =1 =
（22）当a＝﹣4时， 4 ， ， ，4
1 2
因为函数f（x）的图像 ( 象)开=口2 向上−，4 对−称2 轴为 x ∈＝(0 4，6]
所以f（x）
min
＝f（4）＝﹣8﹣2b，
又因为 ， ， ，所以 ，
2
1 2 3 9−
当1≤x ＜( 3 )时=，3 g ′ （− x6） ＞+ 0 ，g （∈ x）[1单调4]递增；′ ( )= − 3 = 3
当3＜x≤4时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
因为 ， ，可得 ＞，
1 8 5
(1)= − (4)=3 4− + (4)− (1)=3 4− 0
所以 6 ，则 3 ＜ ，解得 ＜ ， 2
1 1 47
( ) = (1)= − − −8−2 −
所以b的取值范围为 ，6 ．6 18
47
(−∞ − )
（3）当a＝﹣4时，可得 18 ，
1 2
ℎ( )= −4 +3 −
因为h（x）＝0有三个不同零点，2所以 有三个不相等实根，
1 2
= −4 +3
即y＝b与 的图象有2三个交点，
1 2
( )= −4 +3
设 2 ，
1 2
( )= −4 +3
2
可得 ，
2
3 −4 +3 ( −1)( −3)
当0＜′ x (＜ ) 1 =时 ，−4′+（ x =）＞0， （= x）单调 递增；
φ φ 第18页（共21页）当1＜x＜3时， ′（x）＜0， （x）单调递减；
当x＞3时， ′φ（x）＞0， （φx）单调递增，
φ φ
又由 ， ，
7 15
且x→ ( 0 1时)=，− 2（x） (→3)﹣=∞3； 3 x→− +2∞时， （x）→+∞，
φ φ
所以 ＜＜ ，
15 7
3 3− −
所以实数b的2取值范围为2 ， ．
15 7
(3 3− − )
2 2
19．（17分）已知椭圆 ＞＞ 的左，右焦点分别为F1 （﹣c，0），F2 （c，0），长轴长是焦
2 2
距的2倍，短轴长为2 + ．2 = 1( 0)
（1）求椭圆的标准方2程3；
（2）若A（x1 ，y1 ），B（x2 ，y2 ）是椭圆上的两个不同的动点，直线OA，OB的斜率分别为 ， ， ．
2
（i）求坐标原点O到直线AB的距离d的取值范围； 1 2 1 2 =−
2
（ii）设AB的中点为D，点E满足 ，过D作DH1 ⊥x轴，过E作EH2 ⊥y轴，直线
→ → →
DH1 与直线EH2 交于点 ， ， 3， = ， + ， 以OA′，OB′为邻边作 OA′NB′，求线段
2 2 2 2
MN长度的取值范围． ′ ( 1 1) ′ ( 2 2) ▱
【分析】（1）椭圆长轴是焦距的2倍，短轴长为 ，结合椭圆核心关系式∵a2＝b2+c2得到最终方程；
2 3
（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝n，直线与椭圆的方程联立，再根据
2
得到坐标原点O到直线AB的距离d的取值范围；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程 为 1 y 2 ＝= k − x+ m 2
联立，利用韦达定理，再根据 得到d的取值范围；
2
1 2 =− 2
（ii）根据条件由A（x1 ，y1 ），B（x2 ，y2 ）两点 的横纵坐标得到 ， 得到 ，
→ → →
1+ 2 1+ 2
= 3 = + =
2 3
得到点M在以原点为圆心，以 为半径的圆上，得到M的轨迹， ，可得 ，
→ → →
2 2
，从而得到N的坐标2 ，进而得到MN的长度， = ′ + ′ = 1+ 2
2 2
【 解=答 1】+解 ：2（1）因为椭圆长轴是焦距的2倍，短轴长为 ，
所以 ， ，又因为a2＝b2+c2，所以 ，2 3 ， ，
2 =4 2 =2 3 = 3 =2 =1
所以椭圆的标准方程为 ；
2 2
（2）（i）当直线AB的斜率+不存=在1时，设直线AB的方程为x＝n，
4 3
第19页（共21页）由 得 ，
2 2 2 2
4 + 3 =1 =3(1− 4 )
所以 = ，所以n2＝2，所以 ，
2
1 2 −3(1−4) 3
当直线 1 A 2 B=的 斜 1 率 2 =存在时 2，设直=−线 4AB的方程为y＝kx+m ，= 2
由 ，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
= +
2 2
所以3 +4 =12 ， ，
2
−8 4 −12
因为 Δ 1 ＝+ 6 4 2 k =2m3 2﹣+44 （2 3+ 4 1 k 2） 2 （= 4m3+ 2﹣4 1 2 2）＝48（3+4k2﹣m2）＞0，
所以m2＜4k2+3，
所以
2 2
1 2 ( 1+ )( 2+ ) 1 2+ ( 1+ 2)+
1 2 = = =
1 2 1 2 ， 1 2
2 2
2 −8 (3+4 ) 3
= + ( 2 )+ 2 =−
化简得：2m 42＝ 4 − k21 + 2 3，因为4 x1 − x2 1≠2 0，所4以 且 ， ，
2 3 2 2 3
≥ ≠3 ≠
所以 （或2 4），
2
| | 4 +3 1 2
= 2 = 2 = 2− 2 = 2− 2
由 1+且 k2+1 2≥(1 1 +（ 或)由2m2+1 2≥( 4且+1 2 ) m2+1≠7）， 2 +1
2 7
+1 ≠
4
得 ， ， ，
6 2 21 2 21
∈ [ )∪( 2)
综上所述2， 7 ， 7 ， ；
6 2 21 2 21
∈ [ )∪( 2]
（ii）由（i）， 2 7 7 ，
1+ 2 1 −8 −2
= = × 2 =
2 2 3+4
1+ 2 ( 1+ 2)+2
= =
3 3
，
−4 2
2 2
+2 −4 +2 3
= = =
所以 3 3 ，
2
2 2 2 2 4 +3
所以点 M +在 以=原 点 +为 圆 心=， 以2 =为2半径的圆上，
2
由 ， ，
→ → →
2 2 2 2
= ′ + ′ =( 1+ 2 1+ 2)
所 以
2 2 2 2 2 2
2 2 2 64 2(4 −12) 64 2(4 −12)
= 1+ 2 =( 1+ 2) −2 1 2 = 2 2− 2 = 4 − 2 =
， (4 +3) 4 +3 4 2
2 2
4(4 +3)−4
2 =4
3，
2 2 2 2
2 2 1 2 1+ 2
= 1+ 2 =3(1− )+3(1− )=3(2− )=
4 4 4
第20页（共21页）所以N（4，3），|ON|＝5，
所以|MN|的取值范围为 ， ．
[5− 2 5+ 2]
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