文档内容
六年级数学·下 新课标[人]
第 5 单元 数学广角——鸽巢问题
本单元教材向学生渗透一些重要的数学思想方法,通过几个直观例子,借助实际操作,向
学生介绍“鸽巢问题”,使学生在理解“鸽巢问题”的基础上,对一些简单的实际问题加以
“模型化”,在探索过程中进一步积累基本生活经验。 “鸽巢问题”是与“存在性”有关
的问题,只需要确定某个物体(或某个人)的存在就可以了,并不需要指出是哪个物体(或人)。
这类问题依据的理论我们称之为“抽屉原理”或“鸽巢原理”。通过本单元学习,使学生会
用“鸽巢原理”解决问题,培养学生的逻辑思维能力,为以后学习较严密的数学证明做准备。
“鸽巢问题”的理论本身并不复杂,但“鸽巢原理”的应用却是千变万化的,用它可以解决
许多有趣的问题,教学时,要引导学生先判断某个问题是否属于“鸽巢原理”可以解决的范
畴,能不能将这个问题同“鸽巢原理”结合起来,有意识地让学生理解“鸽巢原理”的“一
般化模型”。因此,“鸽巢原理”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。
教材的设计在于借助各种直观演示,动手动脑操作,讲练结合,让学生在实践活动中学会
数学方法,还要注意培养学生的“模型”思想,这个过程是将具体问题“数学化”的过程,能
从纷繁的现实素材中找出最本质的数学模型,是体现和发展学生数学思维和能力的重要方面。
六年级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到能够掌握本章内容的程度。教材选取
的是学生熟悉的,易于理解的生活实例,将具体实例与数学原理结合起来,有助于提高学生解
决实际问题的能力。
1.引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动,经历探究“抽屉原理”的过程,初步
了解“抽屉原理”的含义,会用“抽屉原理”解决实际问题。
2.学会与人合作,并能与人交流。“抽屉原理”的探究过程就是一种数学证明的雏形,有助于提高学生的逻辑思维能力,
为以后学习较严密的数学证明做准备。还要注意培养学生的“模型”思想,这个过程是将具
体问题“数学化”的过程,能从纷繁的现实素材中找出最本质的数学模型,是体现和发展学
生数学思维和能力的重要方面。
结合具体的实际问题以及观察、猜测、实验、推理、分析、归纳等数学活动,让学生通
过独立思考与合作交流等活动提高解决实际问题的能力。
在主动参与数学活动的过程中,让学生切实体会到探索的乐趣,以及数学与生活的紧密
结合。
【重点】
认识“鸽巢原理”,能够运用“鸽巢原理”解决实际问题。
【难点】
理解“鸽巢原理”,找出“鸽巢问题”解决的窍门,并进行反复推理。
1.应让学生初步经历“数学证明”的过程
在小学阶段,虽然并不需要学生对涉及的“抽屉原理”的相关现象给出严格的、形式化
的证明,但仍可引导学生用直观的方式进行“就事论事”式的解释。教学时可以鼓励学生借
助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”。通过这样的方式,有助于逐步提高学生的
逻辑思维能力,为以后学习较严密的数学证明做准备。
2. 应有意识地培养学生的“模型”思想
“抽屉问题”的变式很多,应用更具灵活性。但能否将这个具体问题和“抽屉问题”联
系起来,能否找到问题中的具体情境和“抽屉问题”的“一般化模型”之间的内在关系是能
否解决该问题的关键。教学时,要引导学生先判断某个问题是否属于用“抽屉原理”可以解
决的范畴,如果可以,再思考如何寻找隐藏在其背后的“抽屉问题”的一般模型。
3.要适当把握教学要求“抽屉原理”的应用广泛且灵活多变,因此,用“抽屉原理”来解决实际问题时,有时要
找到实际问题与“抽屉问题”之间的联系并不容易。因此,教学时,不必过于追求学生“说
理”的严密性,只要能结合具体问题把大致意思说出来就可以了,更要允许学生借助实物操
作等直观方式进行猜测、验证。
1 鸽巢问题
本节课学习“抽屉原理”,使学生在理解“抽屉原理”这一数学方法的基础上,对一些
简单的实际问题加以“模型化”,会用“抽屉原理”加以解决。
教学中注意利用教材中的情境教学,组织学生自主探索,手脑并用,了解数学知识的严谨
性及可操作性,培养学生在实践中探求知识的能力。
了解“鸽巢问题”的特点,理解“鸽巢原理”的含义。使学生学会用此原理解决简单的
实际问题。激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅力。
【重点】
引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。【难点】
找出“鸽巢问题”解决的窍门并进行推理。
【教师准备】 PPT课件。
1.给甲、乙2个人发4本相同的书有几种可能出现的情况?
学生完成后,教师接着问,如果要做到公平,用什么方法分?怎样分?请你表示出来。
预设 生1:4÷2=2(本)
生2: 把4本书平均分给两人,每人分得两本书。
【参考答案】 甲分4本,乙分0本;甲分3本,乙分1本;甲分2本,乙分2本;甲分1本,
乙分3本;甲分0本,乙分4本。
方法一
师: (出示一副扑克牌)今天老师要给大家表演一个“魔术”。一副牌,取出大王和小王,
还剩下52张牌,下面请5位同学上来,每人随意抽一张,不管怎么抽,至少有2张牌是同花色
的。同学们相信吗?
预设 生1:不相信。
生2:我们可以亲自动手试一试。
(5位同学上台,抽牌,亮牌,统计)
师:这类问题在数学上称为鸽巢问题(板书)。因为52张扑克牌数量较大,所以为了方便
研究,我们先来研究几个数量较小的同类问题。
[设计意图] 以 “魔术”导入,设置悬念,激发学生学习的兴趣和求知欲望,从而提出
需要研究的数学问题。
方法二
PPT课件出示教材第68页数学游戏。
师:同学们,你们玩过扑克牌吗?
预设 生:玩过。师:下面我们用扑克牌来玩个游戏。大家知道一副扑克牌有54张,如果去掉两张王牌,
就是52张,对吗?
预设 生:对。
师:如果从这52张牌中任意抽出5张,我敢肯定地说:这5张扑克牌中至少有2张是同一
种花色的,你们信吗?
预设 生1:相信。
生2:不相信。
师:其实这里面蕴藏着一个非常有趣的数学道理,想不想研究啊?
预设 生:想。
揭示课题:这节课我们就来解决这个数学问题。(板书课题)
[设计意图] 由生活实际导入新课,学生易于接受,亲切自然。引导学生主动发现知识,
提高学生的注意力。激发学生主动探求知识的意愿,使学生积极主动地进入本节课的学习。
一、教学例1,学会简单的“鸽巢原理”的分析方法。
1.操作并发现规律。(PPT课件出示下图)
把4支铅笔放进3个笔筒里,总有一个笔筒里至少放2支铅笔,为什么?
师:把4支铅笔放到3个笔筒里,有哪些方法?请同桌二人为一组动手试一试。谁来说一
说结果?
预设 生1:一个放4支,另两个不放。
生2:两个放2支,另一个不放。
生3:一个放3支,一个放1支,一个不放。
生4:一个放2支,两个放一支。
(教师根据学生回答在黑板上画图表示几种结果)师:“不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2支铅笔”,这句话说得对吗?
预设 生:对。
2.理解关键词的含义。
师:这句话里“总有”是什么意思?
预设 生:一定有。
师:这句话里“至少有2支”是什么意思?
预设 生1:最少有2支,不少于2支。
生2:可能比2支多,也可能与2支相等。
3.探究证明。
师:把4支铅笔放到3个笔筒试一试。
(1)枚举法。
师:谁来说一说结果?
预设 生:通过摆放铅笔,发现四支铅笔分配到3个笔筒共有四种情况。
预设 生1:(4,0,0)。
生2:(3,1,0)。
生3:(2,2,0)。
生4:(2,1,1)。
师:谁还想到其他方法了?
预设 生:没有了。
师:一共有4种情况,在每种情况中,都一定有一个笔筒中至少有2支铅笔。
(2)数的分解法。
预设 生:把4分解成3个数,使这3个数的和等于4。
师:从分解的四种情况中,你发现了什么?
预设 生:四种情况,每种情况的三个数中,至少有一个数是大于或等于2的。(3)假设法。
师:前面我们是通过动手操作得出这一结论的,想一想,能不能找到一种更为直接的方法
得到这个结论呢?小组讨论一下。
预设 生1:如果每个盒子里放1支铅笔,最多放3支,剩下的1支不管放进哪一个盒子里,
总有一个盒子里至少有2支铅笔。
生2:首先通过平均分,余下1支,不管放在哪个盒子里,一定会出现“总有一个盒子里至
少有2支铅笔”。这就是平均分的方法。
师:通过以上几种方法,都可以发现:把4支铅笔放进3个笔筒中,无论怎么放,总有1个
笔筒里至少放进2支铅笔。
4.认识鸽巢问题(一)。
师:把5支铅笔放到4个铅笔盒里呢?把6支铅笔放到5个铅笔盒里呢?把7支铅笔放到6
个铅笔盒里呢……你发现了什么?
预设 生:只要铅笔数比铅笔盒数多1,总有一个铅笔盒里至少有2支铅笔。
师:上面各个问题,我们都采用了什么方法?
预设 生:尽可能平均分物体的方法。
师:像上面的问题就是“鸽巢问题”,也叫“抽屉问题”。
(1)在这里,4支铅笔是要分放的物体,就相当于4只“鸽子”,“3个笔筒”就相当于3
个“鸽巢”或“抽屉”,把此问题用“鸽巢问题”的语言描述就是把4只鸽子放进3个笼子,
总有1个笼子里至少有2只鸽子。
(2)这里的“总有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思;在所有方法中,放的鸽子最
多的那个“笼子”里鸽子“最少”的只数即为“至少”数。
小结:只要放的铅笔数比笔筒的数量多,就总有1个笔筒里至少放2支铅笔。
归纳总结:
抽屉(鸽巢)原理(一):如果把m个物体任意放进n个抽屉(鸽巢)里(m>n,且m和n是非零
自然数),那么一定有一个抽屉(鸽巢)里至少放进了2个物体。
师:现在我们回过头来揭示本节课开头的魔术的结果,你能来说一说这个魔术的道理吗?预设 生1:如果4人选中了4种不同的花色,剩下的1人不管选哪种花色,总会和其他4
人里的一人相同。
生2:总有一种花色至少有2人选。
[设计意图] 一步一步引导学生合作交流、自主探索,让学生亲身经历问题解决的全过
程,增强学习的积极性和主动性。回到本节课开头提出的问题,揭示悬念,满足学生的好奇心,
让学生认识到数学的应用价值.
二、探究学习例2,建立“抽屉问题”模型。
1. 探究方法。(PPT课件出示例2)
师:把7本书放进3个抽屉,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本书。为什么?
(先小组讨论,再汇报)
(1)数的分解法。
预设 生1:把7分解成3个数的和。把7本书放进3个抽屉里,共有8种情况。
生2:每种情况分得的3个数中,至少有1个数不小于3,也就是每种分法中最大的那个数
最小是3,即总有1个抽屉至少放进3本书。
(2)假设法。
生3:把7本书平均分成3份,
7÷3=2……1,(板书)
若每个抽屉放2本,则还剩1本。如果把剩下的这1本书放进任意1个抽屉中,那么这个
抽屉里就有3本书。
师:通过以上两种方法都可以发现:7本书放进3个抽屉中,不管怎么放,总有1个抽屉里
至少放进3本书。
2.拓展迁移。
师:如果把8本书放进3个抽屉,会出现怎样的结论呢?10本呢?11本呢?16本呢?
预设 生1:8÷3=2……2 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本。(板书)
生2:10÷3=3……1 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本。(板书)
生3:11÷3=3……2 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本。(板书)生4:16÷3=5……1 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进6本。(板书)
师:观察上述算式和结论,你发现了什么?
预设 生1:物体数÷抽屉数=商……余数。
生2:至少数=商+1。(板书)
3.建立“鸽巢问题”模型。
归纳总结:抽屉(鸽巢)原理(二):把多于kn个的物体任意分别放进n个空抽屉(鸽巢)(k
是正整数,n是非0的自然数),那么一定有一个抽屉(鸽巢)中至少放进了(k+1)个物体。
[设计意图] 引导学生合作交流、自主探索,建立“鸽巢问题”模型,增强学生学习的
积极性和主动性。
1.教材第68页“做一做”第1题。
2.你理解前面扑克牌魔术的道理了吗?
3.教材第69页“做一做”第1题。
4.教材第69页“做一做”第2题。
【参考答案】 1.(教材做一做)1.每个鸽笼各飞进一只鸽子,剩下的两只无论飞进哪个
鸽笼,都使那个鸽笼中至少有两只鸽子。 2.理解了。 3.(教材做一做)1.若每个鸽笼各飞
进2只鸽子,则余下3只鸽子,无论它们飞进哪个鸽笼,都使该鸽笼中至少有3只鸽子。 4.
(教材做一做)2.每把椅子先坐一个人,剩下的一个人无论坐在哪把椅子上,都会使该椅子上
至少坐两人。
师:通过这节课的学习,你有什么收获?
预设 生1:我学会了简单的鸽巢问题。
生2:生活中处处都有数学。
生3:我知道怎样解决鸽巢问题。
生4:转化时要弄清“鸽巢”和所分放的物体及它们的个数。
师:这节课我们了解了什么是鸽巢问题,建立了鸽巢问题模型,学会了怎样解决鸽巢问题。
在实际生活中随处可见,处处都有数学问题在等待着我们去发现。
作业1教材第71页练习十三第1题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填空题。
(1)有15只鸽子飞进2个鸽舍,总有一个鸽舍至少有( )只鸽子。
(2)随意找14个学生,他们中至少有( )人属相相同。
【提升培优】
2.(易错题)判断题。
(1)把21张卡片分给4名同学,至少有一名同学分到6张。 ( )
(2)3个连续自然数分别被2除后,3个余数相同。 ( )
【思维创新】
3.(难点题)把25个玻璃球最多放进( )个盒子里,才能保证总有一个盒子里至少有5个
玻璃球。
A.8 B.7 C.6
【参考答案】
作业1:1.13÷12=1……1,1+1=2,所以至少有2个人的属相相同。
作业2:1.(1)8 (2)2 2.(1)√ (2)✕ 3.C
鸽巢问题
7÷3=2……1 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本;
8÷3=2……2 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本;
10÷3=3……1 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本;
11÷3=3……2 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本;
16÷3=5……1 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进6本。
小结:物体数÷抽屉数=商……余数 至少数=商+1
1.只有学生主动参与到学习活动中,才是有效的教学。在教学过程中,充分利用学具操
作,如把4支笔放入3个笔筒中等,都是让学生自己操作,这为学生提供了主动参与的机会,
让学生想一想、圈一圈,把抽象的数学知识同具体的实物结合起来,化难为易,化抽象为具体,
让学生体验和感悟数学。通过直观例子,借助实际操作,引导学生探究“鸽巢问题”,初步经历“数学证明”的过
程,并有意识地培养学生的“模型思想”。为学生营造宽松自由的学习氛围和学习空间,能
让学生自己动脑解决一些实际问题,从而更好地理解鸽巢问题。在教学过程中能够及时地去
发现并认可学生思维中的闪光点。
2.及时引入本节课的重点“总有……至少……”。这样设计使学生在生动、活泼的数
学活动中主动参与、主动实践、主动思考、主动探索、主动创造,使学生的数学知识、数学
能力、数学思想、数学情感得到充分的发展,从而达到动智与动情的完美结合,全面提高学
生的整体素质。
不足之处在于教学过程中所设置的问题应具有针对性,应更多地关注学生的思维活动,
及时给予认可和指导,使教学能够面向全体学生。
再教这个内容时,教师有必要设计有针对性的问题,要多给学生思维的空间,放手把课堂
交给学生,要在适当时机进行阶段性总结,有助于学生的知识系统的形成。
【做一做·68页】
1.每个鸽笼各飞进1只鸽子,剩下的2只鸽子无论飞进哪个鸽笼,都使那个鸽笼中至少有2
只鸽子。
【做一做·69页】
1.若每个鸽笼各飞进2只鸽子,则余下3只鸽子,无论它们飞进哪个鸽笼,都使该鸽笼中至少
有3只鸽子。 2.每把椅子先坐1个人,剩下的1个人无论坐到哪把椅子上,都会使该椅子
上至少坐2人。
数学家路易·波沙的故事
“已知(n+1)个正整数,它们全都小于或等于2n,证明当中一定有两个数是互质的。”这道问题由匈牙利大数学家厄杜斯向当年年仅11岁的波沙提出,而小波沙思考了不足
半分钟便能给出正确的答案,而他的解答又是那么巧妙和精彩,令厄杜斯赞叹不已。
在列出波沙的解答前,可先自己想一想解决方法,之后便能更深刻体会小波沙的解答的
奥妙之处。
波沙的解法是这样的:
假设有n个盒子,在第1个盒子中放1和2、在第2个盒子中放3和4、在第3个盒子中
放5和6、…、在第n个盒子中放2n- 1和2n。
若从这n个盒子中随意抽出(n+1)个数,其中最少有一个盒子中的两个数均会被抽出。
由此,可知这(n+1)个数中必定有一对连续数,明显地,连续数是互质的。
这道问题便这样轻易解决了!
用比较浅显的说法来阐明上述的问题,可以这样说:
对于一个高6层,而每层有4个间隔的鸽巢,它共有6×4=24个鸽巢。现把25只鸽子放
进鸽巢,必定可以看到其中一个鸽巢会有2只鸽子挤在一起!
文海探知
抽屉原理虽然简单,但在数学中有广泛而深刻的运用。十九世纪德国数学家狄里克雷
(1805~1859)首先利用抽屉原理建立有理数理论,以后逐渐应用到数论、集合论、组合论等
数学分支中,所以现在抽屉原理也称狄里克雷原理。
在我国古代文献中,有不少成功地运用抽屉原理来分析问题的例子。例如宋代费衮的
《梁溪漫志》,就曾运用抽屉原理来批驳“算命”一类迷信活动的谬论。清代阮葵生的《茶
余客话》、陈其元的《庸闲斋笔记》中都有类似的文字。然而,令人不无遗憾的是,我国古
代学者虽然很早就会利用抽屉原理来分析具体问题,但是古代文献中并未发现关于抽屉原理
概括性的文字,没人将它抽象为一条普遍性原理。最后还不得不将这一原理冠以数百年后西
方学者狄里克雷的名字。
2 “鸽巢问题”的应用“鸽巢原理”的变式很多,在生活中运用广泛,学生在生活中常常遇到此类问题。教学
时,要引导学生先判断某个问题是否属于“鸽巢原理”可以解决的范畴。能不能将这个问题
同“鸽巢原理”结合起来是本次教学能否成功的关键。所以在教学中,应有意识地让学生理
解“鸽巢原理”的“一般化模型”。六年级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到
能够掌握本章内容的程度。教材选取的是学生熟悉的,易于理解的生活实例,将具体实例与
数学原理结合起来,有助于提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
1.在了解简单的“鸽巢原理”的基础上,使学生学会用此原理解决简单的实际问题。
2.经历探究“鸽巢原理”的学习过程,体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法,
渗透数形结合的思想。
3.通过用“鸽巢原理”解决简单的实际问题,激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的
魅力。
【重点】
引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。
【难点】
找出“鸽巢问题”中的“鸽巢”是什么,“鸽巢”有几个,再利用“鸽巢原理”进行反
向推理。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 操作学具。
1.复习“鸽巢问题”解决模型。
师:我们上节课学习了鸽巢问题,你能说说鸽巢问题解决模型是怎样的吗?
预设 生:物体数÷抽屉数=商……余数
至少数=商+1方法一
师:同学们,谁能说一说你的生日是在哪一天?
预设 生1:3月27日。
生2:5月8日。
生3:4月5日。
师:任意13人中至少有两人在同一月生日,你们相信吗?
预设 生1:不相信。
生2:不可能。
生3:相信。
师:下面我们一起来验证一下。
一年有十二个月,12位同学假如每月都有1人出生,那么剩下一人就和其中1人同月出
生。
揭示课题:这节课我们继续来研究、来学习鸽巢问题。(板书课题)
[设计意图] 由询问同学的生日导入新课,学生易于接受,亲切自然。引导学生主动发
现知识,提高学生的注意力。激发学生主动探求知识的意愿,使学生积极主动地进入本节课
的学习。
方法二
师:盒子里有同样大小的红球和蓝球4个,要想摸出的球一定有2个同色的,至少要摸出
几个球?
预设 生1:摸出5个。
生2:摸出2个。
生3:摸出3个。
师:今天我们一起来研究这个问题吧。
引出课题。(板书课题:鸽巢问题的应用)
[设计意图] 以本课要探讨的问题直接导入,激发学生强烈的兴趣,使学生主体意识得
到调动,主动参与教学,引发主动探求知识的欲望。
方法三
师:今天老师和同学们一起继续学习用抽屉原理解决实际问题。(PPT课件出示)
[设计意图] 直接语言导入,开门见山,直入主题,更快地进入新知识的学习。一、教学例3,合作交流,探究新知。
1.(PPT课件出示下图)提出猜想。
师:盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个,要想摸出的球一定有2个同色的,至少要摸
出几个球?
预设 生1:猜测1:只摸2个球就能保证这2个球同色。
生2:猜测2:摸出5个球肯定有两个球是同色的。
生3:猜测3:摸出3个球,至少有2个球是同色的。
2.验证猜测。
师:谁能举例验证猜测是否正确?
(1)验证猜测1:
预设 生1:两个红球满足条件。
生2:两个蓝球满足条件。
生3:1红1蓝不满足条件。
师:举反例推翻验证,如这两个球正好是一红一蓝,不满足条件。(板书验证1)
结论:只摸2个球不能保证是同色的。
(2)验证猜测2:
a.枚举法。
师:如果摸出5个球,有几种情况?b.假设法。
预设 生:把红蓝两种颜色看成两个抽屉,因为5÷2=2……1,所以摸出5个球时,至少有3
个球是同色的。
师:把红蓝两种颜色看成2个鸽巢,因为5÷2=2……1,所以摸出5个球时,至少有3个球
是同色的,因此摸出5个球没必要。(板书验证2)
小结:摸出5个球能保证有2个球是同色的,但不是最少的。
(3)验证猜测3:
师:你能验证猜测3吗?
预设 生:把红蓝两种颜色看成2个鸽巢,因为3÷2=1……1,所以摸出3个球时,至少有2
个是同色的。(板书验证3)
师:综上所述,摸出3个球,至少有2个球是同色的。(板书)
二、“抽屉原理”的应用。
把此问题转化成抽屉问题。
a.转化方式:把红蓝两种颜色看成两个抽屉,同色就意味着是同一抽屉,把摸出的球看成
被分物,这样把摸球问题转化成抽屉问题。
b.解答:根据抽屉原理,假设最少摸出m个球,则有m÷2=1……n,当n=1时,m是最小的,
此时m=3,即至少要摸出3个球,才能保证有2个球是同色的。
归纳总结:要保证摸出2个同色球,至少摸出球的数量要比颜色种数多1。
[设计意图] 经历探究“鸽巢原理”的学习过程,体验观察、猜测、实验、推理等活动
的学习方法,渗透数形结合的思想。
1.教材第70页“做一做”第1题。
2.教材第70页“做一做”第2题。【参考答案】 1.他们的说法都正确,六年级共有367名学生,而一年有365(或366)天,
如果每天有一名学生过生日,则余下的2(或1)人无论哪天过生日,都使这天过生日的人数至
少有2人。六(2)班有49名学生,49÷12=4……1,假定每4名学生在同一个月出生,则余下
的1人无论在哪个月出生,都使这个月出生的人数至少有5人。 2.5个。
师:通过这节课的学习,你有什么收获?
预设 生1:我知道把实际问题转化成“鸽巢问题”,弄清“鸽巢”和要被分放的“鸽
子”。
生2:生活中处处都有数学。
生3:我学会了根据“鸽巢原理”推理并解决问题。
作业1
教材第71页练习十三第2题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填空题。
(1)有21只鸽子飞进2个鸽舍,总有一个鸽舍至少有( )只鸽子。
(2)木箱里装有红色球3个,黄色球5个,蓝色球7个,若蒙眼去摸,为保证取出球中有2个球
颜色相同,至少要取出( )个球。
2.(易错题)判断题。
(1)有黑、白、黄三种颜色的袜子各8只,混杂在一起。黑暗中想从这些袜子中取出颜色不
同的两双袜子,至少要取11只才能保证达到要求。 ( )
(2)有4种花色的扑克牌各13张,要取出两张花色相同的扑克牌,至少要取5张。 (
)
3.(难点题)选择题。
(1)一副扑克牌有54张,至少抽( )张才能保证其中最少有一张是“A”。
A.5 B.14 C.51
(2)袋子中有大小、质地均相同的4种颜色的小球各若干,每次摸2个,要保证有10次所摸
的结果是一样的,至少要摸( )次。
A.89 B.90 C.91【提升培优】
4.(探究题)一个口袋中有50个编有号码的大小相同的小球,其中编号为1,2,3,4,5的各10
个。
(1)至少摸出多少个才能保证其中至少有2个号码相同的小球?
(2)至少要摸出多少个才能保证其中至少有三个号码相同的小球?
(3)至少要摸出多少个才能保证有5个不同号码的小球?
【思维创新】
5.(竞赛题)某校开办了数学、英语、美术、书法四个兴趣小组,每个学生都参加两个。至少
在多少个学生中,才能保证有两个学生参加兴趣小组的情况完全相同?
【参考答案】
作业1:2.假设5镖中有4镖成绩都低于9环,最高环是8环,那么第5镖至少为9环,才能使
总成绩是41环。或41÷5=8……1,所以张叔叔至少有一镖不低于8+1=9(环)。
作业2:1.(1)11 (2)4 2.(1)√ (2)√ 3.(1)C(2)C 4.(1)6个 (2)11个
(3)4×10+1=41(个) 5.7个
“鸽巢问题”的应用
验证1:举反例推翻验证,如这两个球正好是一红一蓝,不满足条件。
验证2:把红蓝两种颜色看成2个鸽巢,因为5÷2=2……1,所以摸出5个球时,至少有3个
球是同色的,因此摸出5个球没必要。
验证3:把红蓝两种颜色看成2个鸽巢,因为3÷2=1……1,所以摸出3个球时,至少有2个
是同色的。
综上所述,摸出3个球,至少有2个球是同色的。
课前谈话由了解学生的生日谈起,很自然地将学生带入了“抽屉原理”的学习。大部分
学生用假设法验证鸽巢问题,但自己却不知道这是验证的方法;只有少数学生尝试用枚举法
分情况验证,但也不知道要验证什么。假设法的实质是用极端法做最坏的打算,也就是考虑
最不利的情况。所以在课前谈话,验证“任意13个人中,至少有两个人的生日在同一个月”
时,我采用了一个一个询问的方式,让学生体会“最不利”,为后面理解“平均分”是一种
“最不利”情况做一个铺垫。在理解了假设法验证后,后面的推理和总结规律也就是顺理成
章、水到渠成的了。在学生得出结论后,让学生闭上眼睛在脑子里分一分,是渗透给学生一种思考的方式。练习设计由直接运用原理的鸽巢问题到解决实际生活中的生日问题,让学生
逐步体会到“抽屉原理”的应用价值, 进而激发学生的研究兴趣。
本堂课教师对学生的情况考虑较少,当学生发言较少时,教师能及时进行调整,个别知识
点没有调动起学生自主学习的积极性,由此也暴露出教师对课堂的调控,对学生积极性的调
动的能力有待进一步的提高。
再教这个内容时,教师有必要收放,但是要多给学生思维的空间,放手把课堂交给学生,
当学生发言较少时及时调整,激发学生学习的积极性,使学生乐于主动参与到学习活动中来。
【做一做·70页】
1.他们的说法是正确的。六年级共有367名学生,而一年有365天(或366天),如果每天有
一名学生过生日,则余下的2人(或1人)无论哪天过生日,都使该天过生日的人数至少有2
人。六(2)班有49名学生,而49÷12=4……1,假定每4名学生在同一个月出生,则余下的1
人无论在哪个月出生,都使该月出生的人数至少有5人。 2.5个
【练习十三·71页】
1.13÷12=1……1,1+1=2,所以至少有2个人的属相相同。 2.假设5镖中有4镖的成绩都
低于9环,最高环是8环,那么第5镖至少为9环时,才能使总成绩是41环。 3.假定6个面
中有2个面涂蓝色,2个面涂黄色,那么余下的2个面无论涂哪种颜色,都至少有3个面涂的
颜色相同。 4.4根 6根 5.三个不同自然数有四种情况:①3个奇数;②2个奇数,1个偶
数;③1个奇数,2个偶数;④3个偶数。每种情况至少2个奇数或2个偶数,所以一定有2个
数的和是偶数。 6.每列有3行,至少有2行同色,这样红色有4种,蓝色有4种,共8种情况。
9÷8=1……1,余下的一列无论怎样涂,必定与前面的一种相同。只涂2行,共有4种情
况,9÷4=2……1,至少有三列的涂法相同。盒子里有同样大小的红球和绿球各5个,要想摸出的球一定有两个是同色的,最
少要摸出几个球?
[名师点拨] 盒子里有两种颜色的球,如果任意摸出两个,不一定是同一颜色的,而任意
摸出3个,一定能有两个球是同一颜色的。
[解答] 最少要摸出3个球。
【知识拓展】 盒子中有n种不同颜色的球各若干,至少摸出(n+1)个球,一定能有两个
同一颜色的球。
抽屉原理
日常生活中,人们只要稍加留意,就不难发现某些带有规律性的事物.比如,将10个苹果
放进9个抽屉,那么肯定有一个抽屉里放进了两个或更多的苹果.这是大家都能理解的一个
简单道理,该道理即被称为抽屉原理或鸽笼原理(以鸽子比作苹果,以笼子比作抽屉).抽屉原
理的一般形式为:将(n+1)个苹果放进n个抽屉里,则至少有一个抽屉里放进了两个或两个以
上的苹果. 千万别小看这个既平常又简单的原理,许多有趣的抽屉原理,许多有趣的问题,都
可以用抽屉原理来解决.比如,任意13个人中,必然有2个人是在同一个月份出生的.只需要
将13个人看成苹果,12个月份看成抽屉,于是由抽屉原理就得到了结论.再比如,在边长为1
√2
的正方形内,任意给定5个点,则其中必有2个点,它们之间的距离不大于 (以后会学)。
2
1
证明这个问题只需要将正方形分为面积相等的4个小正方形,则4个小正方形的边长都是 ,
2
1
每个小正方形内任意两点之间的距离均不会大于大正方形的对角线长的 。将5个点看成
2
苹果,4个小正方形看成抽屉,由抽屉原理,必然有一个小正方形中有2个点,于是这两个点
√2
之间的距离不大于 。
2
第5单元阶段测评
(时间:60分钟 满分:100分)
一、填一填(20分)
1.9只鸽子飞回8个鸽舍,至少有( )只鸽子要飞进同一个鸽舍里。2.盒子里有同样大小的红球、黄球各3个,要想摸出的球一定有2个是同色的,最少要摸出(
)个球。
3.17名中年妇女在广场上跳广场舞,她们中至少有( )名妇女是同一个月出生的。
4.盒子里有红、黑、黄、蓝四种颜色的球各5个,要想摸出的球一定有2个是同色的,最少
要摸出( )个球。要想摸出的球一定有2个是不同色的,最少要摸出( )个球。
二、选一选(20分)
1.2014年某地一年新生婴儿有370名,他们中至少有( )是同一天出生的。
A.2名 B.3名
C.4名 D.10名以上
2.10个孩子分进4个班,则至少有一个班分到的学生人数不少于( )个。
A.1 B.2 C.3 D.4
3.7只兔子要装进6个笼子,至少有( )只兔子要装进同一个笼子里。
A.3 B.2 C.4 D.5
4.张阿姨给孩子各买一件衣服,有红、黄、白三种颜色,但结果总是至少有两个孩子衣服的
颜色一样,她至少有( )个孩子。
A.2 B.3 C.4 D.6
5.一个盒子里装有黄、白乒乓球各5个,要想使取出的乒乓球中一定有两个黄乒乓球,则至
少应取出( )个。
A.4 B.5 C.6 D.7
三、聪明的小法官(对的打“√”,错的打“✕”)(20分)
1.5只小鸡装入4个笼子,至少有一个笼子放小鸡3只。 ( )
2.一个鱼缸里有3种不同品种的鱼各若干条,至少捞出7条鱼,才能保证其中有2条相同品
种的鱼。 ( )
3.把7本书分别放进3个抽屉里,至少有一个抽屉放4本。 ( )
4.六(2)班有学生40人,至少有4人是同一月出生的。 ( )
5.10个保温瓶中有3个是次品,要保证取出的瓶中至少有一个是次品,则至少应取出4个。
( )
四、解决问题(40分)
1.从一副扑克牌中取出两张王牌,在剩下的52张中任意抽出9张,那么至少有3张是同花色
的。
(1)你认为这个说法对吗?(2)你的理由是什么?
2.有红、黄、蓝、绿、白五种颜色的球各5个,至少取多少个球,可以保证有两个颜色相同
的球?
3.7个人住进5个房间,至少要有2个人住同一间房。为什么?
4.一个盒子里装有黑、白两种颜色的跳棋各10枚,从中最少摸出几枚才能保证有2枚颜色
相同?从中至少摸出几枚,才能保证有3枚颜色相同?
★附加题
小王、小张和小李在一起,一位是工人,一位是农民,一位是战士,现在知道:(1)小李比战士
年龄大;(2)小王和农民不同岁;(3)农民比小张年龄小。
请问:他们中谁是工人,谁是农民,谁是战士?
【参考答案】
一、1.2 2.3 3.2 4.5 6
二、1.A 2.C 3.B 4.C 5.D
三、1.✕ 2.✕ 3.✕ 4.√ 5.✕
四、1.(1)这个说法是对的。 (2)理由如下:52张牌中,有4种花色,每种花色13张,把这四
种花色看做四个抽屉,9÷4=2……1,即每个抽屉都放入2张,还剩下1张,这1张无论放到哪
个抽屉,都会出现有一个抽屉有3张牌的情况。故在剩下的52张中任意抽出9张,那么至少
有3张是同花色的。2.至少取出6个球,可以保证有两个颜色相同的球。
3.7÷5=1(人)……2(人),1+1=2(人)。所以至少有2人住同一间房。
4.2+1=3(枚),2×2+1=5(枚)。答:从中至少摸出3枚,才能保证有2枚颜色相同,从中至少摸
出5枚,才能保证有3枚颜色相同。
附加题 小张是工人,小王是战士,小李是农民
