延庆区2022—2023学年第二学期质量检测-高三数学--试卷终稿_数学_北京市延庆区2023届高三一模数学试卷（含解析）_终稿1

延庆区 2022—2023 学年第二学期质量检测
高三数学
2023.03
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷
上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。
第一部分
（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题 4分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，
选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合
高三年级（数学）第1页（共6页）
A  { 0 , 1 } ， B  {  1 , 0 , a  3 } ，且 A  B ，则 a 等于
（A） 1 （B） 0 （C）  1 （D）  2
（2）已知 f ( x )  1  C 14 x  C 24 x 2  C 34 x 3  C 44 x 4 ，则 f ( 2 ) 等于
（A） 1 6 （B） 8 0 （C） 8 1 （D）243
（3）若直线xy10与圆x2  y2 2x1a0相切，则a等于
（A） 2 （B） 1 （C） 2 （D）4
（4）若 m  R ，则“ m  1 ”是“复数 z  m 2 ( 1  i )  m ( i  1 ) 是纯虚数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
1 1 1  1
（5）设alog ，blog ，c( ) 5 ，则a，b，c的大小关系是
2 5 35 5
（A） c  b  a （B） c  a  b （C） b  a  c （D） a  b  c
（6） O 为坐标原点，点A，B的坐标分别为(2,1)，(1,3)，则 t a n  A O B 等于
5 5
（A）1 （B）1 （C） （D）
5 5（7）ISO216是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定义了
高三年级（数学）第2页（共6页）
A , B 系列
的纸张尺寸. 设型号为A (i 0,1,2,3,4,5,6)的纸张面积分别是
i
a
i
( i  0 , 1 , 2 , 3 , 4 ,
5,6)，它们组成一个公比为
1
2
的等比数列，设型号为 B
i
( i  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) 的纸张的
面积分别是 b
i
( i  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) ，已知 b 2i  a
i 1
a
i
( i  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) ，则
a
b
4
5
的值为
（A）
1
2
（B）
2
2
（C） 2 （D） 2
（8）将 f ( x )

的图象向左平移 个单位，所得图象与
2
y  s i n 2 x 的图象关于 y 轴对称，
则 f ( x ) 
（A）  s i n 2 x （B） s i n 2 x （C）  c o s 2 x （D） c o s 2 x
（9） △ A B C 的外接圆半径为1，圆心为 O ，且2OA AB AC 0， | O A |  | A B | ，
则 C A  C B 等于
（A）
3
2
（B） 3 （C） 3 （D） 2 3
（10）数列 { a
n
} 中， a
n
 l o g
n  1
( n  2 ) ( n  N  ) ，定义：使 a
1
 a
2
  a
k
为整数的数
k ( k  N  ) 叫做期盼数，则区间 [1 , 2 0 2 3 ] 内的所有期盼数的和等于
（A）2023 （B）2024 （C）2025 （D）2026
第二部分
（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题 5分，共 25分。
（11）已知函数 y  a x  1 的定义域为 A ，且  3  A ，则 a 的取值范围是 ．
（12）若双曲线kx2  y2 1的焦距是6，则实数k ____________．（13）如图，某地一天从
高三年级（数学）第3页（共6页）
6 时至 1 4 时的温度变化曲
线近似满足函数y Asin(x)b，其中
A  0 ，且函数在 x  6 与 x  1 4 时分别取得
最小值和最大值. 这段时间的最大温差为 ；
的一个取值为 .
（14）曲线x2 2x| y|2y2 10的一条对称轴是 ；y 的取值范围是 .
（15）四面体 O A B C 的三条棱 O A , O B , O C 两两垂直， O A  O B  2 ，OC 4， D 为
四面体 O A B C 外一点，给出下列命题：
① 不存在点 D ，使四面体 A B C D 三个面是直角三角形；
② 存在点 D ，使四面体ABCD是正三棱锥；
③ 存在无数个点 D ，使点 O 在四面体 A B C D 的外接球面上；
④ 存在点 D ，使 C D 与AB垂直且相等，且 B D  5 .
其中真命题的序号是 .
三、解答题共6小题，共 85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）
如图，四棱锥PABCD中，底面 A B C D 是梯形， A D / / B C ，AD面 P A B ，
△ P A B 是等腰三角形，PAPB，ABBC 2AD2， E 是 A B 的中点.
（Ⅰ）求证： P E  C D ；
（Ⅱ）设 P A 与CD所成的角为，直线PD与平面
1
ABCD所成的角为 ，二面角
2
P  B C  A 为 ，
3
从以下所给的三个条件中选出其中一个作为已知
条件，求四棱锥 P  A B C D
30
20
10
O 6 8 10 12 14 时
（13题图）
的体积.
2 6 5 （16题图）
① cos  ； ② sin  ； ③ cos  ．
1 5 2 3 3 5（17）（本小题14分）
在
高三年级（数学）第4页（共6页）
△ A B C 中， c o s B 
4
5
， b  6 .
（Ⅰ）当 a  5 时，求 A 和 c ；
（Ⅱ）求 △ A B C 面积的最大值.
（18）（本小题13分）
某服装销售公司进行关于消费档次的调查，根据每人月均服装消费额将消费档次分
为 0～500 元；500～1000 元；1000～1500 元；1500～2000 元四个档次，针对 A ， B 两
类人群各抽取100人的样本进行统计分析，各档次人数统计结果如下表所示：
月均服装消费额低于 1000 元的人群视为中低消费人群，不低于 1000 元的人群视为
中高消费人群.
（Ⅰ）从 A 类样本中任选一人，求此人属于中低消费人群的概率；
（Ⅱ）从 A ， B 两类人群中各任选一人，分别记为甲、乙，估计甲的消费档次不低于乙
的消费档次的概率；
（Ⅲ）以各消费档次的区间中点对应的数值为该档次的人均消费额，估计A， B
0～ 500～ 1000～ 1500～
500元 1000元 1500元 2000元
两类人
群哪类月均服装消费额的方差较大（直接写出结果，不必说明理由）.
A 类 20 50 20 10
B
档次
人群
类 50 30 10 10（19）（本小题15分）
已知椭圆
高三年级（数学）第5页（共6页）
M ：
x
a
2
2

y
b
2
2
 1 ( a  b  0 ) 经过点C(0,1)，离心率为
2
2
，M 与 x 轴交于
两点 A ( a , 0 ) ， B (  a , 0 ) ，过点 C 的直线 l 与 M 交于另一点 D ，并与 x 轴交于点 P ，直
线AC 与直线BD交于点Q.
(Ⅰ) 求椭圆 M 的方程；
(Ⅱ) 设 O 为原点，当点 P 异于点 B 时，求证： O P  O Q 为定值.
（20）（本小题15分）
已知函数 f ( x )  l n x  e x .
（Ⅰ）求曲线 y  f ( x ) 在点 ( 1 , f ( 1 ) ) 处的切线方程；
（Ⅱ）求证： f(x)有且只有一个极值点；
（Ⅲ）求证：方程xlnxex x无解．
（21）（本小题14分）
已知 n 为正整数，集合 A { | ( x
1
, x
2
, , x
2 n
) , x
i
{ 1 , 1 } , i 1 , 2 , , 2 n }      
具有性质 P ：“对于集合 A 中的任意元素 ( x
1
, x
2
, , x
2 n
)   ， x
1
 x
2
  x
2 n
 0 ，
且 x
1
 x
2
  x
i
 0 ，其中 i  1 , 2 , , 2 n  1 ”. 集合A中的元素个数记为|P(A)|．
（Ⅰ）当 n  2 时，求|P(A)|；
（Ⅱ）当n9时，求 x
1
 x
2
  x
9
的所有可能的取值；
（Ⅲ）给定正整数n，求 | P ( A ) | ．草稿纸
高三年级（数学）第6页（共6页）