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北京市延庆区 2021-2022 学年七年级下学期期末数学试卷
一、选择题
1. 如图，直线AB，CD相交于点O，如果∠1=35°，那么∠2的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对顶角的性质解答 ．
【详解】解：由对顶角的性质可得：∠1=∠2，
∵∠1=35°，
∴∠2=35°，
故选A．
【点睛】本题考查对顶角的应用，熟练掌握对顶角的性质是解题关键 ．
的
2. 2022年6月5日10时44分，搭载神舟十四号载人飞船 长征二号F遥十四运载火箭在酒泉卫星发
射中心发射成功．中国对浩瀚星空的探索又迈入了一个全新的征程．北斗卫星导航系统提供定位和授时任
务，其中授时精度为10纳秒，即： 秒．将 用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原
数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 10时，n是正
整数；当原数的绝对值 1时， 是负整数．
【详解】解：将 用科学记数法表示为 ．故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，为整数，解题的关键要正确确定 的值以及 的值．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂的运算法则及多项式乘法运算公式对每一选项进行计算，即可得到解答 ．
【详解】解：A、a2⋅a=a3，正确，符合题意；
B、(a+2)2=a2+4a+4，错误，不符合题意；
C、a6÷a2=a4，错误，不符合题意；
D、(3a2)3=33a6=27a6，错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查整式乘法的应用，熟练掌握幂的运算法则及完全平方公式是解题关键．
4. 下列调查方式，适合全面调查的是（ ）
的
A. 调查北京市中学生每周体育锻炼时间 B. 调查神舟十四号飞船零部件 质量
C. 调查某一批次的计算器的使用寿命 D. 调查全国中学生的视力情况
【答案】B
【解析】
【分析】分析每一个选项的特点，有破坏性的，没有必要的，调查对象特别多的都不适合用普查的方式．
【详解】解：A．调查北京市中学生每周体育锻炼时间，调查对象多且没有必要，不适合普查；
B．调查“神舟十四号”飞船零部件的质量，每一个对象都非常重要，适合普查．
C．调查某一批次的计算器的使用寿命，调查有破坏，不适合用普查；
D．调查全国中学生的视力情况，调查对象多且没有必要，不适合普查；
故选B．
【点睛】本题考查了全面调查或抽样调查，解题的关键是根据一般来说当调查的对象很多又不是每个数据
都有很大的意义，或着调查的对象虽然不多，但是带有破坏性，应采用抽查方式；如果调查对象不需要花
费太多的时间又不据有破坏性，或者生产生活中有安全隐患，或者意义非常重大等方面的问题就必须采用
普查的调查方式进行．
5. 若 ，则下列不等式中，不成立的是（ ）
A. B. C. D.【答案】D【解析】
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A、不等式 两边都减去2，不等号的方向不变，即 ，原式变形成立，故此
选项不符合题意；
B、不等式 两边都加上3，不等号的方向不变，即 ，原式变形成立，故此选项不符合题
意；
C、不等式 两边都除以3，不等号的方向不变，即 ，原式变形成立，故此选项不符合题意；
D、不等式 两边都乘以 ，不等号的方向改变，即 ，原式变形不成立，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质，理解和掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质1∶不等式的
两边都加上（或减去）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或
除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，
不等号的方向改变．
6. 调查某超市的某种蔬菜一周内每天的销售量，结果统计如下表：
该种蔬菜一周内实际销售量表（单位：千克）
日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
销售量 30 50 45 30 50 40 50
这一周中，该种蔬菜销售量的众数和中位数分别为（ ）
A. 30，40 B. 45，50 C. 50，45 D. 50，40
【答案】C
【解析】
【分析】根据统计表中的数据，先按照从低到高排列，然后即可得到这组数据的中位数和众数，本题得以
解决．
【详解】解：按照从低到高排列数据如下：
30，30，40，45，50，50，50，
50出现了3次，出现的次数最多，所以众数是50，
排在最中间的数据是45，所以中位数是45，
故选：C．【点睛】本题考查众数和中位数，一组数据中，出现次数最多的数据就是这组数据的众数，把一组数据按
照从小到大（或从大到小）排列，若数据个数为奇数个，则最中间的数据为中位数，若数据的个数为偶数
个，则最中间的两个数据的平均数是中位数，解答本题的关键是明确题意，利用众数和中位数的知识解答．
7. 如图，点O在直线CD上，OB⊥OA．若∠BOD＝110°，则∠AOC的度数为（ ）
A. 10° B. 20°
C. 60° D. 70°
【答案】B
【解析】
【分析】利用互余的角的关系和邻补角的关系进行计算即可．
【详解】解：∵∠BOD=110°，
∴∠BOC=180°-110°=70°，
∵OB⊥OA，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOC=90°-∠BOC=90°-70°=20°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是互余两角、邻补角的定义，解题的关键是找准互余的两角和互补的两角．
8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，
不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，
木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知： 绳子=木条-1，据此列出方程组即可．
【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺，
那么可列方程组为： ，
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元
一次方程组．
9. 某同学要调查、分析本校七年级（1）班学生的身高状况，作为三年中跟踪调查的依据．
以下是排乱的统计步骤：
①绘制扇形统计图来表示各个身高范围所占的百分比；
②去校医务室收集学生入学后体检的有关数据；
③从扇形统计图中分析出学生身高状况；
④整理收集的相关数据，并按身高范围进行分组，在表格中表示出来．
正确统计步骤的顺序是（ ）
A. ②→③→①→④ B. ③→④→①→②
C. ①→②→④→③ D. ②→④→①→③
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意和频数分布表、扇形统计图制作的步骤，可以解答本题．
【详解】解：由题可知，正确顺序为②→④→①→③．
故选：D．
【点睛】本题主要考查扇形统计图，折线统计图，掌握统计图的性质是解题的关键．
10. 如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判定CD AB的是（ ）
①∠1=∠4 ②∠2=∠3 ③∠5=∠B ④∠DCB+∠B=180°
A. ①②③④ B. ①②③
C. ①③④ D. ①②【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的判定方法对① ② ③④每一选项的正确性进行判断即可得到解答 ．
【详解】解：因为∠1和∠4是内错角，所以由∠1=∠4 可以得到CD ∥ AB，①正确；
因为∠2和∠3是DA与CB的内错角，不是CD 与 AB的内错角，所以由∠2=∠3不能得到CD ∥ AB，②
错误；
因为∠5和∠B是同位角，所以由∠5=∠B可以得到CD ∥ AB，③正确；
因为∠DCB和∠B是同旁内角，所以由∠DCB+∠B=180°可以得到CD ∥ AB，④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．
二、填空题
的
11. 关于 不等式的解集如图所示，则这个不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可得出结论．
【详解】解：∵−1处是实心圆点，且折线向右，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了不等式的解集在数轴上的表示方法，不等式的解集在数轴上遵循“小于向左，大于向
右；边界含于解集为实心点，不含于解集为空心点”．
12. 分解因式： ____．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】解： ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先要提取公因式，然后再用其他
方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13. 已知 是关于x，y的方程 的一个解，那么 的值是__________．
【答案】6
【解析】
【分析】把 代入方程 计算即可求出m的值．
【详解】解：把 代入方程 得：2m−6=6，
移项得：2m=6+6，
解得：m=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，掌握二元一
次方程的解的定义是解题关键．
14. 用不等式表示“ 的2倍与3的差大于4”：_______________________________．
【答案】
【解析】
【分析】 的2倍，即 ，然后与3的差大于4，据此列出不等式．
【详解】解：由题意得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是读懂题意，抓住关键词语，弄
清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
15. 计算： ＝_______________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据负整数指数幂，零指数幂的性质解答 ．【详解】解：原式=2+1=3，
故答案为3 ．
【点睛】本题考查整数指数幂的应用，熟练掌握负整数指数幂和零指数幂的性质是解题关键．
16. 按规律排列的单项式： ， ， ， ， ，… ，那么第15个单项式是_____．【答案】
【解析】
【分析】通过观察系数和指数的规律即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ， ， ，… ，
∴系数的规律为 ，指数的规律为 ，
∴第 个单项式是： ，
∴第15个单项式是： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察单项式的系数和指数，找到它们的规律是解题的关键．
17. 已知：在同一平面内，三条直线a，b，c．下列四个命题为真命题的是_____________．（填写所有真
命题的序号）
①如果a b， ，那么 ； ②如果 ， ，那么 ；
③如果a b，c b，那么a c； ④如果 ， ，那么b c．
【答案】①③④
【解析】
【分析】分别根据每种情况画出符合条件的图形，再结合垂直的定义，平行线的判定逐一判断即可．
【详解】解：如图，a b， ，
则 ，故①符合题意；
如图， ， ，则 故②不符合题意；④符合题意；
如图，a b，c b，则a c；故③符合题意；
故答案为：①③④
【点睛】本题考查的是平面内直线与直线的位置关系，平行线的性质，垂直的定义，命题真假的判断，掌
握“平行公理，平面内垂直于同一直线的两直线平行”是解本题的关键．
18. 周末小明和妈妈外出共消费了300元，表中记录了他一天所有的消费项目以及部分支出．如果饼干每
包13元，矿泉水每瓶2元，那么小明买了____包饼干、____瓶矿泉水．
项目 早餐 午餐 购买书籍 饼干 矿泉水
支出金额
40 100 130
（单位：元）
【答案】 ①. 2 ②. 2
【解析】
【分析】设小明买了 包饼干， 瓶矿泉水，利用早餐费＋午餐费＋购买书籍的费用＋购买饼干的费用＋
购买矿泉水的费用＝消费的钱数，结合给定的数值，即可得出关于 ， 的二元一次方程，由 ， 均为
正整数，即可求出方程的解从而得出结论．
【详解】解：设小明买了 包饼干， 瓶矿泉水，依题意得：
，
∴ ，
∵ ， 均为正整数，
∴ ．
∴小明买了2包饼干、2瓶矿泉水．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系．正确列出二元一次方程是解题的关键．
三、解答题
19. 计算
（1） ．（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将原式第一个因式利用积的乘方运算法则计算后，再利用单项式除以单项式的运算法则计
算，即可得到结果；
（2）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘以多项式的运算法则计算，再合并后即可得
到结果．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及的知识点有：积的乘方、单项式除以单项式的运算法则，平方
差公式，单项式乘以多项式的运算法则．熟练掌握公式及法则是解题的关键．
20. 解不等式：2 （3x－1）≤x+3，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，数轴见解析
【解析】
【分析】利用不等式的性质求出一元一次不等式的解集，然后将解集表示在数轴上即可．
【详解】解：
去括号，得： ．
移项，得： ．合并同类项，得： ．
化系数为1，得： ．
∴原不等式的解集为 ．【点睛】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的解法步骤，
会在数轴上表示不等式的解集是解答的关键，特别注意不等号的方向和端点的空（实）心．
21. 解不等式组： 并写出它的所有整数解．
【答案】 ，整数解是： ， ， ．
【解析】
【分析】正确求解两个一元一次不等式，并准确找到它们 的解集的交集，即为不等式组的解集，再把
解集中包含的整数写出即可．
【详解】解：
解不等式①得， ．
解不等式②得， ．
∴原不等式组的解集是： ．
∴原不等式组的整数解是： ， ， ．
【点睛】本题考查了不等式组的解法，不等式组的整数解．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求
两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小
小无解．
22. 解方程组：
（1）
（2）【答案】（1）
（2）【解析】
【分析】（1）运用代入消元法求解；
（2）运用加减消元法求解．
【小问1详解】
解：把①代入②，得 ．
．
．
把 代入①，得 ．
∴原方程组的解为
【小问2详解】
解： ，得 ．
∴ ．
把 代入①，得 ．
．
∴ ．
∴原方程组的解为
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键．
23. 先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ，11【解析】
【分析】原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最
简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】解：．
当 ， 时，
∴原式= ．
【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24. 如图，∠B+∠BAD=180°，∠1=∠2． 求证：AB CD．请将下面的证明过程补充完整．
证明：
∵∠B+∠BAD=180°（已知），
∠1+∠BAD=180°（ ），
∴∠1=∠B（ ）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2＝ （ ）．
∴AB CD（ ）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行的判定定理证明即可．
【详解】∵∠B+∠BAD=180°（已知），
∠1+∠BAD=180°（平角定义），
∴∠1=∠B（同角的补角相等）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2= ∠ B （等量代换）．
∴AB CD（同位角相等，两条直线平行）．
【点睛】本题考查平行线的判定定理，解题的关键是掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；
内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
25. 某区图书馆充分发挥数字教育资源优势，利用“数字图书馆”组织开展了主题为“居家数字阅读+悦读”的中小学生寒假阅读主题活动．某校随机抽取了七年级的若干学生进行调查，并将所收集的数据分
组整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息回答下列问题．
七年级学生每天阅读时长情况统计表
组别 阅读时长（单位：小时） 人数（单位：人）
A 0＜x≤0.5
B 0.5＜x≤1 72
C 1＜x≤1.5 18
D 1.5＜x≤2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求出表中a，b的值；
（2）已知该校七年级的学生有1000人，试估计该校七年级学生每天阅读时长在0.5＜x≤1.5的共有多少人？
【答案】（1） ，
（2）750人
【解析】
【分析】（1）根据B组所占百分比及B组人数可以求出总人数，再根据A组百分比求出a的值，最后用
减法求出b的值；
（2）先计算抽查人数中每天阅读时长在 的人数所占百分比，再根据该校七年级的学生总数
估计该校七年级学生每天阅读时长在0.5＜x≤1.5的人数．
【小问1详解】
∵72÷60%=120，
∴a=120×20%=24，b=120-（24+72+18）=6；
【小问2详解】（人），
答：估计该校七年级学生每天阅读时长在 的共有750人．
【点睛】本题考查数据的整理与分析，熟练掌握扇形统计图的有关计算与运用样本估计总体的方法是解题
关键．
26. 某校七年级（1）班、（2）班的同学积极参加全民健身活动，为此两班到同一商店购买体育用品．已
知七年级（1）班买了3个篮球和4副羽毛球拍共用了270元；七年级（2）班买了同样的5个篮球和6副
羽毛球拍共用了430元；问每个篮球和每副羽毛球拍各多少元？
【答案】每个篮球50元，每副羽毛球拍30元
【解析】
【分析】设每个篮球 元，每副羽毛球拍 元，由题意：七年级（1）班购买了3个篮球和4副羽毛球拍共
用了270元，七年级（2）班购买了同样的5个篮球和6副羽毛球拍共用了430元，列出二元一次方程组，
解方程组即可．
【详解】解：设每个篮球 元，每副羽毛球拍 元，
根据题意列方程组，得 ，
解这个方程组，得 ．
答：每个篮球50元，每副羽毛球拍30元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
27. 已知：如图，BD⊥AC于点D，点E是线段BC上的任意一点（不与点B，C重合），过点E作
EF⊥AC于点F，过点D作DG BC交AB于点G．
（1）①请补全图形；
②求证：BD EF；
（2）用等式表示∠GDB与∠C的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）①见解析；②见解析（2）∠GDB+∠C=90°，证明见解析
【解析】
【分析】（1）①根据题目描述补全图形即可；②利用垂直于同一条直线的两条直线平行即可证明BD
EF；
（2）利用平行线的性质和垂直的定义可证∠GDB+∠C=90°．
【小问1详解】
解：①补全后图形如下图所示：
；
②证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴BD EF（垂直于同一条直线的两条直线平行）．
【
小问2详解】
解：∠GDB+∠C=90°．
证明：∵GD BC，
∴∠ADG=∠C．
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°．
∴∠ADG+∠GDB =90°．
∴∠GDB+∠C=90°．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质、垂直的定义等，熟练掌握平行线的判定定理与性质定理是解题的
关键．
28. 若不等式（组）只有 个正整数解（ 为自然数），则称这个不等式（组）为 阶不等式（组）．
我们规定：当 时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）．
例如：不等式 只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式．
不等式组 只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组．请根据定义完成下列问题：（1） 是 阶不等式； 是 阶不等式组；
（2）若关于 的不等式组 是4阶不等式组，求 的取值范围；
（3）关于 的不等式组 的正整数解有 ， ， ， ，…，其中 …．如果
是 阶不等式组，且关于 的方程 的解是 的正整数解 ，直接写出
的值以及 的取值范围．
【答案】（1）0、1 （2）
（3） ；
【解析】
【分析】（1）求出题中的不等式（组）的解集，再根据已知所给定义即可得到解答；
（2）首先根据已知求出原不等式组的正整数解并用数轴表示出来，然后可得a的取值范围；
（3）根据已知可得关于m的方程，求出m后可以用数轴表示出不等式组的正整数解，根据数轴即可得到
的取值范围．
【小问1详解】
∵ 没有正整数解，
∴ 是0阶不等式，
解 可得1
