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初中数学
2023年广东广州天河区中考一模
数学试卷
新东方教育科技集团2023年广东广州天河区中考一模数学
试卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只
有一个是正确的．）
1 单选题
如图是某几何体的展开图，该几何体是( )．
A. 长方体
B. 圆柱
C. 圆锥
D. 三棱柱
答案
C
解析
因为圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，故这个几何体是圆锥．
故选：C．
2 单选题
下列图案中，是中心对称图形的是( )．
A.
B.
C.
D.
1/20答案
C
解析
A中图形不是中心对称图形，故不符合题意；
B中图形不是中心对称图形，故不符合题意；
C中图形是中心对称图形，故符合题意；
D中图形不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：C．
3 单选题
3 2
分式方程 = 的解是( )．
x+1 x
A. x=2
B. x=1
C. x=−1
D. x=−2
答案
A
解析
3 2
= ，
x+1 x
去分母得：3x=2(x+1)，
解得：x=2，
经验：当x=2时，x(x+1)≠0，
∴原方程的解为x=2．
故选：A．
4 单选题
点(3,b)在一次函数y=2x−7的图象上，则b的值为( )．
A. 13
B. 1
C. 5
D. −1
答案
D
2/20解析
∵点(3,b)在一次函数y=2x−7的图象上，
即当x=3时，y=b，
∴b=2×3−7=−1，
故选：D．
5 单选题
下列各式计算正确的是( )．
A. √5−√3=√2
B. a6÷a2=a3
C. (ab3 ) 2 =a2b6
D. 2 1 1
− =
a b a−b
答案
C
解析
√5 与√3不是同类二次根式，不能合并，计算错误，故不符合题意；
a6÷a2=a4，计算错误，故不符合题意；
(ab3) 2 =a2b6，计算正确，故符合题意；
2 1 2b−a
− = ，计算错误，故不符合题意；
a b ab
故选：C．
6 单选题
实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )．
A. a<−1
B. a+b<0
C. |a|>b
D. −a<b
答案
D
解析
由数轴可得：−1<a<0，2<b<3．
∴a+b>0，|a|<b，−a<b，
∴D符合题意．
3/20故选：D．
7 单选题
二次函数y=x2−bx+b的图象可能是( )．
A.
B.
C.
D.
答案
B
解析
当x=1时，y=1−b+b=1，
∴抛物线经过(1,1)
∴只有B选项符合
故选：B．
8 单选题
不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“0”，“1”，除数字外两个小球无其他差别，从中随机
摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录
的数字之积为0的概率是( )．
A. 1
4
B. 3
4
C. 1
2
D. 2
3
4/20答案
B
解析
根据题意，如下图，总共有四种结果，其中两次记录的数字之积为0的情况有3种，
3
∴两次记录的数字之积为0的概率是：
4
故选：B．
9 单选题
按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，则搭
2023个这样的小正方形需要小棒( )．
A. 6068根
B. 6069根
C. 6070根
D. 6071根
答案
C
解析
搭2个正方形需要4+3×1=7根火柴棒；
搭3个正方形需要4+3×2=10根火柴棒；
…，
搭n个这样的正方形需要4+3(n−1)=(3n+1)根火柴棒，
搭2023个这样的正方形需要3×2023+1=6070（根）火柴棒．
故选：C．
5/2010 单选题
如图，在正方形ABCD中，点E在AD边上，且DE =3AE，连接BE，CE，EF平分∠BEC，过
点B作BF⊥EF于点F，若正方形的边长为4，则 △BFC的面积是( )．
A. 16−4√13
5
B. 16−4√17
3
C. 20−4√17
5
D. 8−2√17
答案
C
解析
∵四边形ABCD是正方形，DE =3AE，AD=AB=CD=BC =4
∴AE =1，DE =3，ADBC，CD⊥BC，
则BE =√AB2+AE2=√17，EC =√ED2+CD2=5，∠CED=∠ECB
4
∴sin∠CED=sin∠ECB= ，
5
延长BF交CE于G，过点F，点G分别作BC的垂线交BC于M，N，则FM//GN//CD，
BF FM
∴ △BFM ∽△BGN，则 = ，
BG GN
∵EF平分∠BEC，BF⊥EF，
∴∠BEF =∠GEF，∠BFE =∠GFE =90∘，
又∵EF =EF，
∴ △BEF △GEF(ASA)，
6/201
∴BF =GF = BG，EG=BE =√17
2
BF FM 1
则 = = ，CG=CE−EG=5−√17，
BG GN 2
4 5−√17
( )
则GN =CG⋅sin∠ECB= ，
5
2 5−√17
1 ( )
∴FM = GN = ，
2 5
2 5−√17
1 1 ( ) 20−4√17
∴ △BFC的面积为 BC⋅FM = ×4× = ，
2 2 5 5
故选：C．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．）
11 填空题
−2023的绝对值是 ．
答案
2023．
解析
−2023的绝对值是2023，
故答案为：2023．
12 填空题
若x＝1是方程x2−3x+a＝0的解，则a的值为 ．
答案
2．
解析
∵x=1是方程x2−3x+a＝0的解，
∴12−3×1+a=0，
解得，a=2，
故答案为2．
13 填空题
分解因式：2m2−2= ．
答案
2(m+1)(m−1)．
7/20解析
2m2−2=2(m2−1)=2(m+1)(m−1)．
故答案为2(m+1)(m−1)．
14 填空题
如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，OC交⊙O于点D，连接BD，若∠C =36∘，则∠B的度数为
．
答案
27∘．
解析
∵AC⊥AB
∴∠OAC =90∘，
∵∠C =36∘，
∴∠AOC =90∘−∠C =54∘，
1
∴∠B= ∠AOC =27∘，
2
故答案为：27∘．
15 填空题
如图，在 △ABC中，∠A=60∘，BC =8，O为BC的中点，⊙O分别与AB，AC相切于D，E两
点，则⊙O的半径长为 ．
答案
2√3．
解析
连接OA，OE，OD，
8/20∵AB、AC与⊙O相切于D、E两点，
∴∠OEC =∠ODB=∠AEO=∠ADO=90∘，
∵∠BAC =60∘，
∴∠DOE =120∘，
∵
点O为BC的中点，
1
∴OB=OC = BC =4，
2
∵OE =OD，
∴Rt△OEC ≅Rt△ODB(HL)，
∴∠C =∠B，
∴AC =AB，AO⊥BC，
1
∴∠CAO= ∠BAC =30∘，
2
∴AO=4√3，
1
∴OE =OD= AO=2√3，
2
即⊙O的半径长为2√3，
故答案为：2√3．
16 填空题
如图，Rt△ABC中，AB=AC =3，点O在AC上，且AO=1，D为BC上任意一点，若将AD绕
A点逆时针旋转90∘得到AE，连接OE，则在D点运动过程中，线段OE的最小值为 ．
答案
√2．
解析
如图，在AB上截取AQ=AO=1，连接DQ，
9/20∵将AD绕A点逆时针旋转90∘得到AE，
∴∠BAC =∠DAE =90∘，
∴∠BAC−∠DAC =∠DAE−∠DAC即∠BAD=∠CAE，
在 △AQD和 △AOE中，
AQ=AO
⎧ ∠QAD=∠OAE，
⎨
AD=AE
⎩
∴ △AQD△AOE(SAS)，
∴QD=OE，
∵D点在线段BC上运动，
∴当QD⊥BC时，QD的值最小，即线段OE有最小值，
∵ △ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45∘，
∵QD⊥BC，
∴ △QBD是等腰直角三角形，
∵AB=AC =3AO=1，
∴QB=2，
√2
∴由勾股定理得QD= QB=√2，
2
∴线段OE有最小值为√2，
故答案为：√2．
三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步
骤）
17 解答题
解不等式：3x−1<x+5．
答案
不等式的解集为x<3．
解析
3x−1<x+5，
移项得：3x−x<5+1，
合并同类项得：2x<6，
将系数化为1得：x<3．
10/20
⎪
⎪18 解答题
如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别位于直线AD的两侧，且
∠A=∠D，∠B=∠EAF =DC．求证： △ABC ≅△DEF．
答案
见解析.
解析
∵AF =DC，
∴AF +FC =DC+FC，即AC =DF．
在 △ABC和 △DEF中，
∠B=∠E
⎧ ∠A=∠D，
⎨
AC =DF
⎩
∴ △ABC ≅△DEF(AAS)．
19 解答题
某校共有1000名学生，准备成立四个球类活动小组：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，为了解
学生对四个活动小组的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中必须选择而
且只能选择一个小组，根据调查结果绘制如下两幅不完整的统计图．
(1) 填空：本次调査中，抽査的学生总数是 ；扇形统计图中的m值是 ；
(2) 补全条形统计图，并估计该校学生喜爱羽毛球的学生人数．
答案
(1) 50 ；36
11/20
⎪
⎪(2) 图见解析，估计该校学生喜爱羽毛球的学生人数为200人．
解析
(1) 共抽查的学生人数为：10÷20%=50，
18
A篮球对应的百分数 ×100%=36%，
50
所以m=36．
故答案为：50，36；
(2) 喜爱B足球的学生人数为：50−18−8−10=14．
补全条形统计图为：
估计该校学生喜爱羽毛球的学生人数为1000×20%=200人．
20 解答题
一辆客车从A地出发前往B地，平均速度v（千米小时）与所用时间t（小时）的函数关系如图所
示，其中60≤v≤120．
(1) 求v与t函数关系式及t的取值范围；
(2) 客车上午8点从A地出发，客车需在当天14点至15点30分（含14点与15点30分）间到达B地，
求客车行驶速度v的取值范围．
答案
600
(1) v= ，5≤t≤10；
t
(2) 客车行驶速度v的取值范围为80≤v≤100．
解析
(1) 由题意可知v与t的函数关系是反比例函数，
k
设v与t的函数关系式为v= ，
t
12/20k k
把点(6,100)代入v= 得，100= ，
t 6
解得，k=600，
600
∴v与t的函数关系式是v= ，
t
∵60≤v≤120，
∴t的取值范围5≤t≤10；
(2) 由题意得到6≤t≤7.5，
600
当t=6时，v= =100，
t
600 600
当t=7.5时，v= = =80，
t 7.5
由图象可知v随着t的增大而减小，
∴80≤v≤100，
即客车行驶速度v的取值范围为80≤v≤100．
21 解答题
4 2a−4
已知代数式A= a− ÷ ．
( a) a
(1) 化简A；
(2) 若一个矩形两条对角线的长为x2−4x+a=0的两根，求A的值．
答案
a+2
(1) A= ；
2
(2) A=3．
解析
(1) 4 2a−4
A= a− ÷
( a) a
a2−4 2(a−2)
= ÷
a a
(a−2)(a+2) a
= ⋅
a 2(a−2)
a+2
= ；
2
(2) ∵一个矩形两条对角线的长为x2−4x+a=0的两根，
∴x2−4x+a=0有两等根，
∴Δ=42−4a=0，
∴a=4，
a+2 4+2
∴A= = =3．
2 2
22 解答题
如图，在 △ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，连接AD．
13/20(1) 尺规作图：作劣弧AD的中点E；（不写作法，保留作图痕迹）
(2) 若⊙O与AC相切，求（1）中作图得到的∠ABE的度数．
答案
(1) 见解析；
(2) ∠ABE =22.5∘．
解析
(1) 如图，点E即为所求．
(2) ∵⊙O与AC相切，AB为直径，
∴BA⊥AC，
∵AB=AC，
∴△BAC是等腰直角三角形，
∴∠ABC =45∘；
1
由（1）可得∠ABE = ∠ABC =22.5∘．
2
23 解答题
北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在
教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF =8m）．小亮同学想知道条幅的底端F到地面的
距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰
角为37∘，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在
点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45∘，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩
形），请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：
sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75）
14/20答案
条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．
解析
设AC与GE相交于点H，
由题意得：
AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90∘，
设CH＝x米，
∴AH＝AC＋CH＝（12＋x）米，
在Rt△CHF中，∠FCH＝45∘，
∴FH＝CH⋅tan45∘＝x（米），
∵GF＝8米，
∴GH＝GF＋FH＝（8＋x）米，
在Rt△AHG中，∠GAH＝37∘，
GH x+8
∴tan37∘＝ = ≈0.75，
AH 12+x
解得：x＝4，
经检验：x＝4是原方程的根，
∴FE＝FH＋HE＝5.65≈5.7（米），
15/20∴条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．
24 解答题
已知，如图，在Rt△ACD中，∠ADC =90∘，CD=4，AD=3，过A作AM⊥AC，点B在射线
AM上、连接BD，交边AC于点E．
(1) 当BC//AD时，求AB的长；
(2) 当CE =CD时，求AB的长；
(3) 当 △BDC为等腰三角形时，求AB的长．
答案
20
(1) AB= ；
3
(2) AB=3；
(3) 10 −12+√319
AB= 或AB= ．
3 5
解析
(1) ∵CD=4，AD=3，∠ADC =90∘，
∴AC =√AD2+CD2=5，
∵BC//AD，
∴∠DAC =∠ACB，
∵AM⊥AC，∠ADC =90∘，
∴∠CAB=∠ADC =90∘，
∴ △ACD∽△CAB，
AB AC AB 5
∴ = ，即 = ，
CD AD 4 3
20
解得：AB= ；
3
(2) ∵∠ADC =90∘，AM⊥AC ，
∴∠ADB+∠CDE =90∘，∠ABD+∠AEB=90∘，
∵CE =CD，
16/20∴∠CDE =∠CED，
∵∠AEB=∠CED，
∴∠AEB=∠CDE，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD=3；
(3) ①当BC =BD时，过点B作BF⊥CD于点F，交AC于点G，
∵BC =BD，BF⊥CD，
1
∴CF = CD=2，
2
∵∠ADC =90∘，BF⊥CD，
∴ △ACD∽△GCF，
GF CG CF 1
∴ = = = ，
AD AC CD 2
1 5 1 3
∴AG=CG= AC = ，GF = AD= ，
2 2 2 2
∵AM⊥AC，
∴∠BAG=∠CFG=90∘，
∵∠AGB=∠FGC，
∴ △AGB∽△FGC，
5
AB AG AB 2
∴ = ，即 = ，
CF GF 2 3
2
10
解得：AB= ．
3
②当CD=BD=4时，过点B作BQ⊥AD于点Q，
17/20∵∠ADC =90∘，
∴∠DAC+∠DCA=90∘，
∵AM⊥AC，
∴∠DAC+∠QAB=90∘，
∴∠DCA=∠QAB，
∵BQ⊥AD，∠ADC =90∘，
∴ △ABQ∽△CAD，
∵AD:CD:AC =3:4:5，
∴BQ:AQ:AB=3:4:5，
设BQ=3x,AQ=4x,AB=5x，则DQ=AD+AQ=3+4x，
∵CD=BD=4，
∴Rt△QBD中，根据勾股定理可得：QB2+QD2=BD2，
即(3x)2+(3+4x)2=42，
整理得：25x2+24x−7=0，
−12+√319 −12−√319
解得：x = ，x = （不符合题意，舍去），
1 25 2 25
−12+√319
∴AB=5x= ．
5
由于CB>CA>CD，所以不存在CB=CD的情形；
10 −12+√319
综上：AB= 或AB= .
3 5
25 解答题
在平面直角坐标系中，抛物线G:y=ax2+bx+1(a>0)经过点A(2,1)，顶点为点B．
(1) 求a与b的数量关系；
(2) 设拋物线G的对称轴为直线l，过A作AM⊥l，垂足为M，且MB=2AM．
①当m−1≤x≤m+1时，求拋物线G的最高点的纵坐标（用含m的式子表示）；
②平移拋物线G，当它与直线AB最多只有一个交点时，求平移的最短距离．
答案
(1) b=−2a；
(2) ①当m<1时，抛物线在x=m−1时取得最大值2m2−8m+7；当m≥1时，抛物线在
x=m+1时取得最大值2m2−1；
√5
② ．
10
解析
(1) ∵抛物线G:y=ax2+bx+1(a>0)经过点A(2,1)，
∴1=4a+2b+1，
∴b=−2a；
(2) ①由（1）得y=ax2+bx+1=ax2−2ax+1，
18/20−2a
∴其对称轴为直线x=− =1，顶点为B(1,1−a)，
2a
∵过A作AM⊥l，垂足为M，且MB=2AM，
∴1−(1−a)=2×(2−1)，
∴a=2，
∴y=2x2−4x+1，
当|m−1−1|>|m+1−1|时，
即m<1时，抛物线在x=m−1时取得最大值2m2−8m+7；
当|m−1−1|≤|m+1−1|时，
即m≥1时，抛物线在x=m+1时取得最大值2m2−1；
综上，当m<1时，抛物线在x=m−1时取得最大值2m2−8m+7；当m≥1时，抛物线
在x=m+1时取得最大值2m2−1；
②∵点A(2,1),B(1,−1)，
∴设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，
1=2k+b k=2
∴ ，解得 ，
{−1=k+b {b=−3
∴直线AB的解析式为y=2x−3，
抛物线平移，直线不动，相当于抛物线不动，直线平移，
设直线AB平移后的解析式为y=2x+n，
当平移后的拋物线与直线AB最多只有一个交点时，抛物线平移的距离达到最小时，意味着
平移后的直线AB与抛物线有且仅有一个交点，
y=2x2−4x+1
联立 ，可得2x2−6x+1−n=0，
{y=2x+n
此时，Δ=(−4)2−4×2×(1−n)=0，
7
解得n=− ，
2
7
则抛物线平移的距离就是y=2x−3与y=2x− 两条直线间的距离，
2
∴M点为y=2x−3与y轴的交点，M(0,−3)，
7 7
过点M作MN垂直于直线y=2x− 于N，A，B分别为y=2x− 与x轴，y轴的交点，
2 2
7 7
∴A ,0 ,B 0,− ，
(4 ) ( 2)
则 △OAB∼△NMB，
19/207 2 7 2
7 +
OA AB 4 √(4) (2)
∴ = ，即 = ，
MN BM MN 7
−3
2
√5
解得MN = ，
10
7 √5
即y=2x−3与y=2x− 两条直线间的距离为 ，
2 10
√5
所以平移最短的距离为 ．
10
20/20
