文档内容
试卷类型：A
高三一轮检测
数学试题
2024.03
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知抛物线 ，则 的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．在平面内， 是两个定点， 是动点，若 ，则点 的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．物物线 C．直线 D．圆
4．若 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
5．在同一直角坐标系中，函数 ，且 的图像可能是（ ）A． B．
C． D．
6．已知非零向量 满足 ，若 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 ，若 的最小
值为 ，且 ，则 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知 是双曲线 的右焦点， 是 左支上一点， ，当 周长最小时，
该三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知复数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 在复平面内对应的点在第二象限
C．若 ，则
D．若 ，复数 在复平面内对应的点为 ，则直线 （ 为原点）斜率的取值范围为
10．下列说法中正确的是（ ）
A．一组数据 的第60百分位数为14
B．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生学习惝况．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一
个容量为100的样本，则从的中生中抽取的人数为70
C．若样本数据 的平均数为10，则数据 的平均数为3
D．随机变量 服从二项分布 ，若方差 ，则
11．已知函数 的定义域为R，且 ，若 ，则下列说法正确的是（
）
A． B． 有最大值
C． D．函数 是奇函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知二项式 的展开式中 的系数为15，则 _______．
13．在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，则 _______．
14．如图，在水平放置的底面直径与高相等的圆柱内，放入三个半径相等的实心小球 （小球材质密
度 ），向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球 ，若圆柱底面半径为 ，则球 的体积
为_______，圆柱的侧面积与球 的表面积的比值为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
如图，在底面为菱形的直四棱柱 中， ， 分别是
的中点．
（1）求证： ；
（2）求平面 与平面 所成夹角的大小．
16．（15分）
某学校为了缓解学生紧张的复习生活，决定举行一次游戏活动，游戏规则为：甲箱子里装有3个红球和2个
黑球，乙箱子里装有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2
个球，且每次游戏结束后将球放回原箱，摸出一个红球记2分，摸出一个黑球记-1分，得分在5分以上（含
5分）则获奖．
（1）求在1次游戏中，获奖的概率；
（2）求在1次游戏中，得分X的分布列及均值．
17．（15分）
已知圆 与 轴交于点 ，且经过椭圆 的上顶点，
椭圆 的离心率为 ．（1）求椭圆 的方程；
（2）若点 为椭圆 上一点，且在 轴上方， 为 关于原点 的对称点，点 为椭圆 的右顶点，直
线 与 交于点 的面积为 ，求直线 的斜率．
18．（17分）
已知函数 ．
（ 1 ） 若 ， 曲 线 在 点 处 的 切 线 与 直 线 垂 直 ， 证 明 ：
；
（2）若对任意的 且 ，函数 ，证明：函数 在 上存在唯一
零点．
19．（17分）
已知各项均不为 0 的递增数列 的前 项和为 ，且 （
，且 ）．
（1）求数列 的前 项和 ；
（2）定义首项为2且公比大于1的等比数列为“ -数列”．
证明：①对任意 且 ，存在“ -数列” ，使得 成立；
②当 且 时，不存在“ -数列” ，使得 对任意正整数 成立．高三一轮检测
数学试题参考答案及评分标准
2024.03
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D D C B C B D
二、选择题：
题号 9 10 11
答案 ACD BC ACD
三、填空题：
12．6 13． 14．
四、解答题：
15．（13分）
解：取 中点 ，连接
因为底面 为菱形， ，
所以
以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
（1）（2）设平面 的法向量为
又
所以 即
取 ，则
为平面 的法向量，
设平面 与平面 的夹角为 ，则
平面 与平面 的夹角为
16．（15分）
解：设“在1次游戏中摸出 个红球”为事件
（1）设“在1次游戏中获奖”为事件 ，则 ，且 互斥
（2）由题意可知， 所有可能取值为的分布列为
2 5 8
17．（15分）
解：（1） 圆 过
又 圆 过
又
椭圆 的方程为
（2）（法一）解：设 ，则由题知 且
则
由 解得
又
又
直线 的斜率 或
（法二）解：如图，连接关于原点对称
三点共线且 为 中点
又
为 的重心
为边 中点
设 ，则
又
直线 的斜率 或
18．（17分）
解：（1）设 ，则
设 ，则
单调递增
又
存在 使得 即
当 时， 单调递减
当 时， 单调递增
（2）
在 上单调递增
又设 ，则
令 ，解得
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增
当 时， ，即
，
又
存在 ，使得
又 在 上单调递增
函数 在 上存在唯一零点
19．（17分）
解：（1）
各项均不为0且递增化简得
为等差数列
（2）证明：设“G-数列”公比为 ，且 ，
（1）由题意，只需证存在 对 且 成立
即 成立
设 ，则
令 ，解得 ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减存在 ，使得 对任意 且 成立
经检验，对任意 且 均成立
对任意 且 ，存在“G-数列” 使得 成立
②由①知，若 成立，则 成立
当 时，取 得 ，取 得
由 得
不存在
当 且 时，不存在“G-数列” 使得 对任意正整数 成立．
