答案_数学_2023届北京市海淀区高考二模数学试题（含解析）_北京市海淀区2023届高三数学二模试题Word版有答案

海淀区2022—2023学年第二学期期末练习
高三数学
参考答案
一、选择题
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A D B D C C C D
二、填空题
（11）2 （12）
高三数学参考答案 第1页（共9页）
x
4
2
−
y
2
2
= 1
（13）

8
； 3 7 （14） ( −  , − 1 ) ( 0 ,1 ) ； [
1
8
,
2
2
)
（15）②③④
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
    
解：（Ⅰ）由 f( )=asin cos +cos(2 + )
4 4 4 4 6
2 2  1
=a  −sin =
2 2 6 2
得 a = 2 .

所以， f(x)=2sinxcosx+cos(2x+ )
6
 
=sin2x+cos2xcos −sin2xsin
6 6
1 3 
= sin2x+ cos2x =sin(2x+ )
2 2 3
所以， f ( x ) 的最小正周期 T =
 
2
=  .
    
（Ⅱ）由2k− 2x+ 2k+ 得k− xk+ (kZ)，
2 3 2 12 12所以
高三数学参考答案 第2页（共9页）
f ( x ) = s in ( 2 x +

3
) 的单调递增区间为 [ k  −

1

2
, k  +

1 2
] (kZ).
当 k = 0 时， f ( x ) 的单调递增区间为 [ −

1

2
,

1 2
] ，
当 k = 1 时， f ( x ) 的单调递增区间为 [

1

2
,
  
1 2
] ，
所以 f ( x ) 在 [ 0 ,  ] 上的单调递增区间为 [ 0 ,

1 2
] ， [

1

2
,  ] .
（17）（本小题14分）
解：（Ⅰ）由题意知，男女比例为16∶9，则
a + 1 2
1
+
8
1 0 + 5
=
1 6
9
，故 a = 5 .
估计A学院学生5月跑步里程在 [ 0 , 3 0 ) 中的男生人数为 1 0 0 0 
5
5 0
= 1 0 0 人.
（Ⅱ）X的取值范围是 { 1 , 2 , 3 } .
P
P
P
(
(
(
X
X
X
=
=
=
1
2
3
)
)
)
=
=
=
C
C
C
C
1 2 C
5 2
3 C
7
2 1 C
5 2
3 C
7
35
=
37
=
=
1 0
3 5
5
3 5
2 0
3 5
=
=
=
2
7
1
7
4
7
.
,
,
因此X的分布列为
X 1 2 3
1 4 2
P
7 7 7
1 4 2 15
E(X)=1 +2 +3 = .
7 7 7 7
（Ⅲ）存在满足条件的，且的最大值为
1
9
.
设B学院女生人数为x，则男生人数为 x  , 则 x
B
5 9 x
x
4
x
5 x 5 9 4
1
5  
 
=
+
+
=
+
+
，
而 x
A
=
5 0  6 4 0
1
+
0 0
4
0
0  3 6 0
=
2 3
5
2
.
232 59+45 1 1
依题意，x x ，得  ，解得 ，所以的最大值为 .
A B
5 +1 9 9（18）（本小题13分）
（Ⅰ）取
高三数学参考答案 第3页（共9页）
P C 中点 M ，连接 F M , B M .
在 △ P C D 中，M,F分别为 P C , P D 的中点，所以 M F D C ， M F =
1
2
D C .
在菱形 A B C D
1
中，因为AB DC，BE = DC，
2
所以 B E M F ， B E = M F .
所以四边形 B E M F 为平行四边形，因此 E F B M .
又因为EF平面 P B C ， B M  平面 P B C ，
所以 E F 平面 P B C .
（Ⅱ）选择条件①: DE⊥PC
因为 P D ⊥ 平面 A B C D ， D E , D C  平面 A B C D ，
所以 P D ⊥ D E ， P D ⊥ D C .
又因为 D E ⊥ P C ， P D P C = P
所以 D E ⊥ 平面 P C D ，又 D C  平面 P C D
所以 D E ⊥ D C
所以建立如图空间直角坐标系 D − x y z ．
又因为 A B D C ， D E ⊥ A B .
又E为 A B 中点，所以AD=DB，即 △ A D B 为正三角形. 因为 A D = 2 3 ，所以 D E = 3 .
设 F ( 0 , 0 , t ) ( t  0 ) ， E ( 3 , 0 , 0 ) ， C ( 0 , 2 3 , 0 ) .
E F = ( − 3 , 0 , t ) ,EC=(−3,2 3,0).
平面FCD的法向量为 n
1
= (1 , 0 , 0 ) .
设平面EFC的法向量为n =(x,y,z)，则
2
 n
n
2
2


E
E
F
C
=
=
0
0
,
.
得
 −
−
3
3
x
x
+
+
tz
2
=
3
0
y
,
= 0 .
取 x = 2 t ，则 y = 3 t ， z = 6 .
所以n =(2t, 3t,6).
2
由题意，二面角E−FC−D的大小为 45°
A
x
E
P
F
z
D
B
M
C yn n
所以|cosn,n |=| 1 2 |
1 2 |n ||n |
1 2
高三数学参考答案 第4页（共9页）
= |
3 t 2 +
2
4
t
t 2 + 3 6
|=
2
2
解得 t =  6 （舍负）.
因为F是PD的中点，所以 P D 的长为 12.
经检验符合题意.
选择条件②：
因为PD⊥平面 A B C D ， D B , D C , D E  平面 A B C D ，
所以 P D ⊥ D B ， P D ⊥ D C ， P D ⊥ D E .
又因为PB2 =PD2 +BD2，PC2 =PD2 +DC2，
且 P B = P C
所以BD=DC，在菱形ABCD中， A B = B D = A D ，
即 △ A D B 为正三角形.
又因为 E 为 A B 中点，所以DE⊥DC
建立如图空间直角坐标系 D − x y z ．
又因为 A B D C ， D E ⊥ A B .
因为 △ A D B 为正三角形. 且 A D = 2 3 ，所以 D E = 3 .
设 F ( 0 , 0 , t ) ( t  0 ) ， E ( 3 , 0 , 0 ) ， C ( 0 , 2 3 , 0 ) .
EF =(−3,0,t), E C = ( − 3 , 2 3 , 0 ) .
平面FCD的法向量为 n
1
= (1 , 0 , 0 ) .
设平面EFC的法向量为 n
2
= ( x , y , z ) ，则
 n
n
2
2


E
E
F
C
=
=
0
0
,
.
得
 −
−
3
3
x
x
+
+
tz
2
=
3
0
y
,
= 0 .
取 x = 2 t ，则 y = 3 t ， z = 6 .
所以n =(2t, 3t,6).
2
由题意，二面角 E − F C − D 的大小为 45°
n n 2t 2
所以|cosn,n |=| 1 2 | =| |=
1 2 |n ||n | 3t2 +4t2 +36 2
1 2
A
x
E
P
F
z
D
B
M
C y解得
高三数学参考答案 第5页（共9页）
t =  6 （舍负）.
因为F是PD的中点，所以 P D 的长为 12.
经检验符合题意.
19. （本小题15分）
解：（Ⅰ）由直线 A B
1
的方程为 x − 3 y + 3 = 0 ，可得 A ( − 3 , 0 ) , B
1
( 0 ,1 ) .
所以， a = 3 , b = 1 ，由 a 2 = b 2 + c 2 得， c = 2 .
椭圆 E 的方程为
x
3
2
+ y 2 = 1
c 2 6
，离心率e= = = .
a 3 3
（Ⅱ）依题意，设 P ( x
0
, y
0
) （ x
0
 0 , y
0
 0 ），则 M ( x
0
, − y
0
) .
且由 P 是椭圆上一点，可得
x
03
2
+ y
0
2 = 1 .
直线 A B
1
的方程为 y =
3
3
x + 1 ，
由
3
3 x + 1 = y
0
得， x = 3 ( y
0
− 1 ) .
所以Q( 3(y −1),y ).
0 0
直线 P B
2
的方程为 y =
y
0x
+
0
1
x − 1 ，令 x = 3 ( y
0
− 1 ) ，得
y =
3 ( 2 y
0x
0
− 1 )
− 1 =
3 ( −
x
0
x
03
2
)
− 1 = −
3
3
x
0
− 1 .
即 N ( 3 ( y
0
− 1 ) , −
3
3
x
0
− 1 ) .
所以 k
M N
=
y
x
M
M
−
−
y
x
N
N
=
−
x
y
0
0
−
+
3
3
3(
y
x
0
0
−
+
1
1
)
=
3
3 x
x
0
0
−
−
3
3
y
y
0
0
+
+
3
3
=
3
3
.
π π
即直线MN的倾斜角是 ，所以MNQ= .
6 3
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ）对 f(x)求导得 f ( x ) =
ln
2
x
x
+
x
x
.
可得 f(1)=1.
又可知 f(1)=0，
A
N
Q
y
B
1
O
B 2
P
M
x所以曲线
高三数学参考答案 第6页（共9页）
y = f ( x ) 在点 (1 , f (1 ) ) 处的切线方程为 x − y − 1 = 0 .
（Ⅱ）因为 x  0 ，所以 x  0 .
由此可知，要证 x ln x  x ，只需证 ln x  x ，即证lnx− x 0.
令 h ( x ) = ln x − x ，
求导得 h ( x ) =
1
x
−
2
1
x
=
2 −
2 x
x
.
令h'(x)=0,解得x=4.
可知x,h(x)与 h ( x ) 的变化情况如下表：
x ( 0 , 4 ) 4 ( 4 , +  )
h ( x ) + 0 −
h ( x ) 极大值
所以 h ( x )  h ( 4 ) = ln 4 − 2  0 .
所以lnx− x 0恒成立.
即原不等式成立.
（Ⅲ） g ( x ) = x ln x + a ( x 2 − x ) ，
因为 x  1 ，所以 x ln x  0 , x 2 − x  0 .
所以当a0时， g ( x )  0 在 (1 , +  ) 上恒成立，符合题意.
lnx x
当a0时，g'(x)= + +a(2x−1).
2 x x
令t(x)=g(x)，
x lnx
−
1 x 2 x 1 1 lnx
则t(x)=  −  +2a=− +2a0在(1,+)上恒成立.
2 x 2 x x 4x x
所以t(x)=g(x)在 (1 , +  ) 上单调递减.
g (1 ) = 1 + a .
①当 g (1 ) = 1 + a  0 即a−1时，g(x)0在(1,+)上恒成立.
所以g(x)在(1,+)上单调递减.
所以g(x)g(1)=0在(1,+)上恒成立，符合题意.
②当g(1)=1+a0即−1a0时，因为
高三数学参考答案 第7页（共9页）
x  1 且由（Ⅱ）知 ln x  x ，
所以 g '( x ) =
ln
2
x
x
+
x
x
+ a ( 2 x − 1 ) 
2
x
x
+
1
x
+ a ( 2 x − 1 ) 
1
2
+ 1 + a ( 2 x − 1 ) .
1 1
所以g'(1− )a− 0，
a 2
1
所以存在x (1,1− )使得
0 a
g '( x
0
) = 0 ，
因此 x , g '( x ) 与 g ( x ) 的变化情况如下表：
x (1,x )
0
x
0
( x
0
, +  )
g '( x ) + 0 −
g ( x ) 极大值
所以g(x )g(1)=0.
0
由（Ⅱ）中 x ln x  x ，
可以得 g ( x ) = x ln x + a ( x 2 − x )  x + a ( x 2 − x ) = x ( a x + 1 − a ) .
令 x = 1 −
1
a
，得 g (1 −
1
a
)  0 .
所以g(x)在区间(1,+)上存在零点，不合题意，舍去.
综上， a 的取值范围是 ( −  , − 1 ] [ 0 , +  ) .
（21）（本小题15分）
解: （Ⅰ）依题意，a =5，
1
a
n + 1
=
 a
n
a
n
2
+
，
1 ， a
a
为
n
为
n
奇
偶
数
数
，
，
所以 a
2
= 6 ， a
3
= 3 ， a
4
= 4 ， a
5
= 2 ， a
6
= 1 .
从而m=6．
a −1， a 为奇数，
 n n
（Ⅱ）依题意，a =a ，a 1．
n+1  n， a 为偶数 1
 2 n
下面证明对于任意的正整数k 1，当a =k时，均存在数列{a }为P 数列．
1 n −1高三数学参考答案 第8页（共9页）
a
1
= 2 时，a =1，
2
m = 2 符合题意．
反证，假设存在正整数 k  1 ，当 a
1
= k 时，不存在数列 { a
n
} 为 P
− 1
数列，
设此时 k 的最小值为M （ M  3 ），
即 a
1
= 2 , 3 , 4 , , M − 1 时存在 P
− 1
数列，a =M 时不存在P 数列．
1 −1
（1）当 M 为奇数时，
因为存在以 M − 1 为首项的 P
− 1
数列 a
1
, a
2
, , a
m
，
所以 M , a
1
, a
2
, , a
m
就是首项为 M 的 P
− 1
数列，与假设矛盾．
（2）当 M 为偶数时，
因为存在以
M
2
为首项的 P
− 1
数列 a
1
, a
2
, , a
m
，
所以 M , a
1
, a
2
, , a
m
就是首项为 M 的 P
− 1
数列，与假设矛盾．
综上， a
1
的所有可能取值为全体大于1的正整数．
a +1， a 为奇数，
 n n
（Ⅲ）依题意，a =a
n+1  n， a 为偶数,
 2 n
a
m
= 1 ， a
m − 1
= 2 ， a
m − 2
= 4 ，… .
（1）先证明d =2符合题意，即 2 lo g
2
a
1
+ 2  m ．
当 m = 2 时，显然成立．
当 m  3 时，对任意 a
i
 3
a +1 a a 
，a  i , i +1, i．故
i+2  2 2 4
a
i+ 2

a
2
i + 1 ，即 a
i
− 2  2 ( a
i+ 2
− 2 ) ．
（i）当m=2t+1(t=1,2, )时，
m−1
有a −22t−1(a −2)=2t，a 2t +2=2 2 +2．
1 m−2 1
所以 2 lo g
2
a
1
+ 2  2 lo g
2
( 2
m −2 1
) + 2 = m + 1  m ．
（ii）当 m = 2 t + 2 ( t = 1 , 2 , ) 时，
有 a
2
− 2  2 t− 1 ( a
m − 2
− 2 ) = 2 t
m m
−1 −1
，a 2t +2=22 +2，a a −1=22 +1．
2 1 2
m
−1
所以2log a +22log (22 )+2=m．
2 1 2
（2）再证明d2．对任意的偶数m=2t(t=2,3, )，令
高三数学参考答案 第9页（共9页）
a
n
=

2
2
m
m
− n2
− n
2
− 1
+
1
， + 1 n = 1 , 3 ,
， 2 n = 2 , 4 ,
， n = m
, m
, m
.
−
−
1
2
，
，
（i）先验证 { a
n
} 为 P
1
数列：
当 n = 1 , 3 , , m − 3
m−n−1 m−(n+1)
时，a =2 2 +1为奇数，a =2 2 +2=a +1，符合②．
n n+1 n
当 n = 2 , 4 , , m − 2 时， a
n
= 2
m −2 n
+ 2 为偶数， a
n + 1
= 2
m − (n +2 1)− 1
+ 1 =
1
2
a
n
，符合②．
当 n = m − 1 时， a
m − 1
= 2 ， a
m
= 1 ，符合②．
又{a }符合①，所以{a }为P数列．
n n 1
（ii）下面证明 d  2 不符合题意．
假设 d  2 ．
因为  m = 2 t ( t = 2 , 3 , ) ， d  m − 2 lo g
2
a
1
= m − 2 lo g
2
( 2
m2
− 1
+ 1 ) = 2 − 2 lo g
2
(1 + 2
1−
m2
) ．
即  m = 2 t ( t = 2 , 3 , )
d
1−
，m2−2log (2 2 −1)，矛盾．
2
综上， d 的最小值为2．