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2025 年北京市海淀区高三上学期期末数学试卷
本试卷共9页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式化简集合 ，再利用并集的定义求解即得.
【详解】集合 ，而 ，
所以 .
故选：B
2. 在 的展开式中， 的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二项式定理求出 项即可得该项系数.
【详解】二项式 的展开式中，含 的项为 ，
所以 的系数为 .
故选：A
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学科网（北京）股份有限公司3. 若复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数模及除法运算计算得解.
【详解】依题意， .
故选：A
4. 抛物线 的焦点为 ，点 在 上，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，求出 ，再利用抛物线定义求得答案.
【详解】抛物线 的准线方程为 ，由点 在 上，得 ，
所以 .
故选：C
5. 已知直线 与圆 交于 两点，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，再由勾股定理计算可得.
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，
直线 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以圆心到直线的距离 ，
所以 .
故选：B
6. 已知等差数列 的前 项和为 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式及前 项和公式求解即可.
【详解】设等差数列 的公差为 ，由 ，
得 ，解得 ，
所以 .
故选：B
7. 已知椭圆 的焦点在 轴上，点 ，则（ ）
A. 在 外 B. 的长轴长为
C. 在 内 D. 的焦距为
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆方程及焦点位置求出 的范围，即可判断.
【详解】因为椭圆 的焦点在 轴上，所以 ，
则 的长轴长为 ，焦距为 ，故B、D错误；
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以点 在 外，故A正确，C错误.
故选：A
8. 设函数 ，则“ ”是“ 没有极值点”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数 的导数，利用极值点的意义，及充分条件、必要条件的定义判断得解.
【
详解】函数 ，求导得 ，
当 时， ，当且仅当 时取等号，则 在R上单调递增，无极值点；
若 没有极值点，则 没有变号零点，因此 ，解得 ，
所以“ ”是“ 没有极值点”的充分必要条件.
故选：C
9. 如图，正方体 的棱长为2， 分别为棱 的中点， 为正方形 边
上的动点（不与 重合），则下列说法中错误的是（ ）
A. 平面 截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形
B. 存在点 ，使得直线 与平面 垂直
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学科网（北京）股份有限公司C. 平面 把正方体分割成的两个几何体的体积相等
D. 点 到平面 的距离不超过
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断ABD；利用过正方体中心的截面分正方
体所成两部分体积关系判断C.
【详解】在棱长为2的正方体 中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
对于A， ，即 ，而 直线 ，则 ，
又 ，因此四边形 为平行四边形，又 ，
则四边形 为菱形，当点 与 重合时，平面 截正方体表面所得的交线形成的图形是菱形，
A正确；
对于B， ， ，即 与 不垂直，
而 平面 ，因此直线 与平面 不垂直，B错误；
对于C，线段 的中点 为正方体 的中心，平面 过该正方体的中心，
由对称性，平面 把正方体分割成的两个几何体的体积相等，C正确；
对于D，当点 时， ， ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ， ， 平面 ，于是 平面 ，
此时点 到该正方体中心 的距离 即为点 到平面 的距离，
是点 到过 的所有截面距离最大值，因此点 到平面 的距离不超过 ，D正确.
故选：B
10. 2023年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多200万元；
乙公司每个月盈利比前一个月增加 . 记甲、乙两公司在2023年第 个月的盈利分别为 ，
（单位：万元）. 已知 ， ，则 最大时， 的值为（ ）
（参考数据： ， ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列、等比数列求出 ， 及 ，再构造数列并判断
单调性得解.
【详解】依题意， ， ，
则 ，令 ，
则 ， ，
因此当 时， ；当 时， ，即 最大，
所以当 最大时， .
故选：B
【点睛】思路点睛：求出 的表达式，再构造数列作差判断单调性求出最大值点.
第二部分（非选择题 共110分）
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学科网（北京）股份有限公司二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 双曲线 的渐近线方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先把双曲线化简成标准方程，直接得出渐近线方程.
【详解】由 得
所以渐近线方程为
故答案为 .
【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.
12. 已知向量 ， ，则 _________， 的最小值为_________.
【答案】 ①. (0,1) ②.
【解析】
【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示求出 ，从而求出 ，再根据向量模的坐标表示计算可得.
为
【详解】因 ， ,
所以 ，
则 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 .
故答案为： ；
13. 已知 为等腰三角形，且 ，则 _________.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ##0.75
【解析】
【分析】利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求出 .
【详解】在 中，令内角 所对边分别为 ，
由 及正弦定理，得 ，显然 为底边，否则不能构成三角形，
由余弦定理得 .
故答案为：
14. 已知函数 存在最小值，则 的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】分 、 、 三种情况讨论，分别说明函数的最小值，即可求出参数的取值范围.
【详解】当 时， 在 上单调递增，
且当 时 ，显然 不存在最小值，故舍去；
当 时， ，则当 时 ，
所以 的最小值为 ，符合题意；
当 时，当 时 ，所以 在 上单调递减，在 上
单调递增， ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时 ，则 在 上单调递减，
要使函数存在最小值，则 ，解得 ，此时 ；
综上可得 的取值范围是 .
故答案为：
15. 已知曲线 . 给出下列四个结论：
①曲线 关于直线 对称；
②曲线 上恰好有 个整点（即横、纵坐标均是整数的点）；
③曲线 上存在一点 ，使得 到点 的距离小于 ；
④曲线 所围成区域的面积大于 .
其中，所有正确结论的序号为_________.
【答案】②④
【解析】
【分析】根据曲线方程分析曲线的性质，有曲线 为封闭曲线，过点 ，关于 轴对称，
画出曲线大致图形，结合圆 、四边形 在曲线 内部判断各项的正误.
【详解】由 ，则 且 ，易知曲线 为封闭曲线，
所以 ，易得 ，故 ，
时 ； 时 ； 时 ，
故曲线过点 ，显然 不关于直线 对称，①错；
对于曲线上任意点 ，其关于 轴对称点为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，故曲线关于 轴对称，
综上，曲线的大致图形如下图示，显然曲线 上恰好有 个整点，②对；
由圆 过点 ，故圆上点均在曲线上或内，
所以曲线 上不存在点 ，使得 到点 的距离小于 ，③错；
如图中，四边形 在曲线 内部，故曲线 所围成区域的面积大于 ，④对.
故答案为：②④
【点睛】关键点点睛：根据曲线方程分析出曲线的相关性质，并画出大致图形为关键.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 已知函数 .
（1）求曲线 的两条对称轴之间距离的最小值；
（2）若 在区间 上的最大值为 ，求 的值.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数 ，再求出函数图象的对称轴方程即可.
（2）分析函数 在 的性质，确定最大值点，再结合函数值求出 .
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
函数
由 ，解得
所以曲线 的两条对称轴之间的距离最小值为 ．
【小问2详解】
当 时， ，
由 在区间 上的最大值为 ，得 ，
而正弦函数 在 上单调递减，则 在 上单调递减，
因此 ， ，解得 ，
所以 的值是 .
17. 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ， ， ， 是
的中点， 在棱 上，且 平面 .
（1）求证： 是 的中点；
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学科网（北京）股份有限公司的
（2）再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面 与平面 夹角 余弦值.
条件①：平面 平面 ；
条件②： .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）证明见解析；
（2）所选条件见解析， .
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，线面平行的性质有 ，结合 得到
为平行四边形，即可证结论；
（2）根据所选条件，构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值.
【小问1详解】
取 的中点 ，连接 ，又 是 的中点，则 且 ，
由 在棱 上，底面 为矩形，则 ，故 ，
由 平面 ，且面 面 ，则 ，
所以 为平行四边形，故 ，
所以 是 的中点，得证；
【小问2详解】
选①：面 面 ，面 面 ， ， 面 ，
所以 面 ，又底面 为矩形，可构建如下图示的空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
所以 ，设面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
显然面 的一个法向量为 ，故 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值 ；
选②：连接 ，底面 为矩形，则 ，而 ， ，
所以 ，即 ，又 ， 都在面 内，
所以 面 ，又底面 为矩形，可构建如下图示的空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，设面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
显然面 的一个法向量为 ，故 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值 ；
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学科网（北京）股份有限公司18. 某校为评价学生参加选修课的学习效果，组织了选修课学习的过程性评价测试. 选修课程甲的所有学生
的原始成绩统计如下：
原始成
8.75 8.25 8.25 6.75 6.75 6.5 6 5.5 5.25 4.25 3.75 3.25
绩
排名 1 2 2 4 4 6 7 8 9 10 11 12
（1）从这12名学生中随机抽取2人，求这2人原始成绩不同的概率；
（2）对课程甲采取“四分位数赋分法”进行赋分，记选修该课程的总人数为 ，规定原始成绩排名为 的
学生赋分成绩如下：
当 时，赋分成绩为100分；当 ，赋分成绩为85分；
当 时，赋分成绩 70分；当 时，赋分成绩为60分.
为
①从课程甲的原始成绩不低于 的学生中随机抽取 人，记 为这 人赋分成绩之和，求 的分布列和
数学期望；
②选修课程乙的所有学生的原始成绩统计如下：
原始成绩 9.75 8 8 7.5 7.5 6 5.75 5.75
排名 1 2 2 4 4 6 7 7
原始成绩 5 4.75 4.5 4.5 4.25 4 3.75 3.5
排名 9 10 11 11 13 14 15 16
对课程乙也采取“四分位数赋分法”进行赋分. 现从课程甲、课程乙的学生中分别随机抽取1人，记这2人的
赋分成绩分别为 ，直接写出数学期望 和 的大小关系.
【答案】（1） ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）①分布列见解析，数学期望为185；② .
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率公式，结合组合计数问题列式计算.
（2）①根据表格中数据，原始成绩不低于 的学生赋分成绩，再求出 的可能值及对应的概率，列出
分布列求出期望；②求出课程甲、乙的赋分成绩，再求出期望北比较大小.
【小问1详解】
设“从这12名学生中随机抽取2人，且2人原始成绩不同”为事件 ，
依据题中数据，仅有排名为2和4的两对学生原始成绩相同，
由古典概型，得 .
【小问2详解】
①根据题中数据，课程甲中原始成绩不低于 的学生共有6人，
赋分依次为100，100，100，85，85，85，则 的所有可能值为170，185，200，
，
所以 的分布列如下：
170 185 200
.
②对课程甲进行赋分，赋分依次为：100,100,100,85,85,85,70,70,70,60,60,60，
对课程乙进行赋分，赋分依次为：100,100,100,100,100,85,85,85,70,70,70,70,60,60,60,60，
因此 ，
；
，
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学科网（北京）股份有限公司，
所以 .
19. 已知椭圆 的左顶点为 ，离心率 .
（1）求 的标准方程；
（2）设点 为 上异于顶点的一点，点 关于 轴的对称点为 ，过 作 的平行线 ， 与 的另一
个交点为 . 当 与 不重合时，求证： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据离心率及左顶点，求出 、 ，即可得解；
（2）设 ， ，则 ，从而得到直线 的方程，联立直线与椭圆方程，消元，求
出 ，即可得到 ，得到 ，即可得证.
【小问1详解】
依题意可得 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
【小问2详解】
设 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ，得直线 的斜率 .
由 得直线 的斜率 .
由 经过点 得直线 的方程 .
由 ，得 ，
由韦达定理
得 .
所以 .
因为 ， ，
由于 不重合，所以 ，所以
所以 .
因为两条直线不重合，所以 .
20. 已知函数 .
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学科网（北京）股份有限公司（1）当 时，求 的定义域；
（2）若 在区间 上单调递减，求 的取值范围；
（3）当 时，证明：若 ， ，则 .（参考数据： ，
， ）
【答案】（1） ；
（2） ；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据对数、分式性质求函数定义域；
（2）对函数求导，根据题设有 在 上恒成立，构造函数研究最值，列不等式求参
数范围.
（3）应用导数分别求在 、 上的最值，进而得到 、 ，即可证结论.
【小问1详解】
由题设 ，则 ，故定义域为 .
【小问2详解】
由 ，则必有 ，且 ，
由 在区间 上单调递减，则 在 上恒成立，
令 且 ，则 ，
在 上 ，则 单调递增，故 ，
所以 .
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学科网（北京）股份有限公司【小问3详解】
当 ，则 ，且 ，
设 ，则 ，
当 ，则 ，当 ，则 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 ，
0
0
单调递
极小值 单调递增
减
；
当 ， ， ，故 使 ，
0
0
单调递增 极大值 单调递减
由 ，又 ，则 ，
综上， 得证.
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点点睛：第三问，应用导数求出 在 、 上的最值为关键.
21. 已知 为各项均为整数的无穷递增数列，且 . 对于 中的任意一项 ，在 中
都存在两项 ，使得 或 .
（1）若 ， ，写出 的所有可能值；
（2）若 .
①当 时，求 的最大值；
②当 时，求 的最小值.
【答案】（1） 的所有可能值为7，9，15，17．
（2）①1013；② 的最小值为7.
【解析】
【分析】（1）求出 或 ，再分类讨论即可；
（2）首先分析得当 时符合题意且 ，再利用反证法证明即可；
（3）首先证明 时存在符合条件的 ，再证明 即可.
【
小问1详解】
或 ，
当 时，因为 ，符合条件；
则 或 或 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司又因为 为各项均为整数的无穷递增数列，则 或 .
当 时， 则 或 或 或 ，
当 时， ，符合题意，
当 时， ，符合题意，
当 或27，此时不满足数列为递增数列，故舍去，
综上， 的所有可能值为7，9，15，17．
【小问2详解】
① 的最大值为1013，理由如下：
（i）当 时符合题意且 ．
（ii）假设 中存在偶数，且首个偶数为 ，
因为 为递增数列，所以存在 ，使得a =2a −a =a +(a −a )>a 或 ，进而
k j i j j i j
有 ．
所以 为奇数，此时 均不为偶数，与 为偶数矛盾．
所以 中各项均为正奇数，
又因为 为递增数列，所以 ，
即 ．
综上 的最大值为1013．
② 的最小值为7，理由如下：
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学科网（北京）股份有限公司（i）首先证明 时存在符合条件的 ：
当 前7项为$1，2，3，9，27，45，2025$时 ，
且可构造 的后续项使其符合题意（如可取 ．
（ii）其次证明 ．
由题，当 时， ，
a2 a2
所以 j ≤ j =a2,a2−(2a −a )=a2−2a +a =a (a −2)+a >0，
a2 a2 j j j i j j i j j i
i 1
进而有 ，
所以 ，
所以 ．
（iii）最后证明 ．
假设存在 符合题意且 ，
因为 ，所以当 时， ，
所以存在 ，有 ，从而 ，
所以 ，所以 ，从而 ，且 因为 ，
所以当 时， ，
所以存在 ，有 ，从而 为整数，
又因为 ，所以 为5的倍数，与 矛盾．
综上有 的最小值为7．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是分为两部分证明，第一部分证明 满足题意，再证明
即可.
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学科网（北京）股份有限公司
