文档内容
2021-2022 学年北京市海淀区师达中学九年级（上）月考数学试卷
（12 月份）
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1. 如图，将给出的四张扑克牌摆成第一行的样子，然后将其中的一张扑克牌旋转180°成第二行的样子，那
么被旋转过的那张扑克牌应该是从左数（ ）
A. 第一张 B. 第二张 C. 第三张 D. 第四张
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转的性质，找出四张牌中成中心对称的一张即可．
【详解】解：被旋转过的1张牌是从左数第二张牌． 理由如下：
第一张牌，因为最中间的图案不是中心对称，所以不是中心对称图形，
第二张牌是中心对称图形，
第三张牌，因为最中间只有一张，所以不是中心对称图形，
第四张牌，因为最中间 的图案不是中心对称，所以不是中心对称图形，
∵将其中的1张牌旋转180°成第二行的样子，
∴被旋转过的1张牌是从左数第二张．
故选B
【点睛】本题考查的是中心对称图形的定义，掌握“中心对称图形的定义”是解本题的关键.
2. 二次函数 的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用抛物线开口方向可对A选项进行判断；利用对称轴位于x轴正半轴，则可对B选项进行判断；
利用抛物线与y轴的交点位置可对C选项错误；根据抛物线与x轴的交点数，可对D选项进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，所以A选项错误；
∵对称轴位于x轴正半轴，
∴ ，a＞0，
∴b＜0，所以B选项错误；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，所以C选项错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ ，所以D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛
物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二
次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即
ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与
x轴交点个数由Δ=b2-4ac决定：Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴
有1个交点；Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．3. 抛物线y＝x2+4x+5的顶点坐标是（ ）
A. （2，5） B. （2，1） C. （﹣2，5） D. （﹣2，1）
【答案】D
【解析】
【分析】利用顶点公式（﹣ ， ），进行解题．
【详解】解：∵抛物线y＝x2+4x+5
∴x＝﹣ ＝﹣ ＝﹣2，y= ＝1
∴顶点为（﹣2，1）
故选：D．
【点睛】此题主要考查二次函数的顶点坐标，解题的关键是熟知二次函数的顶点公式为（﹣ ，
）．
4. 如图，在测量旗杆高度的数学活动中，小达同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子
中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面 米，同时量得 米， 米，则旗杆高度 为
（ ）
A. 7.5米 B. 米 C. 7米 D. 9.5米
【答案】A
【解析】
【分析】由平面镜反射可得： 再证明 再利用相似三角形的性质可得答
案.【详解】解：由平面镜反射可得：
米， 米， 米，
解得： ，经检验：符合题意，
旗杆高度 为7.5米.
故选A
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，掌握“利用相似三角形的性质列方程求解”是解本题的关键.
5. 如图，在 中， 、 两点分别在 、 边上， ．若 ，则
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由 ，证明 再利用相似三角形的性质可得答案.
【详解】解：故选D
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”是解
本题的关键.
6. 如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B的切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝50°，则∠ACB的大
小是（ ）
A. 65° B. 60° C. 55° D. 50°
【答案】A
【解析】
【详解】分析：由PA、PB⊙o的切线,可得∠OAP=∠OBP=90°,根据四边形内角和,求出∠AOB,再根据圆周角
定理即可求∠ACB的度数.
详解：连接OB，如图，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
而∠AOB=∠OCB+∠OBC，
∴∠OCB= ×130°=65°，
即∠ACB=65°．
故选A．
点睛：本题考查了切线的性质,圆周角定理,解决本题的关键是连接OB,利用直径对的圆周角是直角来解答.7. 下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：
题目 测量铁塔顶端到地面的高度
测量目标示意
图
相关数据 ， ，
设铁塔顶端到地面的高度 为 ，根据以上条件，可以列出的方程为( )
.
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由 得DH=FH=CE，故在Rt△EFC中使用 = 即可列出方程.
【详解】∵ ，∴DH=FH，
则FH=CE，
设 为 ，CE=x-10,
在Rt△EFC, = =
即 ，选A.
【点睛】此题主要考察三角函数的应用.
8. 如图，过半径为6的⊙O上一点A作⊙O的切线 ，P为⊙O上的一个动点，作PH⊥ 于点H，
连接PA．如果PA= ，AH=y，那么下列图象中，能大致表示 与 的函数关系的是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：作直径AB，连接BP．
∴∠APB=90°，
∴∠B+∠BAP=90°，
∵l是切线，
∴∠BAH=90°，
∴∠PAH+∠BAP=90°，
∴∠PAH=∠B，
∵PH⊥AH，
∴∠BPA=∠AHP=90°，
∴△APB∽△PHA，
∴AB：AP=PA：PH，
∴12：x=x： ，
∴ ，
观察图象，只有C符合，故选C．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处．若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′＝∠B，把求tanB′的问题，转化为在
Rt△BCD中求tanB．
【详解】解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．
根据旋转性质可知，∠B′＝∠B．
在Rt△BCD中，tanB＝ ＝ ，
∴tanB′＝tanB＝ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．
10. 如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 ，则折痕 的长为______cm．
【答案】【解析】
【分析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．
【详解】解：作OD⊥AB于D，连接OA．
根据题意得：OD= OA=1cm，
再根据勾股定理得：AD= cm，
根据垂径定理得：AB=2 cm．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理以及垂径定理．注意由题目中的折叠即可发现OD=
OA=1．
11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′顶点的横、纵坐标都是整数．若△ABC与
△A′B′C′是位似图形，则位似中心的坐标是__．
【答案】（8，0）
【解析】
【分析】
【详解】位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线．解：直线AA′与直线BB′的交点坐标为（8，0），所以位似中心的坐标为（8，0）．
故答案为（8，0）．
“点睛”本题考查位似中心的找法，各对应点所在直线的交点即为位似中心．
12. 抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（3，
0），则点Q的坐标为______．
【答案】（-1，0）
【解析】
【分析】根据抛物线的对称轴结合点P的横坐标，即可求出点Q的横坐标，此题得解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，点P的坐标为（3，0），
∴点Q的横坐标为1×2-3=-1，
∴点Q的坐标为（-1，0）．
故答案为：（-1，0）．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，牢记抛物线的对称性是解题的关键．
13. 如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在AD的F处，若AB：BC＝2：3，则cos∠DCF值为＝
_____．
【答案】
【解析】
【分析】由四边形ABCD是矩形，AB：BC＝2：3，设AB＝2m，则BC＝3m，可得CF＝3m，从而解决问
题．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AB：BC＝2：3，
设AB＝2m，则BC＝3m，
∴AB＝CD＝2m，AD＝BC＝CF＝3m，∠D＝90°，
∴cos∠DCF＝ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查翻折变换(折叠问题)，翻折对称的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，解题关键是掌握翻折对称的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义．
14. 如图， 中，点 在边 上，且 ，若 ， ，则 的长为
______．
【答案】2
【解析】
【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出
，代入AC、AD的值可求出AB的长，再根据BD=AB-AD即可求出结论．
【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴ ．
∵AC= ，AD=1，
∴ ，
∴AB=3，
∴BD=AB-AD=3-1=2．
故答案为2
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键．
15. 如图，点E在 ABCD的边CD的延长线上，连接BE分别交AD、AC于F、G．图中相似的两个三角
形共有 _____对．▱
【答案】6【解析】
【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可．
【
详解】解：∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB∥DC
∵△ABG∽△CEG，△AGF∽△CGB，△EFD∽△EBC，△ABF∽△DEF，△ABF∽△EBC五对，还有一对
特殊的相似即△ABC≌△ADC，
∴共6对．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形的判断方
法，属于中考常考题型．
16. 若关于 的一元二次方程 （ 为实数）在 的范围内有解，则 的取值范围是
______．
【答案】
【解析】
【分析】由方程有解转化为考查函数 两个函数的交点情况，再画出两个函数的图象，
结合函数图象可得答案.
【详解】解：
考查函数 两个函数的交点情况，如图，当
当 时，
当 ，两个函数 有交点时，
此时
关于 的一元二次方程 （ 为实数）在 的范围内有解，则 的取值范围是
故答案为：
【点睛】本题考查 的是二次函数的图象与一元二次方程的联系，掌握“利用二次函数的图象解决一元
二次方程的解的问题”是解本题的关键.
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分；第22题6分，第23题5分，第24-26题，每
题6分；第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先分别求解特殊角的三角函数值，再代入计算即可.
【详解】解：
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的记忆与运算，熟练的运用特殊角的三角函数值进行计算是解
本题的关键.
18. 如图，把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝
6cm，DC＝7cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D'CE'（如图乙）．这时AB与CD'相交于点
O，D'E'与AB相交于点F．求线段AD'的长．【答案】5cm
【解析】
【分析】由旋转的性质可得∠D'CE'＝60°，∠BCE'＝15°，可求∠COB＝90°，由等腰直角三角形的性质
可求AO＝CO＝BO＝3cm，由勾股定理可求解．
【详解】解：∵∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，
∴∠DCE＝60°，∠B＝45°
∵把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D'CE'，
∴∠D'CE'＝60°，∠BCE'＝15°，
∴∠OCB＝45°，
又∵∠B＝45°，
∴∠COB＝90°，
又∵△ACB是等腰直角三角形，
∴AO＝CO＝BO＝3cm，
∴D'O＝4cm，
∴AD'＝ ＝ ＝5cm．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运
用这些性质解决问题是解题的关键．
19. 下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，⊙O及⊙O上一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图，作射线OP；
① 在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；②连接并延长BA与⊙A交于点C；
③作直线PC；
则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵ BC是⊙A的直径，
∴ ∠BPC=90° （填推理依据）．
∴ OP⊥PC．
又∵ OP是⊙O的半径，
∴ PC是⊙O的切线 （填推理依据）．
【答案】（1）见解析；（2）直径所对的圆周角是直角；过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切
线
【解析】
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据圆周角定理得到∠BPC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论．
【详解】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；
（2）证明：∵BC是⊙A的直径，
∴∠BPC=90°（圆周角定理），
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线（切线的判定）．
故答案为：圆周角定理；切线的判定．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．
20. 如图， 中， ， ， ，求 的长．【答案】5
【解析】
【分析】过点C作CD⊥AB于D，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD，然后根据勾股定理求
出 ，最后根据∠B的正切值求出BD，即可得解．
【详解】解：如图所示，过点C作CD⊥AB于点D ，
∴∠ADC=∠BDC=90°
∵∠A=30°， ，
，
∴
∵ ，
∴BD＝2，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理和含30度直角三角形的性质，解题关键是作辅助线构造
出两个直角三角形．
21. 补图并证明．如图 ， ， ，连接 、 ，求证：
．【答案】证明见解析
【解析】
【分析】先证明 可得 从而可得结论.
【详解】解：如图，连接
， ， ，
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE
即∠ACD=∠BCE
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定，掌握“两边对应成
比例且夹角相等的两个三角形相似”是解本题的关键.22. 如图， 、 均为同圆中的两条弦，且 ．
（1）判断 与 的关系（ ）
A． B．
C． D．以上三种情况均有可能
（2）若点 为 的中点，连接 并延长交 于点 ，求证：
【答案】（1）B；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由 证明 的度数为： 得到 组成一个半圆，则
也组成一个半圆，从而可得答案；
（2）由 为 的中点，证明 再证明 从而
可得答案.
【详解】解：（1）
的度数为：
即 组成一个半圆，
也组成一个半圆，，
故选B
（2） 为 的中点，
【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，圆周角与弧
之间的关系，熟练的运用以上知识解题是解题的关键.
23. 如图是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为
多少米？请你以点 为原点、 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，解决这个实际问题．
【答案】水面下降1米，此时水面宽度为 米.
【解析】
【分析】如图，以 为坐标原点， 所在的直线为 轴建立直角坐标系，再根据坐标系得到
且 为抛物线的顶点，再利用待定系数法求解抛物线的解析式，求解当时，自变量的值，从而可得答案.
【详解】解：如图，以 为坐标原点， 所在的直线为 轴建立直角坐标系，
结合题意可得：
且 为抛物线的顶点，
设抛物线为：
所以抛物线的解析式为：
当水面高度下降1米时，即
解得：
所以水面宽度为： ，
答：水面下降1米，此时水面宽度为 米.
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，熟练的按照要求建立平面直角坐标系，并求解二次函数的解
析式是解本题的关键.24. 已知： 中， 为 上的中线，点 在 上，且 ，射线 交 于点 ．求
的值．
【答案】
【解析】
【分析】如图，过 作 交 于 证明 可得：
从而可得答案.
【详解】解：如图，过 作 交 于为 的中点，
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握“利用相似三角形的对应边成比例建立比例式”是
解本题的关键.
25. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E在AB上，以AE为直径的 O切BC于点D，连接AD．
⊙
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若 O的半径为5，sin∠DAC＝ ，求BD的长．
⊙
【答案】（1）见解析 （2）BD＝
【解析】
【分析】（1）连接OD．先依据平行线的判定定理证明OD∥AC，然后依据平行线的性质和等腰三角形的
性质证明∠OAD＝∠DAC，于是可证明AD平分∠BAC．
（2）连接ED、OD．由题意可知AE＝10．接下来，在△ADA中，依据锐角三角函数的定义可求得AD的
长，然后在△ADC中，可求得DC和AC的长，由OD∥AC可证明△BOD∽△BAC，然后由相似三角形的
性质可列出关于BD的方程．
【小问1详解】
解：如图1所示：连接OD．∵BC与圆O相切，
∴OD⊥BC．
∴∠ODB＝90°．
∵∠C＝90°，
∴∠C＝∠ODB．
∴OD∥AC．
∴∠ODA＝∠DAC．
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA．
∴∠OAD＝∠DAC．
∴AD平分∠BAC．
【小问2详解】
如图2所示：连接ED．
∵ O的半径为5，AE是圆O的直径，
∴⊙AE＝10，∠EDA＝90°．
∵∠EAD＝∠CAD，sin∠DAC＝ ，
∴sin∠EAD＝ ，在Rt△ADE中，DE＝AE×sin∠EAD= ×10＝2 ．
∴
在Rt△ADC中，DC＝DC×sin∠EAD= ×4 ＝4，
∴ ．
∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC．
∴ ，即 ，
解得：BD＝ ．
【点睛】本题主要考查的是切线的性质、平行线的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数的定义、
相似三角形的判定和性质，列出关于BD的方程是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+（1-2a）x-2（a≠0）与y轴交于点C．（1）当a=1时，该抛物线与x轴的两个交点为A，B（点A在点B左侧），求点A，B的坐标；
（2）若该抛物线与（1）中的线段AB总有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
【答案】（1）A（-1，0），B（2，0）；（2）a的取值范围为a≥1或a＜- ．
【解析】
【分析】（1）先由a=1得到抛物线解析式；解方程x2-x-2=0得A（-1，0），B（2，0）；
（2）先判断抛物线y=ax2+（1-2a）x-2（a≠0）必过点C点和B点，再讨论：当a＞0，利用x=-1时，y≥0时
得到a-1+2a-2≥0，解不等式得到a的范围；②当a＜0时，当顶点为B点，利用△=（1-2a）2-4a•（-2）
=0，得a=- ，从而判断a＜- 时抛物线与线段AB总有两个公共点．
【详解】解：（1）当a=1时，抛物线为y=x2-x-2，
∴点C的坐标为（0，-2），
令y=0，则x2-x-2=0，解得x=-1，x=2，
1 2
∵A在点B左侧，
∴A（-1，0），B（2，0）；
（2）当x=0时，y=ax2+（1-2a）x-2=-2；
当x=2时，y=ax2+（1-2a）x-2=0，
所以抛物线y=ax2+（1-2a）x-2（a≠0）必过点C（0，-2）和B（2，0）；①当a＞0，当x=-1时，y≥0时，抛物线与线段AB总有两个公共点，
即a-1+2a-2≥0，
解得a≥1；
②当a＜0时，当顶点为B点时，△=（1-2a）2-4a•（-2）=0，
解得a=- ，则a＜- 时抛物线与线段AB总有两个公共点，
综上所述，a的取值范围为a≥1或a＜- ．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方
向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
27. 如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，过点F作EF⊥BC，且FE＝FC（CE＜CB），连接
CE、AE，点G是AE的中点，连接FG．
（1）用等式表示线段BF与FG的数量关系： ；
（2）将图1中的△CEF绕点C按逆时针旋转，使△CEF的顶点F恰好在正方形ABCD的对角线AC上，点
G仍是AE的中点，连接FG、DF．
①在图2中，依据题意补全图形；
②用等式表示线段DF与FG的数量关系并证明．【答案】（1）BF＝ FG
（2）①见解析；②DF＝ FG，证明见解析
【解析】
【
分析】（1）连接CG、BG，根据正方形的性质得出△CBG和△ABG中相等的边和角，证明
△CBG≌△ABG，得出∠GBF＝45°，再证明△CFG≌△EFG，得出∠CFG＝∠EFG＝135°，则∠GFB＝
45°，于是得出△GBF是等腰直角三角形，则BF＝ FG；
（2）①根据题意，画出△CEF绕点C逆时针旋转到点F落在AC上时的图形即可；
②类比①中的方法和结论，可得DF＝ FG，连接BG、BF，先证明△BAF≌△DAF，则BF＝DF，再
由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明FG＝AG，BG＝AG，则FG＝BG，由等腰三角形的性质和
三角形内角和定理的推论证明∠FGB＝2∠BAF＝2×45°＝90°，则△GBF是等腰直角三角形，于是得
DF＝BF＝ FG．
【小问1详解】
解：BF＝ FG，
理由：如图1，连接CG、BG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CG＝AB，∠ABC＝90°，
∴∠BCA＝∠BAC＝45°，
∵EF⊥BC，
∴∠CFE＝90°，
∵FE＝FC，
∴∠FCE＝∠FEC＝45°，
∴∠ACE＝90°，
∵G是AE的中点，
∴CG＝ AE＝AG＝EG，
∵BG＝BG，
∴△CBG≌△ABG（SSS），∴∠CBG＝∠ABG＝ ∠ABC＝45°，
∵CG＝EG，FC＝FE，FG＝FG，
∴△CFG≌△EFG（SSS），
∴∠CFG＝∠EFG＝ （360°﹣90°）＝135°，
∴∠GFB＝180°﹣∠CFG＝45°，
∴∠GBF＝∠GFB＝45°，
∴∠BGF＝90°，
∴BG＝FG，
∵BF2＝BG2+FG2＝2FG2，
∴BF＝ FG，
故答案为：BF＝ FG．
【小问2详解】
①依据题意补全图形如图2.
②DF＝ FG，
证明：如图2，连接BG、BF，
∵∠FCE＝∠FCB＝45°，
∴当点F在AC上时，则点E在BC上，
∵AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∵AB＝AD，AF＝AF，
∴△BAF≌△DAF（SAS），
∴BF＝DF，∵∠AFE＝180°﹣∠CFE＝180°﹣90°＝90°，∠ABE＝90°，G是AE的中点，
∴FG＝ AE＝AG，BG＝ AE＝AG，
∴FG＝BG，
∵∠GAF＝∠GFA，∠GAB＝∠GBA，
∴∠EGF＝∠GAF+∠GFA＝2∠GAF，∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝2∠GAB，
∴∠FGB＝∠EGF+∠EGB＝2∠GAF+2∠GAB＝2∠BAF＝2×45°＝90°，
∴BF2＝FG2+BG2＝2FG2，
∴BF＝ FG，
∴DF＝ FG．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的
性质、勾股定理等知识，通过作辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到
两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同族点．如图P，Q两点即为同族点．
（1）已知点A的坐标为（﹣3，1），点B在x轴上，且A，B两点为同族点，则点B的坐标为 ；（2）直线l：y＝x﹣3，与x轴交于点C，与y轴交于点D，
①M为线段CD上一点，若在直线x＝n上存在点N，使得M，N两点为同族点，求n的取值范围；
②M为直线l上的一个动点，若以（m，0）为圆心， 为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族
点，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）（﹣4，0）或（4，0）
（2）①﹣3≤n≤3；②m≤﹣1或m≥1
【解析】
【分析】（1）因为点B在x轴上，所以设B（x，0），则|x|＝4，可得结论；
（2）①首先证明点M的横坐标与纵坐标的绝对值之和为定值3，然后画出图形即可解决问题；
②如图，设P（m，0）为圆心， 为半径的圆与直线y＝x﹣3相切，求出此时P的坐标，即可判断．
【小问1详解】
解：∵点A的坐标为（﹣3，1），
∴3+1＝4，
∵点B在x轴上，
∴点B的纵坐标为0，
设B（x，0），
则|x|＝4，
∴x＝±4，
∴B（﹣4，0）或（4，0）；
故答案为：（﹣4，0）或（4，0）；
【小问2详解】
①由题意，直线y＝x﹣3与x轴交于C（3，0），与y轴交于D（0，﹣3）．点M在线段CD上，设其坐标为（x，y），
则有：x≥0，y≤0，且y＝x﹣3．
∴x﹣y＝3．
点M到x轴的距离为|y|，点M到y轴的距离为|x|，
则|x|+|y|＝x﹣y＝3．
∴点M的同族点N满足横纵坐标的绝对值之和为3．
即点N在右图中所示的正方形CDFE上．
∵点F的坐标为（﹣3，0），点N在直线x＝n上，
∴﹣3≤n≤3；
②如图，设P（m，0）为圆心， 为半径的圆与直线y＝x﹣3相切，∵PN＝ ，∠PCN＝∠CPN＝45°，
∴PC＝2，
∴OP＝1，
观察图形可知，当m≥1时，若以（m，0）为圆心， 为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族
点，
再根据对称性可知，m≤﹣1也满足条件，
∴满足条件的m的范围：m≤﹣1或m≥1．
【点睛】本题考查一次函数综合题、同族点的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所
学知识解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
