文档文本内容
西 城 区 高 三 统 一 测 试 试 卷
数学答案及评分参考
2023.3
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（ 1 ）B （ 2 ）D （ 3 ）C （ 4 ）A （ 5 ）A
（ 6 ）C （ 7 ）D （ 8 ）B （ 9 ）D （10）B
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12）
（13） （14） （答案不唯一）
（15）①②④
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）在 中，由正弦定理得 ． ………2分
所以 ． ………4分
因为 ， ………5分
所以 ． ………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ． ………7分
由题设， ，即 为等腰三角形． ………8分
所以 ． ………10分
所以 的面积为． ………13分
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为 ，获得优秀的女生人数为 ，
所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为 ； ………2分
估计高三女生立定跳远单项的优秀率为 ． ………4分
（Ⅱ）由题设， 的所有可能取值为 ．
估计为 ； ………5分
估计为 ； ………6分
估计为 ； ………7分
估计为 ． ………8分
估计 的数学期望 ． ………10分
（Ⅲ） 与 相互独立． ………13分
（18）（共14分）
解：选条件①： ．
（Ⅰ）因为 ， 平面 ，
所以 平面 ． ………1分
因为平面 平面 ，
所以 ． ………2分
又 ， 所以四边形 为平行四边形．所以 且 ． ………3分
因为 且 ，所以 且 ．
所以 为 的中位线． ………5分
所以 为 的中点． ………6分
（Ⅱ）因为 平面 ，所以 ．
又 ，所以 两两相互垂直．
如图建立空间直角坐标系 ， ………7分
则 ， ， ， ， ， ．
所以 ， ， ．
设平面 的法向量为 ，则 即
令 ，则 ， ．于是 ． ………9分
因为 平面 ，且 ，所以 平面 ．
所以 ．
又 ，且 为 的中点，所以 ．
所以 平面 ，所以 是平面 的一个法向量． ………11分
． ………13分
由题设，二面角 的平面角为锐角，
所以二面角 的余弦值为 ． ………14分
选条件②： ．
（Ⅰ）因为 平面 ，所以 ．
在 中， ． ………1分
在直角梯形 中，
由 ， ，可求得 ，所以 ． ………2分因为 ，所以 为 的中点． ………3分
因为 ， 平面 ， 所以 平面 ．
因为平面 平面 ，所以 ． ………5分
所以 ．
所以 为 的中点． ………6分
（Ⅱ）以下同条件①．
（19）（共15分）
解：（Ⅰ） ． ………1分
所以 ， ． ………3分
所以曲线 在点 处的切线方程为 ． ………4分
（Ⅱ）由题设，
．
所以 ． ………6分
当 时，因为 ，
所以 ． ………8分
所以 在 上单调递增． ………9分
（Ⅲ） ． ………10分
证明如下：
设 ． ………11分
则 ． ………12分由（Ⅱ）知 在 上单调递增，
所以 ． ………13分
所以 ，即 在 上单调递增． ………14分
所以 ，即 ． ………15分
（20）（共15分）
解：（Ⅰ）当直线 与 轴垂直时，设其方程为 ． ………1分
由点 , 关于 轴对称，且 ，不妨设 ． ………2分
将点 的坐标代入椭圆 的方程，得 ，解得 ．………3分
所以直线 的方程为 ． ………4分
（Ⅱ）当直线 的斜率不存在时，由（Ⅰ）知 ． ………5分
当直线 的斜率存在时，设其方程为 ．
由 得 ． ………6分
由 ，得 ．
设 ， ，则 ， ． ………8分
因为 ，所以 ．
所以 ．
整理得 ． ………10分所以 ．
解得 ，从而 ． ………11分
设 ，其中 ．
则 ． ………12分
将 代入椭圆 的方程，得 ．
所以 ，即 ． ………13分
因为 ，所以 ，即 ． ………14分
综上， 的取值范围是 ． ………15分
（21）（共15分）
解：（Ⅰ）因为 ，同理 ．
又 ，同理 ．
所以集合 具有性质 ． ………4分
（Ⅱ）当 时，集合 中的元素个数为 ．由题设 ． ………5分
假设集合 具有性质 ，则
①当 时， ，矛盾．
②当 时， ，不具有性质 ，矛
盾．
③当 时， ．
因为 和 至多一个在 中； 和 至多一个在 中；
和 至多一个在 中，故集合 中的元素个数小于 ，矛盾．
④当 时， ，不具有性质 ，矛盾．
⑤当 时， ，矛盾．
综上，不存在具有性质 的集合 ． ………9分（Ⅲ）记 ，则 ．
若 ，则 ，矛盾．若 ，则 ，矛盾．故
．
假设存在 使得 ，不妨设 ，即 ．
当 时，有 或 成立．
所以 中分量为 的个数至多有 ．…11分
当 时，不妨设 ．
因为 ，所以 的各分量有 个 ，不妨设 ．
由 时， 可知， ， 中至多有 个 ，
即 的前 个分量中，至多含有 个 ．
又 ，则 的前 个分量中，含有
个 ，矛盾．
所以 ． ………14分
因为 ，
所以 ．
所以 ． ………15分
