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西 城 区 高 三 统 一 测 试 试 卷
数 学
2023.3
本试卷共 6 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷
上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分
（选择题 共 40 分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项。
（1）已知集合 ， ，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）下列函数中，在区间 上为增函数的是
（A） （B）
（C）
（D）
（3）设 ， ， ，则
（A） （B）
（C） （D）
（4）在 的展开式中， 的系数为
（A） （B）
（C） （D）
（5）已知 为 所在平面内一点， ，则
（A） （B）
（C） （D）（6）函数 是
（A）奇函数，且最小值为 （B）奇函数，且最大值为
（C）偶函数，且最小值为 （D）偶函数，且最大值为
（7）已知双曲线 的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“ 的离心率为 ”是“C
的
一条渐近线为 ”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 和燃料的质量 以及
火箭（除燃料外）的质量 间的关系为 ．若火箭的最大速度
为
，则下列各数中与 最接近的是
（参考数据： ）
（A） （B）
（C） （D）
（9）设 ，函数 若 恰有一个零点，则 的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（10） 名学生参加某次测试，测试由 道题组成．若一道题至少有 名学生未解出
来，则称此题为难题；若一名学生至少解出了 道题，则该生本次测试成绩合
格．如果这次测试至少有 名学生成绩合格，且测试中至少有 道题为难
题，那么 的最小值为
（A） （B）（C） （D）
第二部分
（非选择题 共 110 分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）若复数 ，则 ____．
（12）已知抛物线 的顶点为 ，且过点 ．若 是边长为 的等
边
三角形，则 ____．
（13）已知数列 的通项公式为 ， 的通项公式为 ．记数列
的前 项和为 ，则 ____； 的最小值为____．
（14）设 ，其中 ．当 时， ____；
当 时， 的一个取值为____．
（15）如图，在棱长为 的正方体 中，点 , 分别在线段 和 上．
给出下列四个结论：
① 的最小值为 ；
② 四面体 的体积为 ；
③ 有且仅有一条直线 与 垂直；
④ 存在点 , ，使 为等边三角形．
其中所有正确结论的序号是____．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
如图，在 中， ， ， 平分 交 于点 ， ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的面积．
（17）（本小题13分）
根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：
cm）：
立定跳远单项等级 高三男生 高三女生
优秀 及以上 及以上
良好 ~ ~
及格 ~ ~
不及格 及以下 及以下
从某校高三 男生和女生中各
随机抽取 名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到 ）：
男生：
女生：
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；
（Ⅱ）从该校全体高三男生中随机抽取 人，全体高三女生中随机抽取 人，设 为这 人
中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计 的数学期望 ；（Ⅲ）从该校全体高三女生中随机抽取 人，设“这 人的立定跳远单项既有优秀，又有
其它等级”为事件 ，“这 人的立定跳远单项至多有 个是优秀”为事件 ．判
断 与 是否相互独立．（结论不要求证明）
（18）（本小题14分）
如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
． 为棱 上一点，平面 与棱 交于点 ．再从条件①、条
件②这两个条件中选择一个作为己知，完成下列两个问题：
（Ⅰ）求证： 为 的中点；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答
计分．
（19）（本小题15分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）设 ，证明： 在 上单调递增；
（Ⅲ）判断 与 的大小关系，并加以证明．
（20）（本小题15分）
已知椭圆 ，点 在椭圆 上，且 （ 为原点）．设 的中点为 ，射线 交椭圆 于点 ．
（Ⅰ）当直线 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（Ⅱ）求 的取值范围．
（21）（本小题15分）
给定正整数 ，设集合 ．对于集合
中的任意元素 和 ，记 ．
设 ，且集合 ，对于 中任意元素 ，
若 则称 具有性质 ．
（Ⅰ）判断集合 是否具有性质 ？说明理由；
（Ⅱ）判断是否存在具有性质 的集合 ，并加以证明；
（Ⅲ）若集合 具有性质 ，证明： ．
