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延庆区 2022—2023 学年第二学期质量检测高三数学
2023.03
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将答题卡交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ，若 ，则 的值为
A. B. C. D.
2. 已知 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
.
3 若直线 与圆 相切，则 等于（ ）
A. B. C. D.
4. 若 ，则“ ”是“复数 是纯虚数”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
6. 为坐标原点，点 ， 的坐标分别为 ， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
7. ISO216是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定义了A，B系列的纸张尺寸．设型号为的纸张的面积分别是 ，它们组成一个公比为 的等比数
列，设型号为 的纸张的面积分别是 已知
，则 的值为（ ）
A. B. C. D. 2
8. 将 的图象向左平移 个单位，所得图象与 的图象关于 轴对称，则 （ ）
A. B.
C. D.
9. 若 外接圆的半径为1，圆心为 ， 且 ,则 等于
A. B. C. D.
10. 数列 中， ，定义：使 为整数的数 叫做期盼
数，则区间 内的所有期盼数的和等于（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知函数 的定义域为 ，且 ，则 的取值范围是_______．
12. 若双曲线 的焦距是 ，则实数 _______．
13. 如图，某地一天从 时至 时的温度变化曲线近似满足函数 ，其中 ，且函数在 与 时分别取得最小值和最大值. 这段时间的最大温差为___； 的一个取值为
___________.
14. 曲线 的一条对称轴是_______； 的取值范围是_______.
15. 四面体 的三条棱 两两垂直， ， ， 为四面体 外一点，
给出下列命题：
①不存在点 ，使四面体 三个面是直角三角形；
②存在点 ，使四面体 是正三棱锥；
③存在无数个点 ，使点 在四面体 的外接球面上；
④存在点 ，使 与 垂直且相等，且 .
其中真命题的序号是___________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 如图，四棱锥 中，底面 是梯形， ， 面 ， 是等腰三角形，
的
， ， 是 中点.
（1）求证： ；
（2）设 与 所成的角为 ，直线 与平面 所成的角为 ，二面角 为 ，从以下所给的三个条件中选出其中一个作为已知条件，求四棱锥 的体积.
① ； ② ； ③ ．
17. 在 中， ， .
（1）当 时，求 和 ；
的
（2）求 面积 最大值.
18. 某服装销售公司进行关于消费档次的调查，根据每人月均服装消费额将消费档次分为0-500元；500-
1000元；1000-1500元；1500-2000元四个档次，针对 两类人群各抽取100人的样本进行统计分析，
各档次人数统计结果如下表所示：
0～ 500～ 1000～ 1500～
500元 1000元 1500元 2000元
A类 20 50 20 10
B类 50 30 10 10
月均服装消费额不超过1000元的人群视为中低消费人群，超过1000元的视为中高收入人群.
（Ⅰ）从 类样本中任选一人，求此人属于中低消费人群 的概率；
的
（Ⅱ）从 两类人群中各任选一人，分别记为甲、乙，估计甲 消费档次不低于乙的消费档次
的概率；
（Ⅲ）以各消费档次的区间中点对应的数值为该档次的人均消费额，估计 两类人群哪类月均服装
消费额的方差较大（直接写出结果，不必说明理由）.
19. 已知椭圆 经过点 ，离心率为 ， 与 轴交于两点 ，，过点 的直线 与 交于另一点 ，并与 轴交于点 ，直线 与直线 交于点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为原点，当点 异于点 时，求证： 为定值.
20. 已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求证： 有且只有一个极值点；
（3）求证：方程 无解．
21. 已知 为正整数，集合 具有性质 ：“对于
集合 中的任意元素 ， ，且 ，其中
”. 集合 中的元素个数记为 ．
（1）当 时，求 ；
（2）当 时，求 的所有可能的取值；
（3）给定正整数 ，求 ．
