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上海市奉贤区 2025-2026 学年九年级上学期 1 月期末数学试题
（2026.01）
（完卷时间100分钟，满分150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外、其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
3．填空题须在对应矩形框内作答，超出对应边框作答无效．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有
一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1. 如果 、 满足 ，那么下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 在Rt 中， ， ， ， ，那么下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
的
3. 已知抛物线 经过两个不同 点 和 ，那么 的值是（ ）
A. 2 B. C. 8 D.
4. 如果 都是非零向量，且 ，那么下列结论中一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司5. 如图，四边形 和四边形 是两个全等的矩形， 是边 的中点，连接 ．如果
，那么 的值为（ ）
A. 1 B. C. D.
6. 一个三角形框架模型的边长分别为 ， ， ，工人师傅要利用两根 和 的铁
丝做一个与模型相似的三角形，要求以其中一根铁丝为一边，另一根上截出两段（允许有余料）作为另外
两边，那么工人师傅做的这个三角形的周长是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 计算： _______．
8. 已知抛物线 与抛物线 关于 轴对称，那么 的值是_______．
9. 如果二次函数 的图像有最低点，那么 的取值范围是_______．
10. 某汽车的紧急刹车距离 （米）与车速 （千米/小时）的关系是 ．如果前方25米处发生了
事故，司机驾驶该车紧急刹车避免了碰撞，那么可以推测该车车速不超过_______千米/小时．
的
11. 在 中，点D、E分别在边 、 上， ．如果 ，那么 值
是_______．
12. 如图，已知直线 分别交直线 于点A、B、C，交直线 于点D、E、F，且 ．已知
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学科网（北京）股份有限公司，那么线段AC的长是_______．
13. 小华在某游乐园 的地图上看到，某游玩项目排队区域的图上长度约2.5厘米，已知该地图的比例
尺是 ，那么排队区域的实际长度约_______米．
14. 景区新建了一条通往山顶观景台的缓坡步道，设计要求是坡度为 ，施工方测得观景台距离地面
的垂直高度为10米，为满足设计要求，这段缓坡步道的长度应为_______米．
15. 如果一个等腰三角形腰上的高与底边的高的比为 ，那么这个等腰三角形底角的余弦值是_______．
16. 小海操控一辆遥控玩具车从 处沿北偏东 方向走了6米到 处，再从 处向正南方向走了9米到
达 处，此时这辆遥控玩具车离 处的距离是_______米．
17. 如图，矩形 的面积为18，对角线 、 交于点 ．如果E、F、G、H分别是 ，
， ， 的重心，那么四边形 的面积是_______．
18. 如图，在 中， ，将 绕点 旋转， 的对应点为点 ，连接
交边 于点 ．如果 ，那么 的长为_______．
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学科网（北京）股份有限公司三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算： ．
20. 数学课上老师给同学们出示了一条抛物线，甲、乙、丙三位同学分别用一句话描述了它：
甲：这条抛物线的对称轴是直线 ；
乙：将这条抛物线向下平移2个单位，会经过原点；
丙：这条抛物线在对称轴的右侧部分是下降的；
（1）如果这三位同学关于这条抛物线的描述都是正确的，请你写出一个同时满足这些描述的抛物线的表
达式，并求出此时它的顶点坐标；
（2）请你根据老师给出的这条抛物线，再写出一个正确结论．（与三位同学的描述不一样）
的
21. 如图，在 中，点E、F分别在边 上， 与 交于点G， 延长线
与 的延长线交于点 ．
（1）求 ；
（2）设 ，那么 ， ．（用向量 表示）
22. 如果一个小正方形的一组邻边在大正方形的边上，那么我们就称这个小正方形是大正方形的“内邻正
方形”，这个“内邻正方形”的面积与大正方形面积比值叫做“内邻值”．
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学科网（北京）股份有限公司（1）如图1，正方形 是正方形 的一个“内邻正方形”，如果 ，求此时的
“内邻值”；
的
（2）请用两种不同 方法，用无刻度直尺和圆规在图2和图3的正方形 中分别作出它的“内邻
值”为 的“内邻正方形”．（写出结论，并保留作图痕迹）
在
23. 如图， 中，点D、E分别在边 上， 相交于点 ，且 ，
．
（1）求证： ；
（2）连接 ．如果 ，求证： ．
24. 在平面直角坐标系xOy中（如图）．抛物线 与 轴交于点 和点 ，与
轴交于点 ，顶点为 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求点 的坐标及 的值；
（2）将抛物线 沿射线BC方向平移，得到新抛物线的顶点为 ．
①如果四边形 是梯形，求点 的坐标；
②如果 ，求平移后新抛物线的表达式．
25. 如图，在 中， 是锐角， ，垂足为E，对角线 垂直平分线 交 于点
M，交 的延长线于点N，交 于点P．已知 ．
（1）在 中，
①写出与 一定相似的三角形，并选一对说明理由；
②写出与 不一定相似的三角形，如果它与 相似，求出它们的相似比．
（2）如果 ，求 的正弦值．
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