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北京市东城区 2021-2022 学年度第二学期高三综合练习（二）
数 学
2022.5
第一部分（选择题 共40分
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据补集的定义，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.
【详解】因为集合 ，
所以 或 .
故选：C.
2. 已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数 的单调性及指数函数的单调性可得结论．
【详解】 ， ， ，
所以 ．
故选： ．
3. 在 的展开式中，第4项的系数为（ ）A. B. 80 C. D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】先写出 的展开式的通项公式 ，再令 ，即得.
【详解】因为 的展开式的通项公式为 ，
令 ，则展开式中第4项的系数为 ，
故选：A.
4. 将函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由三角函数图象平移求解即可.
【详解】由函数 的图象向左平移 个单位长度，
则所得图象对应的函数为 .
故选：B.
5. 《周髀算经》中对圆周率 有“径一而周三”的记载，已知两周率 小数点后20位数字分别为14159
26535 89793 23846．若从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数
字均为奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用古典概型概率公式即得.
【详解】因为从这20个数字的前10个数字中有7个奇数，后10个数字中有5个奇数，
所以从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，这两个数字均为奇数的概率为.
.
故选：D
6. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，P为C右支上一点．若 的一条渐
近线方程为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用双曲线的定义可得 ，结合条件可得 ，进而可得 ，即得.
【详解】由题可知 ， ，
因为 的一条渐近线方程为 ，
所以 ， ，
所以 .
故选：C.
7. 已知 ， 则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦函数性质得出 的关系，然后根据充分必要条件的定义判断．【详解】由 ，
可得 或 ，
即 或 ，
所以由“ ”推不出“ ”，由“ ”可推出“
”，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选：B．
8. 已知点 在直线 上．则当 变化时，实数a的范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得 ，然后利用三角函数的性质可得 ，
即得.
【详解】∵点 在直线 上，
∴ ，
∴ ，其中 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得 或 .
故选：B.9. 已知等差数列 与等比数列 的首项均为－3，且 ， ，则数列 （ ）
A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项
【答案】A
【解析】
【分析】求出等差数列和等比数列的通项公式 ，得出 ，确定数列 中项的正负，然后设
，用作差法得出 的单调性，从而可得数列 的最值．
【详解】 ， ，则 ， ，
， ， ， ， ，
，显然第一项为正，第二项为负， 时，奇数项都是负数，偶数项都是正数，
设 ，
则 ，
时， ， ，即数列 从 往后递减，
且 ，
所以 中， 最大，
又
所以 是最小项．
故选：A．10. 如图，已知正方体 的棱长为1，则线段 上的动点P到直线 的距离的最小
值为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用坐标法，设 ，可得动点P到直线 的距离为 ，
然后利用二次函数的性质即得.
【详解】如图建立空间直角坐标系，则 ，
设 ，则 ，
∴动点P到直线 的距离为，当 时取等号，
即线段 上的动点P到直线 的距离的最小值为 .
故选：D.
第二部分（非选择题 共110分
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
.
11 已知复数 满足 ，则 __________， __________．
【答案】 ①. ##2i+1 ②.
【解析】
【分析】利用复数的除法化简得到 ，利用复数的模长公式即得.
【详解】∵ ，
∴ ，
.
故答案为： ； .
12. 已知向量 ， ， 满足 ，且 ， ，则 __________．
【答案】-1
【解析】
【分析】利用数量积的定义和运算律直接计算.
【详解】因为 ，所以 .
所以 .
故答案为：-1.13. 已知抛物线 ， 为C上一点， 轴，垂足为Q，F为C的焦点，O为原点．若
，则 __________．
【答案】 ##0.6
【解析】
【分析】由题可设直线 ，进而可得 ，即得.
【详解】不妨设 在 轴上方，由 ，可设直线 ，
由 ，可得 ，
∴ ，又 ，
∴ .
故答案为： .
14. 已知奇函数 的定义域为R，且 ，则 的单调递减区间为__________；满足以上条件
的一个函数是__________．【答案】 ①. ②. （答案不唯一）
【解析】
【分析】由 可得 ，从而可得 或 ，进而可求出 的单
调递减区间，由导函数的单调区间可求得满足条件的一个函数
【详解】由 可得 ，
所以 或 ，
所以当 或 时， ，当 时， ，
所以 的单调递减区间为 ，
所以满足条件的一个函数可以为 （答案不唯一）
故答案为： ， （答案不唯一）
15. 某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限 ，劳累程度 ，劳动动机
相关，并建立了数学模型 ．
已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：
①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；
②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；
③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强：
④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】利用指数函数的性质，幂函数的性质逐项分析即得.【详解】设甲与乙的工人工作效率 ，工作年限 ，劳累程度 ，劳动动机 ，
对于①， ， ， ， ，
∴ ， ，
则 ，
∴ ，即甲比乙工作效率高，故①正确；
对于②， ， ， ，
∴ ， ，
则 ，
∴ ，即甲比乙工作效率高，故②正确；
对于③， ， ， ， ，
∴ ， ，
，
所以 ，即甲比乙劳累程度弱，故③错误；
对于④， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
所以 ，即甲比乙劳累程度弱，故④正确.
故答案为：①②④.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16. 在 中， ．
（1）求 ；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在且唯一确定，求c和
的值．
条件①： ， 边上中线的长为 ；
条件②： ， 的面积为6；
条件③： ， 边上的高 的长为2．
【答案】（1） ；
（2）详见解析.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理及特殊角三角函数值即得；
（2）选①利用余弦定理可得不合题意，选②利用正弦定理，余弦定理及面积公式即求，选③利用和角公
式及正弦定理即得.
【小问1详解】
∵ ，
∴ ，即 ，
又 ，故 ，
∴ ；
【小问2详解】
选①，设 的中点为 ，在 中，由余弦定理可得 ，
∴ ，即 ，
解得 或 ，
故 有两组解，不合题意；
选②，由 ， 的面积为6，
∴ ，
故 ，
由 ，
可得 ，
由 ，可得 ；
选③，∵ ，
∴ ，
∴ ，又 边上的高 的长为2，
∴ ，
由 ，可得 .
17. 某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了 名男生和 名女生的视力
数据．分别计算出男生和女生从小学一年级（ 年）到高中三年级（ 年）每年的视力平均值，如
图所示．
（1）从 年到 年中随机选取 年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率；
（2）从 年到 年这 年中随机选取 年，设其中恰有 年女生的视力平均值不低于当年男生的
视力平均值．求 的分布列和数学期望：
（3）由图判断，这 名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）【答案】（1）
（2）分布列见解析；数学期望
（3）自 年开始的连续三年， 名学生的视力平均值方差最小
【解析】
【分析】（1）根据折线图可确定该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的共有 个，由此可
计算得到概率；
（2）由折线图知女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值的年份有 个，根据超几何分布概率公
式可确定 每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望值；
（3）根据折线图可确定自 年开始的连续三年，学生视力波动程度最小，由此可得结论.
【小问1详解】
由折线图可知：从 年到 年中，该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的共有 个；
所求概率 .
【小问2详解】
从 年到 年这 年中，女生 的视力平均值不低于当年男生的视力平均值的年份有 个；
所有可能的取值为 ，
； ； ；
则 的分布列为：
的数学期望 .
【小问3详解】由折线图知：自 年开始的连续三年视力平均值接近且连续三年数据相差不大，
自 年开始的连续三年， 名学生的视力平均值波动幅度最小，
则自 年开始的连续三年， 名学生的视力平均值方差最小.
18. 如图，平面 平面 ， ， ， 、 分别为 、 的中点， ，
．
（1）设平面 平面 ，判断直线l与 的位置关系，并证明；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）l∥PC，证明见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】(1)根据线面平行的判断定理和性质定理即可判断；
(2)以O为原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用向量法即可
求出直线 与平面 所成角的余弦值和正弦值．
【小问1详解】
∵ 、 分别为 、 的中点，∴在△APC中，DO∥PC，
∵DO 平面BOD，PC 平面BOD，∴PC∥平面BOD，
∵PC 平面PBC，平面PBC∩平面BOD=l，∴根据线面平行的性质定理可知PC∥l；
【小问2详解】
∵AB=BC，O是AC中点，∴BO⊥AC，
∵平面 平面 ，平面 平面 =AC，BO 平面ABC，∴BO⊥平面APC，同理∵AP=PC，∴PO⊥AC，PO垂直平面ABC，
故OB、OC、OP三线两两垂直，故可以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系．
由题可知AC=8，AB=BC= ，OA=OC=OB=4，OP=3，
则 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面BOD的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，则 ，
，
∴直线 与平面 所成角的正弦值 ．
19. 已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，曲线 在 轴的上方，求实数a的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义即得；
（2）由题可知 ，当 时适合题意，当 时，分类讨论，利用导数求函数的最值即得.
【小问1详解】
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴曲线 在点 处的切线方程为 ；
【小问2详解】
∵函数 ，
当 时，由 有 ，故曲线 在 轴的上方，
当 时， ，
由 可得 或 （舍去），
∴当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
当 即 时，所以 在 上单调递增，
则 ，即曲线 在 轴的上方，
当 即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，
由 时，曲线 在 轴的上方，
∴ ，解得 ，
所以 ；
综上，实数a的取值范围为 .
20. 已知椭圆 的右顶点为 ，离心率为 ．过点 与x轴不重合的直
线l交椭圆E于不同的两点B，C，直线 ， 分别交直线 于点M，N．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设O为原点．求证： ．
【答案】（1） ；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题得到关于 的方程组，解方程组即得解；
（2）设 ，只需证明 .设直线l的方程为 ，联立椭圆方程
得韦达定理，根据三点共线得到 ， ，求出 即得证.
【小问1详解】
解：由题得所以椭圆E的方程为 .
【小问2详解】
解：要证 ，只需证 ，
只需证明 只需证明
只需证明
设 ，只需证明 只需证明 .
设直线l的方程为 ，
联立椭圆方程 得 ，
设 ，所以 ，
又 三点共线，所以 ，同理 ，
所以 ，
所以
所以 .
所以 .
21. 对于数列 ， ，…， ，定义变换 ， 将数列 变换成数列 ， ，…， ，，记 ， ， ．对于数列 ， ，…， 与 ， ，…，
，定义 ．若数列 ， ，…， 满足 ，
为
则称数列 数列．
（1）若 ，写出 ，并求 ；
（2）对于任意给定的正整数 ，是否存在 数列 ，使得 若存在，写出一个数
列 ，若不存在，说明理由：
（3）若 数列 满足 ，求数列A的个数．
【答案】（1） ； ；
（2）不存在适合题意的数列 ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）利用变换 的定义即；
（2）利用 数列的定义，记 中有 个 ，有 个 ，则 ，进而
即得；
（3）由题可得 ，进而可得 ，然后结合条件即
得.
【小问1详解】
由 ，
可得 ，
，
∴ ；
【小问2详解】∵ ，
由数列A为 数列，所以 ，
对于数列 ， ，…， 中相邻的两项 ，
令 ，若 ，则 ，若 ，则 ，
记 中有 个 ，有 个 ，则 ，
因为 与 的奇偶性相同，而 与 的奇偶性不同，
故不存在适合题意的数列 ；
【小问3详解】
首先证明 ，
对于数列 ， ，…， ，有 ， ，…， ， ，
， ，…， ， ， ， ，…， ， ，
， ，…， ， ， ， ，…， ， ，
∵ ，
，
∴ ，
故 ，
其次，由数列 为 数列可知， ，
解得 ，
这说明数列 中任意相邻两项不同的情况有2次，
若数列 中 的个数为 个，此时数列 有 个，
所以数列 的个数为 个.【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进
行再迁移.
