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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2023-2024 学年北京市东城区景山学校九年级（下）月考数学试卷（4
月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 长方体 B. 三棱柱 C. 三棱锥 D. 圆锥
【答案】B
【解析】
【分析】根据俯视图判定几何体可能是三棱柱或三棱锥，根据主视图判定为三棱柱．
【详解】根据俯视图判定几何体可能是三棱柱或三棱锥，根据主视图判定为三棱柱．
故选B．
【点睛】本题考查了根据三视图确定几何体，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．
2. 2021年2月24日6时29分，我国自主研制的首个火星探测器“天问一号”成功实施第三次近火制动，
进入近火点280千米、远火点59000千米、周期2个火星日的火星停泊轨道．将59000用科学记数法表示
应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；
当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：59000=5.9×104．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
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3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用数轴上数的位置判断大小，然后分别进行判断即可．
【详解】解：根据题意，得 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ， ，
∴选项C正确，选项A、B、D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的了实数与数轴，实数的运算，解题的关键是会利用数轴进行判断．
4. 下列运算结果正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂的运算法则和合并同类项法则，依次对各选项分析找出正确的选项．
【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意；
B． ，故该选项错误，不符合题意；
C． ，故该选项正确，符合题意；
D． 与 不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查幂的相关运算，同类项，熟练掌握这些运算法则是解决此题的关键．主要考查幂的相关
运算有：同底数幂的乘法、同底数幂的除法和幂的乘方运算．
5. 如右图，是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、白两种颜色，指针
的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线
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时，当作指向右边的扇形），则指针指向白色区域的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】求出空白部分在整个转盘中所占的比例即可得到答案．
【详解】解：∵每个扇形大小相同，
∴灰色部分面积和空白部分的面积相等，
∴落在空白部分的概率为： ，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率等于相应的面积与总面积之比．
6. 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的值可以是（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据 有两个不相等的实数根即可得到 ，即可得到答案．
【详解】解：∵x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
满足题意，
故选：A
【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
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7. 如图， 是 的中位线，点 在 上， ．连接 并延长，与 的延长线相交
于点 ．若 ，则线段 的长为（ ）
A. B. 7 C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中中位线定理证得 ，求出 ，进而证得 ，根据相似三角
形的性质求出 ，即可求出结论．
【详解】解： 是 的中位线，
， ，
，
，
，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相
似三角形的判定方法是解决问题的关键．
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8. 如图，在矩形纸片 中，将 沿 翻折，使点A落在 上的点N处， 为折痕，连接
；再将 沿 翻折，使点D恰好落在 上的点F处， 为折痕，连接 并延长交 于点
P，若 ，则线段 的长等于（ ）
A. 22 B. 20 C. 18 D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据折叠可得 是正方形， ，可求出三
角形 的三边为9，12，15，在 中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证
，三边占比为 ，设未知数，通过 ，列方程求出待定系数，进而求出
的长，然后求 的长．
【详解】解：过点P作 ，垂足为G、H，
由折叠得： 是正方形， ，
，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
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在 中，设 ，则 ，由勾股定理得， ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾
股定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．
9. 若分式 的值为0，则x的值为_______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据分式值为零的性质可知，1 - x = 0，且x≠0，然后计算即可．
【详解】解：∵分式 的值为0
∴1 - x = 0，且x≠0
∴x = 1
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了分式值为零时的性质. 熟知当分式的分子等于零，且分母不为零时，是分式值为
零的条件，是解决本题的关键．
10. 如图，点A，B，C在 上，点D在 内，则 ________ ．（填“>”，“=”或“<”）
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【答案】<
【解析】
【分析】延长AD交⊙O于E，连接BE，如图，根据三角形外角性质得∠ADB＞∠E，根据圆周角定理得
∠ACB=∠E，于是∠ACB＜∠ADB．
【详解】∠ACB＜∠ADB．理由如下：
延长AD交⊙O于E，连接BE，如图，
∵∠ADB＞∠E，
而∠ACB=∠E，
∴∠ACB＜∠ADB
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半．
11. 把“不相等的角不是对顶角”改写成“如果…那么…”的形式是__________．
【答案】如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角
【解析】
【分析】先找到命题的条件和结论，再根据如果…（条件），那…（结论）即可得出结论．
【详解】由题意，命题的条件是：两个角不相等，结论是：这两个角不是对顶角，
故答案为：如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．
【点睛】本题考查命题的概念，理清命题的条件与结论是解答的关键．
12. 数据组： ， ， ， ， 的中位数是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大 或从大到小 重新排列后，最中间的那个数
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最中间两个数的平均数 ，叫做这组数据的中位数．先把这组数据从小到大排列，再找出最中间的数即可
得出答案．
【详解】解：把这组数据从小到大排列为： ， ， ， ， ，最中间的数是 ，
则中位数是 ．
故答案为： ．
13. 已知 是方程 的一组解 ，任写出一组符合题意的 、 值，则
______， ______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】把方程组解代入，即得到关于 的一个方程，有无数个解，任意写出一个即可．
【详解】解：把 代入方程 可得：
时，有
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的意义．熟记相关定义即可．
14. 如图，在矩形 中，E是边 的中点，连接 交对角线 于点F，若 ，
则 的长为______．
【答案】 ##
【解析】
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【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，先利用勾股定理求出对角线 的
长，再证明 ，根据对应边成比例即可求出 的长．
【详解】解： 四边形 是矩形， ，
， ， ，
，
E是边 的中点，
，
，
， ，
，
，
，
解得 ，
故答案为： ．
15. 小华和小明周末到北京三山五园绿道骑行．他们按设计好的同一条线路同时出发，小华每小时骑行
，小明每小时骑行 ，他们完成全部行程所用的时间，小华比小明快30分钟．设他们这次骑行
线路长为 ，依题意，可列方程为________________________．
【答案】
【解析】
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【分析】根据他们完成全部行程所用的时间，小华比小明快30分钟的等量关系列方程．
【详解】解：设他们这次骑行线路长为 ，则小华完成全部行程的时间为 小时，小明完成全部行程
的时间为 小时，
由题意得 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查从实际问题中，掌握行程问题中的路程、速度、时间三者之间的关系是解决问题的关键．
16. 一个袋中装有偶数个球，其中红球个数恰好是黑球的2倍，甲、乙、丙是三个空盒．小邱每次从袋中
任意取出两个球，先将一个球放入甲盒，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒：如果先放入
甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒，重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中．
（1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是________；
（2）若乙盒中最终有5个红球，3个黑球，则袋中原来最少有________个球．
【答案】 ①. 红色 ②. 24
【解析】
【分析】（1）根据放球规则，可知若取出的球都没有放入丙盒，则放入了乙盒，由此得出先放入甲盒的
球的颜色是红色；
（2）由题意可知取两个球共有四种情况：①红 红，②黑 黑，③红 黑，④黑 红．那么，每次乙盒
中得一个红球，甲盒最少得到1个红球，以及红球数 黑球数的2倍，且球的个数为偶数，即可求解．
【详解】（1） 某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，
放入了乙盒，
先放入甲盒的球的颜色是红色．
故答案为：红色；
（2）由题意，可知取两个球共有四种情况：
①红 红，则乙盒中红球数加1，
②黑 黑，则丙盒中黑球数加1，
③红 黑（红球放入甲盒），则乙盒中黑球数加1，
④黑 红（黑球放入甲盒），则丙盒中红球数加1．
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那么，每次乙盒中得一个红球，甲盒最少得到1个红球，
乙盒中最终有5个红球时，甲盒最少有5个红球，
乙盒中得到1个黑球，甲盒中最少得到1个红球
乙盒中最终有3个黑球时，甲盒最少有3个红球，
甲盒中至少有8个红球，乙盒中有5个红球和3个黑球，
至少有13个红球和3个黑球，
红球数是黑球数的2倍，且球的个数为偶数，
此时明显不满足条件，
红球至少16个，黑球至少有8个，
袋中原来最少有 个球．
故答案为：24．
【点睛】本题考查了推理与论证，训练了学生的逻辑思维能力，有一定难度．根据题意得出取两个球共有
四种情况，进而分析得到结论是解题的关键．
三、计算题：本大题共1小题，共5分．
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质化简，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，求零次幂，进行实数的计算
即可求解．
【详解】解：原式＝
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的性质化简，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，
求零次幂是解题的关键．
四、解答题：本题共11小题，共63分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18. 解不等式组： ．
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【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
原不等式组的解集为 ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19. 已知：如图， 和射线PN．
求作：射线PM，使得 ．
作法：①在射线OB上任取一点C，以点C为圆心，OC的长为半径画弧，交OA于点D；
②以点P为圆心，OC的长为半径画圆，交射线PN的反向延长线于点E；
③以点E为圆心，OD的长为半径画弧，在射线PN上方，交OP于点M；
④作射线PM．
所以射线PM就是所求作的射线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接CD，EM．
∵PM=PE=CD=CO，EM=OD，
∴ （_________）（填推理依据）．
∴ ．
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又∵ （________）（填推理依据）．
∴ ．
【答案】（1）见解析 （2）SSS；同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍．
【解析】
【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据作图过程可得PM=PE=CD=CO，EM=OD，即可证明 ，可得
，再根据圆周角定理进而可以完成证明．
【小问1详解】
如图所示，
【小问2详解】
证明：连接CD，EM．
∵PM=PE=CD=CO，EM=OD，
∴ （__SSS__）．
∴ ．
又∵ （同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍）．
∴ ．
故答案为：SSS；同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍．
【点睛】本题主要考查了复杂作图以及圆周角定理，灵活掌握圆周角定理是本题的关键．
20. 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2） 是否可能是方程的根，若可能，请求出此时方程的另一个根，若不可能，请证明．
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【答案】（1） 或
（2）可能，另一个根为
【解析】
【分析】（1）利用一元二次方程的根的判别式求解；
（2）将 代入方程求出m的值，判断是否符合（1）中结论；再利用一元二次方程中根与系数的关系
求解．
【小问1详解】
解： 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
，
解得 或 ；
【小问2详解】
解：将 代入 ，得：
，
解得 ，
由（1）知 或 ，
可能是方程的根，
， ，
，
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即此时方程的另一个根为 ．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解等知识点，解题的关
键是根据一元二次方程的根的情况求出m的取值范围．
21. 已知在平面直角坐标系中，点 ，以线段 为直径作圆，圆心为 ，直线
交 于点 ，连接 .
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）点 为 轴上任意一动点，连接 交 于点 ，连接 ：
①当 时，求所有 点的坐标 （直接写出）；
②求 的最大值.
【答案】（1）见解析；（2）① ， ；② 的最大值为 .
【解析】
【分析】（1）连接 ，证明∠EDO=90°即可；
（2）①分“ 位于 上”和“ 位于 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可；
②作 于点 ，证明 ，得 ，从而得解.
【详解】（1）证明：连接 ，则：
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∵ 为直径
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
即：
∵ 轴
∴
∴
∴直线 为 的切线.
（2）①如图1，当 位于 上时：
∵
∴
∴设 ，则
∴
∴ ，解得：
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∴
即
如图2，当 位于 的延长线上时：
∵
∴设 ，则
∴
∴
解得：
∴
即
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②如图，作 于点 ，
∵ 是直径
∴
∴
∴
∵ 半径
∴
∴ 的最大值为 .
【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和
相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
22. 如图，直线l：y=x和直线l：y=-2x+6相交于点A，直线l 与x轴交于点B，动点P沿路线O→A→B
1 1 2 2 2
运动．
（1）求点A的坐标，并回答当x取何值时y＞y？
1 2
（2）求△AOB的面积；
的
（3）当△POB 面积是△AOB的面积的一半时，求出这时点P的坐标．
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【答案】（1）当x＞2时，y＞y；（2）3；（3）P（1，1）或（ ，1）．
1 2
【解析】
【分析】（1）当函数图象相交时，y=y ，即﹣2x+6=x，再解即可得到x的值，再求出y的值，进而可得
1 2
点A的坐标；当y＞y 时，图象在直线AB的右侧，进而可得答案；
1 2
（2）由直线l：y=﹣2x+6求得B的坐标，然后根据三角形面积即可求得；
2 2
（3）根据题意求得P的纵坐标，代入两直线解析式求得横坐标，即为符合题意的P点的坐标．
【详解】解：（1）∵直线l 与直线l 相交于点A，
1 2
∴y=y，即﹣2x+6=x，解得x=2，
1 2
∴y=y=2，
1 2
∴点A的坐标为（2，2）；
观察图象可得，当x＞2时，y＞y；
1 2
（2）由直线l：y=﹣2x+6可知，当y=0时，x=3，
2 2
∴B（3，0），
∴S = ×3×2=3；
AOB
△
（3）∵△POB的面积是△AOB的面积的一半，
∴P的纵坐标为1，
∵点P沿路线O→A→B运动，
∴P（1，1）或（ ，1）．
【点睛】此题主要考查了两直线相交，一次函数与不等式的关系以及三角形面积等，关键是掌握凡是函数
图象经过的点必能满足解析式．
23. 某同学为了研究函数 的图象和应用，采用列表描图的方法进行探究，请你协助完成．
先列表如下：
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1．
… 0 1 2 3 4 …
5
… 4 0 …
（1）直接写出表中 、 的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）结合图象，请直接写出不等式 的解集______．
【答案】（1） ， ；
（2）
【解析】
【分析】（1）把 与 分别代入解析式可得答案；再在坐标系内描点画图即可；
（2）在同一坐标系内画出 的图象，再利用 的图象在函数 的图象上方即可．
【小问1详解】
解：当 时， ，
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当 时， ；
在坐标系内描点画图如下：
．
【小问2详解】
如图，画直线 的图象，
由函数图象可得：函数的交点坐标为： ，
∴ 的解集是 ；
【点睛】本题考查的是求解函数的函数值，利用描点法画函数的图象，利用数形结合的方法求解不等式的
解集，掌握描点法画函数的图象是解本题的关键．
24. 某校组织学生参加“希望工程”捐书活动．为了解学生所捐书本数情况，随机调查了该校的部分学生，
根据调查结果，绘制了统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
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（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为______，图①中 的值为______；
（Ⅱ）求统计的这组学生所捐书本数据的平均数______、众数______和中位数______；
（Ⅲ）根据统计的这组学生所捐书本数的样本数据，若该校共有 名学生，估计该校所捐书本数不低
于3本的学生人数．
【答案】（1）50，16；（2）3.34， 4， 3.5；（3）888
【解析】
【分析】（1）计算各组频数的和即可求出本次接受调查的学生人数，根据各组频率之和等于单位“1”即可
确定m的值；
（2）根据平均数、众数、中位数的意义和计算方法，分别求出结果即可；
（3）用该校学生总数乘以样本中所捐书本数不低于3本的学生所占的百分比，即可求出答案．
【详解】（1） （人），
，即 ，
故答案为：50，16；
（2） （本），
捐4本的出现次数最多，因此众数是4本，
将这50个数据从小到大排列后，处在中间位置的两个数分别是3，4，因此中位数是3.5本，
故答案为：3.34， 4， 3.5；
（3） （人），
的
答：该校所捐书本数不低于3本 学生大约有888人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数，掌握两个统计图中数量之间的关系，
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理解中位数、众数、平均数的意义是解决问题的前提．
25. 某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从
喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为
米，与湖面的垂直高度为 米，下面的表中记录了 与 的五组数据：
米
米
根据上述信息，解决以下问题：
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示 与 函数关系的图象；
（2）若水柱最高点距离湖面的高度为 米，则 ______；
（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下
方通过，如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的
竖直距离均不小于 米．已知游船顶棚宽度为 米，顶棚到湖面的高度为 米，那么公园应将水管露出
湖面的高度 喷水头忽略不计 至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由 结果保留一位小数
．
【答案】（1）见解析 （2）1.5
（3）公园应将水管露出湖面的高度 喷水头忽略不计 至少调节到 米才能符合要求
【解析】
【分析】（1）建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可；
（2）观察图象即可得出结论；
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（3）根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解原抛物线的解析式；设出
二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．
【小问1详解】
解：以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图 所示：
【小问2详解】
解：根据题意可知，该抛物线的对称轴为x＝2，此时最高，
即m＝1.5，
故答案为：1.5；
【小问3详解】
解：根据图象可设二次函数的解析式为： ，
将 代入 ，得 ，
抛物线的解析式为： ，
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为： ，
由题意可知，当横坐标为 时，纵坐标的值大于 ，
，
解得 ，
水管高度至少向上调节1.1米，
（米），
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公园应将水管露出湖面的高度 喷水头忽略不计 至少调节到1.6米才能符合要求．
【点睛】本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键
在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型．
26. 已知抛物线 ．
（1）求此抛物线的顶点的坐标；
（2）若直线 与该抛物线交于点 、 ，且 ，求 的值；
（3）若这条抛物线经过点 ， ，且 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）3 （3） 或
【解析】
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解；
（2）由二次函数的对称性及 可得点 ， 坐标，进而求解；
（3）由点 坐标及抛物线对称轴可得点 关于对称轴的对称点 的坐标，由抛物线开口向上和点
在抛物线对称轴的右边可分情况求解．
【小问1详解】
解： ，
抛物线的顶点坐标为 ；
【小问2详解】
解： 点 ， 关于抛物线对称轴对称， ，对称轴为直线 ，
抛物线经过 ， ，
将 代入 得 ；
【小问3详解】
解：点 关于抛物线对称轴的对称点 的坐标为 ，
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，
∴抛物线开口向上，
∵点 在抛物线对称轴的右边，
当 或 时，有 ，
解得 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与不等式的关系．
27. 如图，已知 中， ，D为斜边 的中点，连接 ．过C点做 的垂线，并在
这条线上（C的下方）截取 ，连接 ．
（1）根据题目条件补全图形；
（2）证明： ；
（3）用等式表示 、 和 的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题目中 的条件作图即可．
（2）根据 ， ，可得 ，再根据 D 为斜边 的中点，得到
，即可得到结论．
（3）过点E作 ，交 的延长线于点H，根据题目条件证明 ，得到对应边相等，
在 中，用勾股定理得到 ，从而得出结论．
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【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵D为斜边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【小问3详解】
证明：过点E作 ，交 的延长线与点H，如图所示，
∵ ，D为 的中点
∴ ，
∵ ， ，
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∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了几何综合问题，涉及到直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质，正确做出辅助
线是解题关键．
28. 如果有点A、B、C、D，使得四边形 是边长为定值k的菱形，那么和A点相对的顶点C称为A
的“k对点”，B、D两个和A相邻的点称为A的“k邻点”．
（1）若P点为原点的“1对点”：
①在 、 、 这三个坐标中，P的坐标不可能是______；
②若原点的两个“1邻点”的坐标为 和 ，在图中画出此时的P点，并证明此时 ；
③若直线 上存在点P，直接写出b的取值范围；
（2）若M点坐标为 ，N点坐标为 ，Q点为M点的“2对点”，并且其两个“2邻点”到N点
的距离都为3，直接写出此时Q点纵坐标 的取值范围．
【答案】（1）① ；②见析；③
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（2）
【解析】
【分析】（1）①根据三角形三边关系，菱形的性质，新定义，得出 到原点的距离小于2，即可求解；
②根据新定义画出图形，进而根据菱形的性质得出 ，得出 的坐标，勾股定理即可求解； ③由①
可得， 到原点的距离小于2，求得当距离为2时， ，即可求解；
（2）分别求得 点的纵坐标的最大值和最小值，分别画出图形即可求解．
【小问1详解】
解：①如图所示，
、 、 这三个坐标到原点的距离分别为 ，
又 点为原点的“1对点”，
到原点的距离小于2，
的坐标不可能是 ．
②原点的两个“1邻点”的坐标为 和 ，如图所示；
； ，
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，
四边形 是菱形，
，且 ，
，
，
③若 ，则直线 与圆心在原点，2为半径的圆相切，由等腰三角形的性质可得点 ，
如图所示，点 存在于两直线之间的圆的内部，
直线 上存在点 ，则 ；
【小问2详解】
解： 点为 点的“2对点”，
，
若 ， ，
在 上，则 ，
其两个“2邻点”到 点的距离都为3，则这两个“2邻点”在以3为半径的 上，
设为 ， ，如图所示，依题意 ，
设 ， 交于点 ，取 的中点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
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连接 ，
，
， ， ，
，
，
由图可知，只有当点 在 下方时，符合题意，
当 点在 上时， ，
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， ，
，
设 ，则 ，
解得： ，
，则 ，
，则 ，
，
，则点 在 上运动，且半径为 ，
如图所示，当 轴时，点 取的最小值，
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如图所示，延长 交 轴于点 ，连接 ，
垂直平分 ，则 ，
又 ，
垂直平分 ，
四边形 是菱形，
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，
的纵坐标为 ，
如图所示，当 轴时，此时 ，此时 取得最大值，此时点 ， 重合于两圆的切点，
综上所述， ．
【点睛】本题考查了新定义，菱形的性质，坐标与图形，圆与圆的位置关系，正确的画出图形是解题的关
键．
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