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2025 年高三第二次模拟考试
数学参考答案
1.A 【解析】本题考查基本不等式,考查数学运算的核心素养.
y2 +9x2
≥2
=6,当且仅当y2 =9x2
,即|y|=
|x|>0时,等号成立,所以y2 +9x2
的最小值为6.
❑√9 ❑√3
x2 y2 x2 y2 x2 y2
2.B 【解析】本题考查三角恒等变换,考查数学运算的核心素养.
❑√3
因为cos 2α=1-2sin2α=sin2α,所以3sin2α=1,解得sin α=± .
3
3.C 【解析】本题考查复数的运算与共轭复数,考查数学运算的核心素养.
由|z|2=z·z,得(2-i)z=z·z,因为z≠0,所以z=2-i.
4.C 【解析】本题考查统计中的中位数,考查数据处理能力.
将数据1,4,5,6,4,5,4按照从小到大的顺序排列为1,4,4,4,5,5,6,则原数据的中位数为4,若删除一个
数后,所得数据的中位数不变,则被删除的数为5或6.
5.C 【解析】本题考查指数函数的单调性,考查逻辑推理的核心素养.
当x∈[1,2]时,2x∈[2,4].
当m∈(-∞,2]时,f(x)=2x-m,f(x)在[1,2]上单调递增;
{m-2x,x∈[1,log m),)
当m∈(2,4)时,f(x)= 2 f(x)在[1,2]上不单调;
2x-m,x∈[log m,4],
2
当m∈[4,+∞)时,f(x)=m-2x,f(x)在[1,2]上单调递减.
综上,m∈(-∞,2]∪[4,+∞).
6.D 【解析】本题考查集合、二次函数、抛物线的综合,考查直观想象的核心素养.
设函数f(x)=(x-1)(x-5),则f(x)的图象经过点M(1,0),N(3,-4),P(5,0).当x=3时,抛物线y2=4x对应的
纵坐标为±2 >-4,作出f(x)的图象,如图所示,由图可知,f(x)的图象与抛物线y2=4x有4个不同的
❑√3
交点,则A∩B有4个元素,从而A∩B的真子集的个数为24-1=15.
学科网（北京）股份有限公司7.D
【解析】本题考查曲率与二面角,考查空间想象能力与推理论证能力.
如图,设AC∩BD=O,连接SO,则SO⊥平面ABCD.取BC的中点M,连接OM,SM.在正四棱锥S-
SO 1
ABCD中,∠SMO为侧面与底面的夹角,则tan∠SMO= =❑√2.设OM=1,则SO=❑√2,BM=
OM 2
BC=1,则SM= ,SB=2,所以正四棱锥S-ABCD的每个侧面均为正三角形,则顶点S的每个面角
❑√3
π π 2π
均为 ,故正四棱锥S-ABCD在顶点S处的曲率为2π-4× = .
3 3 3
8.A 【解析】本题考查二项式定理,考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.
(x-1)n(n∈N*)的展开式各项系数的绝对值之和等于(x+1)n(n∈N*)的展开式各项系数之和,则
(1+1)n=512,得n=9,则(x+1)8(x-1)n=(x2-1)8(x-1).
因为(x2-1)8的展开式中没有x11的项,所以(x+1)8(x-1)n的展开式中x11的系数为(x2-1)8的展开式中
x10的系数,即 (-1)3=-56.
C3
8
9.BC 【解析】本题考查对数的运算与对数函数的性质,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
1
因为f(x)=lg +lg(2x2)=-lg x+lg(2x2)=lg(2x)(x>0),所以f(x)为增函数,f(x)的值域为R,A错误,C正确.
x
f(x)=1⇔lg(2x)=1⇔2x=10⇔x=5,B正确.f(x)<2⇔lg(2x)<2⇔0<2x<100⇔08)=P(Y<4),A正确.当D(X)= 时,6p(1-p)= ,解得p= 或 ,
2 3 3 3 3
1 4 1 1 1 4
D(Y)=p2= 或 ,B错误.当D(Y)= 时,p2= ,因为00,当10,即
1 2
5
6m 4 3
m2>4,且x+x = ,xx= .由y=mx-3=0,得x= ,假设存在直线l:y=mx-3,使得l与C的
1 2 m2+5 1 2 m2+5 m
7 6m 3 7 3
所有交点的横坐标之和为 ,则 + = ,解得m2=10>4,D正确.当m>3时, 介于x,x 之
m m2+5 m m m 1 2
间,假设存在直线l:y=mx-3,使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列,则xx= 3 2,即
1 2
m
4 9
= ,得5m2+45=0,显然该方程无实数解,C错误.
m2+5 m2
π
12. 【解析】本题考查正切函数的周期与对称性,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.
4
π π π
T= ,由0A B,所以
1 ❑42+(❑√10)2-2×4×❑√10× ❑√2 1 1 1
❑√10
∠ABB>∠ABB,即∠ABB+∠BBC>∠ABB+∠BBC,因为∠ABB+∠BBC=∠BBC +∠BBC=π,
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(3❑√2)2+(❑√10)2-42
所以π>∠ABB+∠BBC,即线段AC与线段BB 有交点.cos∠ABB= =
1 1 1 1 1 1 1 2×3❑√2×❑√10
1 2 1 3
,可得sin∠ABB= ,而cos∠BBC=cos(π-∠ABB)=- ,可得sin∠BBC= ,所以
❑√5 1 1 ❑√5 1 1 1 ❑√10 1 ❑√10
cos∠ABC=cos(∠ABB+∠BBC)= 1 × - 1 - 2 × 3 =- 7 .由余弦定理可得AC=
1 1 1 1 1
❑√5 ❑√10 ❑√5 ❑√10 5❑√2
√ 7 =❑√970米,则所需灯带的长度的最小值为❑√970米.
❑(3❑√2)2+22-2×2×3❑√2×(-
)
5❑√2 5 5
图1 图2
15.【解析】本题考查直线与双曲线,考查数学运算的核心素养.
{2❑√a2+b2=2❑√5,
)
解:(1)(方法一)由题意可知 √ b2 2分
❑1+ =❑√5,
a2
解得{a2=1,)
4分
b2=4.
y2
故C的方程为x2- =1.5分
4
{2c=2❑√5,
)
(方法二)设C的焦距为2c,则 2分
c
=❑√5,
a
解得c= ,a=1,则b2=c2-a2=4. 4分
❑√5
y2
故C的方程为x2- =1.5分
4
(2)由(1)可知C的左顶点为A(-1,0), 6分
学科网（北京）股份有限公司6
则点A到直线l的距离d= .7分
❑√10
{y=3x-3,
)
联立 得5x2-18x+13=0, 9分
y2
x2- =1,
4
13
解得x=1,x= , 10分
1 2
5
则|PQ|= |x -x |= × 1-13 =8❑√10, 12分
❑√1+k2 1 2 ❑√1+32
5 5
1 24
故△APQ的面积为 |PQ|d= . 13分
2 5
16.【解析】本题考查立体几何初步与空间向量的综合,考查直观想象、逻辑推理与数学运算的
核心素养.
(1)解:因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE= ,所以AB⊥AE,且BE=2, 1分
❑√2
因为四边形BCDE为正方形,所以AA=BC=BE=2. 2分
1
在直五棱柱ABCDE-ABC DE 中,AA⊥底面ABCDE,
1 1 1 1 1 1
1
所以该五棱柱的体积V= ×❑√2×❑√2+2×2 ×2=10. 3分
2
(2)证明:在直五棱柱ABCDE-ABC DE 中,BB⊥底面ABCDE,
1 1 1 1 1 1
则BB⊥AB. 4分
1
π π
因为∠ABD=∠ABE+∠EBD= ×2= ,所以AB⊥BD, 5分
4 2
因为BB∩BD=B,所以AB⊥平面BDD B,6分
1 1 1
又AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDD B. 7分
1 1 1 1
(3)解:易证EB,ED,EE 两两垂直,以E为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 8分
1
则B(2,0,0),B(2,0,2),D(0,2,0),E(0,0,2),A(1,-1,2), 9分
1 1 1
=(-1,-1,2), =(-1,1,0), =(-2,2,-2). 10分
⃗BA ⃗A E ⃗B D
1 1 1 1
学科网（北京）股份有限公司设平面ABE 的法向量为m=(x,y,z),则m· =m· =0,
1 1 ⃗BA ⃗A E
1 1 1
即-x-y+2z=-x+y=0, 11分
取x=1,得m=(1,1,1). 12分
|cos|= |m·⃗B 1 D| = |-2| =1,14分
1 |m||⃗B D| ❑√3×2❑√3 3
1
1
故直线BD与平面ABE 所成角的正弦值为 . 15分
1 1 1
3
17.【解析】本题考查随机变量的概率与数学期望,考查数据分析与数学运算的核心素养.
解:(1)若甲以每箱优惠8%的价格成交,则成交的金额为500×(1-8%)×200=9.2万元; 1分
若甲以每箱优惠6%的价格成交,则成交的金额为500×(1-6%)×200=9.4万元; 2分
若甲以每箱优惠5%的价格成交,则成交的金额为500×(1-5%)×200=9.5万元. 3分
故甲以低于9.5万元的金额购买这200箱零件的概率为0.3+0.4=0.7. 4分
400-200
(2)若乙选择方案一,则成交的金额为500×400- ×12×500=18.8万元. 5分
100
500×(1-8%)×400
若乙选择方案二,设成交的金额为X万元,则P X= =P(X=18.4)=0.3,
104
6分
500×(1-6%)×400
P X= =P(X=18.8)=0.4, 7分
104
500×(1-5%)×400
P X= =P(X=19)=0.3, 8分
104
所以E(X)=18.4×0.3+18.8×0.4+19×0.3=18.74万元. 9分
因为18.74<18.8,所以方案二更优惠. 10分
(3)设丙用方案一购买100n(3≤n≤9,n∈N)箱,
100n-200
则丙用方案一需要支付的金额为100n×500- ×12×500=(4.4n+1.2)×104元, 11分
100
960-100n
方案二需要支付的金额的期望为 ×18.74×104=(44.976-4.685n)×104元, 12分
400
所以丙购买的金额的期望为4.4n+1.2+44.976-4.685n=(46.176-0.285n)万元. 13分
因为y=46.176-0.285n(3≤n≤9,n∈N)为减函数,所以n越大,y越小,故应该选择900箱使用方案一,
60箱使用方案二,这样才能获得最多的优惠. 15分
学科网（北京）股份有限公司18.【解析】本题考查数列的递推公式、通项公式与求和,考查推理论证能力、运算求解能力以
及利用给定新信息解决问题的能力.
(1)证明:因为α,β是方程x2=bx+c,即x2-bx-c=0的两个实根,
所以α+β=b,αβ=-c, 1分
则ba +ca =(α+β)(A·αn+1+B·βn+1)-αβ(A·αn+B·βn) 2分
n+1 n
=Aαn+2+Bβn+2=a ,即a =ba +ca . 3分
n+2 n+2 n+1 n
(2)①解:由题意知a =7a +8a 的一元二次方程为x2=7x+8,解得x=8,x=-1. 4分
n+2 n+1 n 1 2
根据题意,不妨取α=8,β=-1.
设a=A·8n+B·(-1)n.
n
因为a=7,a=65,
1 2
{ 8A-B=7, )
所以 6分
64A+B=65,
{A=1,
)
解得 7分
B=1.
故a=8n+(-1)n. 8分
n
②解:由n(n+1)d =7n(n+2)d +8(n+1)(n+2)d,
n+2 n+1 n
d 7d 8d
得 n+2= n+1+ n. 9分
n+2 n+1 n
d d d
因为 1=7, 2=65,所以由①知a= n, 10分
n
1 2 n
则d=na =n×8n+n×(-1)n. 11分
n n
设T=8+2×82+3×83+…+n×8n,
n
则8T=82+2×83+3×84+…+n×8n+1, 12分
n
则-7T=8+82+…+8n-n×8n+1 13分
n
8-8n+1 (1-7n)8n+1-8
= -n×8n+1= , 14分
1-8 7
(7n-1)8n+1+8
所以T= . 15分
n
49
(7n-1)8n+1+8 n
当n为偶数时,S=T +[-1+2-3+4-…-(n-1)+n]= + ; 16分
n n 49 2
(7n-1)8n+1+8 n-1
当n为奇数时,S=T +[-1+2-3+4-…-(n-2)+(n-1)-n]= + -n=
n n 49 2
(7n-1)8n+1+8 n+1
- . 17分
49 2
19.【解析】本题考查新定义与导数的综合,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.
(1)解:h(x)不是“金字塔函数”. 1分
学科网（北京）股份有限公司1 1
(2)证明:因为g(x)= ,所以g(2-x)= =g(x),所以g(x)的图象关
[(x-1)2+1]n+1 [(1-x)2+1]n+1
于直线x=1对称. 2分
g'(x)=-n[(x-1)2+1]n-1(2x-2),
3分
[(x2-2x+2)n+1]2
因为n∈N*,(x-1)2+1>0,所以令g'(x)>0,得x<1,令g'(x)<0,得x>1, 4分
所以g(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
则g(x)存在唯一的极值点1,故g(x)为“金字塔函数”. 5分
(3)解:因为f(x)为“金字塔函数”,所以f(2-x)=f(x),
所以e2-x+ex+a(2-x)2+b(2-x)-a=ex+e2-x+ax2+bx-a,
整理得(2a+b)x=2a+b对x∈R恒成立, 6分
则2a+b=0,得b=-2a. 7分
所以f(x)=ex+e2-x+ax2-2ax-a,
则f'(x)=ex-e2-x+2a(x-1),
f'(x)的导数f″(x)=ex+e2-x+2a≥2e+2a. 8分
当a≥-e时,f″(x)≥0,则f'(x)单调递增, 9分
因为f'(1)=0,所以当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
则f(x)存在唯一的极值点1. 10分
当a<-e时,f″(x)的导数f‴(x)=ex-e2-x,易知f‴(x)单调递增,
当x∈(-∞,1)时,f‴(x)<0,f″(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时,f‴(x)>0,f″(x)单调递增,
所以f″(x) =f″(1)=2e+2a<0. 12分
min
易证ex>x+1(x>0),
当x∈(-∞,1)时,f″(x)=ex+e2-x+2a>e2-x+2a>3-x+2a,
若x<3+2a,则3-x+2a>0,则f″(x)>0,
当x∈(1,+∞)时,f″(x)=ex+e2-x+2a>ex+2a>x+2a+1,若x>-2a-1,则f″(x)>0, 13分
所以f″(x)存在两个零点x∈(3+2a,1),x∈(1,-2a-1),
1 2
所以当x∈(-∞,x)时,f″(x)>0,当x∈(x,x)时,f″(x)<0,当x∈(x,+∞)时,f″(x)>0,
1 1 2 2
所以f'(x)在(-∞,x)上单调递增,在(x,x)上单调递减,在(x,+∞)上单调递增. 14分
1 1 2 2
由x<10,f'(x)<0,
1 2 1 2
当x→-∞时,f'(x)→-∞,当x→+∞时,f'(x)→+∞,
则必存在唯一的x∈(-∞,x),使得f'(x)=0,
3 1 3
必存在唯一的x∈(x,+∞),使得f'(x)=0, 15分
4 2 4
学科网（北京）股份有限公司所以f(x)在(-∞,x)上单调递减,在(x,1)上单调递增,在(1,x)上单调递减,在(x,+∞)上单调递增,则f(x)
3 3 4 4
有3个极值点,不符合题意. 16分
综上,a的取值范围是[-e,+∞). 17分
学科网（北京）股份有限公司
