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东城区2022—2023学年度第一学期期末统一检测
高三数学参考答案及评分标准
2023.1
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）A （2）C （3）B （4）D （5） D
（6）D （7）C （8）A （9）B （10）C
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（1
1） （12） （答案不唯一）
（13） （14） （15）① ② ④
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：
又因为在锐角 ABC中， ，所以 ． …………………6分
△
（Ⅱ）因为 ，所以 .
在△ 中，由余弦定理 得
所以△ 的周长为 ． …………………13分
（17）（共15分）
解：（I）在△ 中，过点 作 // 交 于点 ， 连接 .
因为 // ，所以 // ，
P
所以 ， ， ， 四点共面.
G F
因为 //平面 ， 平面 ，
D
A
平面 平面 ，
B
E C
所以 //
所以四边形 是平行四边形.
所以
所以 为 的中点. …………………6分
（II）选条件①： .
因为底面 为正方形，
所以 .
又 ， ，
所以 平面 .
所以 .
如图建立空间直角坐标系 ，因为底面 是
边长为2的正方形， ，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
则 即
令 ，则 .于是 .设直线 与平面 所成角为 ，
则 .
所以直线 与平面 所成角为的正弦值为 . …………………15分
选条件②： .
如图，连接 .
因为底面 是边长为2的正方形，
所以 ， .
z
P
因为 ， ，
F
所以
.
所以 . A D y
B
E C
因为 ， ，
x
所以 平面
所以 .
以下同选条件① . …………………15分
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，可得学生一周参加课后活动的时间位于区间[13, 17)的频率
为 ，
因此估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间[13, 17)的概率为 ． …………………3分
（Ⅱ）从全校学生中随机选取1人，其一周参加课后活动的时间在区间[15, 17)的概率为 ．
因此ξ ．则 的分布列为：
0 1 2 3
． …………………10分
（Ⅲ）c<b<a． …………………13分
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）由题设，
解得
所以椭圆 的方程为 . …………………5分
（Ⅱ）设 为椭圆 上一点，
则有 ．
由 ， ， 成等差数列，得
即
由 ，则 .
又 在椭圆 上，有 ，
故 ，因为 ，所以 .
即 ，
所以
所以实数 的取值范围是 . …………………14分
（20）（共15分）
解：（Ⅰ）因为
所以 .
所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 . …………………4分
（Ⅱ）令 ，得 .
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 在 时取得极小值.
所以函数 的极小值为 ，不存在极大值. …………………9分
（Ⅲ）令 ，其定义域为 .令 ， ，
所以 在 上单调递增.
当 时， ，即 ， 单调递减；
当 时， ，即 ， 单调递增；
当 时， ，即 ， 取得极小值 .
，
因为 ，所以 ， ，
所以 .
因此，当 时， ，
所以 ， ，
即 ， ，曲线 与曲线 无交点；
当 时， ，
所以存在且仅存在一个 ，使得 ，
对 且 ，都有 ，即 .
所以当 时，曲线 与曲线 有且仅有一个交点；故当 时，曲线 与曲线 至多存在一个交点. …………………15分
（21）（共15分）
解：（Ⅰ）由 的定义以及 ，可得：A的长度为3的子列为： ，
的长度为 的子列有 个， 的长度为 的子列有 个，
所以 . …………………5分
（Ⅱ）
理由如下：
若 是 的一个子列，
为 的一个子列.
则
若 与 是 的两个不同子列，
与 也是 的两个不同子列.
则
所以 .
，
同理
所以 .
同理 所以有 …………………10分
（Ⅲ）由已知可得，数列 中恰有k个1， 个0. 令 ，
下证： .
由 于 ， 所 以 的 子 列 中 含 有 i 个 0 ， j 个 1的子列有且仅有1 个，
设为： . 而数列 的含有i个0，j个1的子列至少有一个，
所以 .
数列 中，不含有0的子列有 个，含有1个0的子列有k个，
含有2个0的子列有 个， ，含有 个0的子列有 个，
所以 .
所以 的最小值为 . …………………15分
