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北京市八一学校 2022 届高三数学一模模拟练习
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项.
1. 在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边经过点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
.
2 设 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
.
3 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知F为抛物线 的焦点， 是该抛物线上的一点.若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 向量 ， ， 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若 为与 同方向的单位向量，则
（ ）
A. 1.5 B. 2 C. -4.5 D. -36. 设曲线 是双曲线,则“ 的方程为 ”是“ 的渐近线方程为 ”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不重合的平面，给出下列四个命题：
①若 ， ，则 ；
②若 ， ，则 ；
③若 ， ， ，则 ；
④若 ， ， ， ， ，则 ．
其中真命题 的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知实数 “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 已知点P是直线l： 上的动点，过点P引圆C： 的两条切线
PM，PN，M，N为切点，当 的最大值为 时，则r的值为
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
10. 某同学在数学探究活动中确定研究主题是“ （ ， ）是几位数”，他以 （ ）
为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表：
（ ） N的位数
一位数
一位数一位数
两位数
两位数
两位数
三位数
三位数
三位数
四位数
…… …… ……
试用该同学的研究结论判断 是几位数（参考数据 ， ）（ ）
.
A 101 B. 50 C. 31 D. 30
二､填空题，共5小题，每小题5分，共25分.
11. 的展开式中 的系数是___________.
12. 若数列 的前n项和 ， ，2，3，…，则满足 的n的最大值为___________.
13. 在 中， ，则 的面积为___________.
14. 已知函数 若关于x方程 有三个不相等的实数根，则实数a的取值
范围是___________.
15. 已知集合 ．由集合 中所有的点组成的图形如图
中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”．给出下列结论：①“水滴”图形与 轴相交，最高点记为 ，则点 的坐标为 ；
②在集合 中任取一点 ，则 到原点的距离的最大值为3；
③阴影部分与 轴相交，最高点和最低点分别记为 ， ，则 ；
④白色“水滴”图形的面积是 ．
其中正确的有______．
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.
16. 已知函数 ，同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期
；② 的图像可以由 的图像平移得到；③函数 的最大值为2；④
.
（1）请选出这三个条件并说明理由，再求出函数 的解析式；
（2）若曲线 的图像只有一个对称中心落在区间 内，求a的取值范围.
17. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 . 是等腰三角形，且 ；
在梯形 中， ， ， ， ， .（1）求证： 面 ；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）请问棱 上是否存在点Q到面 的距离为 ，若存在，求出 的值，若不存在，说明理
由.
18. 某社区100名居民参加2019年国庆活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按 ，
， ， ， 分组，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）求a的值，并估计该社区参加2019年国庆活动的居民的年龄中位数；
（2）现从年龄在 ， 的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进
行座谈，用X表示参与座谈的居民的年龄在 的人数，求X的分布列和数学期望；
的
（3）若用样本 频率代替概率，用随机抽样的方法从该地30岁至80岁之间的市民中抽取20名进行
调查，其中有k名市民的年龄在 的概率为 （ ，1，2，…，20），当 最大时，写出k的值.（不用说明理由）
19. 设函数 .
（1）若曲线 在点 处的切线与x轴平行，求 ；
（2）若 在 处取得极小值，求 的取值范围；
（3）若 存在最小值，写出 的取值范围（不要求说明理由）.
20. 已知椭圆 经过点 ，且离心率 .
（1）求椭圆E的方程；
（2）若M，N是椭圆E上异于点P的两点，且以线段 为直径的圆恒过点P，判断直线 是否过定
点？如果是，求此定点坐标.如果不是，请说明理由.
21. 若实数数列 满足 ，则称数列 为“ 数列”．
（1）若数列 是 数列，且 ，求 ， 的值；
（2）求证：若数列 是 数列，则 的项不可能全是正数，也不可能全是负数；
（3）若数列 为 数列，且 中不含值为零的项，记 前 项中值为负数的项的个数为 ，
求 所有可能取值．
