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北京市丰台区 2021—2022 学年度第二学期综合练习（一）
高三数学 2022.03
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知命题 ： ， ，那么 是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 若复数 （a，b为实数）则“ ”是“复数z为纯虚数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
的
4. 已知圆 ，则圆心 到直线 距离等于（ ）
A. B. C. D.
5. 若数列 满足 ，且 ，则数列 的前 项和等于（ ）
A. B. C. D.
6. 在△ 中， ，则 （ ）
A. B. C. D. 或
7. 在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”．若该社区“社区
值守”岗位至少需要1位男性志愿者．则这6位志愿者不同的分配方式共有（ ）
A. 19种 B. 20种 C. 30种 D. 60种
8. 已知 是双曲线 的一个焦点，点 在双曲线 的一条渐近线上， 为坐标原点．若
，则△ 的面积为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知函数 无最小值，则 取值范围是（ ）
的
A. B. C. D.
10. 对任意 ，若递增数列 中不大于 的项的个数恰为 ，且 ，则
的最小值为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 函数 = 的定义域是_________.
12. 已知向量 ， ．若 ，则 ______．
13. 设函数 的定义域为 ，能说明“若函数 在 上的最大值为 ，则函数 在 上
单调递增“为假命题的一个函数是__________.
14. 已知抛物线 的焦点为 ，则 的坐标为______；设点 在抛物线 上，若以线段 为
直径的圆过点 ，则 ______．
15. 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是棱 的中点，点 在线段
上运动，给出下列四个结论：①平面 截正方体 所得的截面图形是五边形；
②直线 到平面 的距离是 ；
③存在点 ，使得 ；
④△ 面积的最小值是 ．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作
为一组已知条件，使 的解析式唯一确定．
的
（1）求 解析式；
（2）设函数 ，求 在区间 上的最大值．
条件①： 的最小正周期为 ；
为
条件②： 奇函数；
条件③： 图象的一条对称轴为 ．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
17. 如图，在直角梯形 中， ， ， ．以直线 为轴，将直角梯形 旋转得到直角梯形 ，且 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得直线 和平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求出 的
值；若不存在，说明理由．
18. 为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生
中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：
毕业去向 继续学习深造 单位就业 自主创业 自由职业 慢就业
人数 200 560 14 128 98
的
假设该地区2021届大学毕业生选择 毕业去向相互独立．
（1）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择
“单位就业”的人数；
（2）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量 为这3人中选择“继续学习深造”的人
数．以样本的频率估计概率，求 的分布列和数学期望 ；
（3）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的
人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为 ．当 为何值
时， 最小．（结论不要求证明）
19. 已知椭圆 （ ）的左、右顶点分别为 ， ，且 ，离心率为 ．（1）求椭圆 的方程；
（2）设 是椭圆 上不同于 ， 的一点，直线 ， 与直线 分别交于点 ．若
，求点 横坐标的取值范围．
20. 已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 的斜率为1的切线方程；
（2）若函数 恰有两个不同的零点，求 的取值范围．
21. 已知集合 ( 且 ）， ，且 ．若对任意
（ ），当 时，存在 ( )，使得 ，则称 是 的 元完
美子集．
（1）判断下列集合是否是 的3元完美子集，并说明理由；
① ； ② ．
（2）若 是 的3元完美子集，求 的最小值；
（3）若 是 （ 且 ）的 元完美子集，求证：
，并指出等号成立的条件．
