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2022 北京东城高三一模
数学
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 下列函数中，定义域与值域均为R的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A. 2 B. －2 C. 1 D. －1
4. 已知数列 的前 项和 ，则 是（ ）
A. 公差为2的等差数列 B. 公差为3的等差数列
C. 公比为2的等比数列 D. 公比为3的等比数列
5. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 已知正方体 的棱长为1， 为 上一点，则三棱锥 的体积为（ ）
A. B. C. D.7. 在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首.北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节
气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.墩墩同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友，则这3
个节气中含有“立春”的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知 、 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 在平面直角坐标系中，直线 与 轴和 轴分别交于 ， 两点， ，若
，则当 ， 变化时，点 到点 的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
10. 李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过 天后，用户人数 ，其中 为
常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（ ）（本题
取 ）
A. 31 B. 32 C. 33 D. 34
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在 的展开式中，常数项为________.（用数字作答）
12. 已知向量 ， 在正方形网格中的位置如图所示.若网格上小正方形的边长为1，则
________.13. 已知抛物线 过点 ，则 ________；若点 ， 在 上， 为
的焦点，且 ， ， 成等比数列，则 ________.
14. 已知函数 ，若 ，则不等式 解集为_______；若 恰有
的
两个零点，则 的取值范围为_____．
15. 某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动.如图1所示，线段 表示角楼的高， ， ， 为
三个可供选择的测量点，点 ， 在同一水平面内， 与水平面垂直.现设计能计算出角楼高度的测量方
案，从以下六组几何量中选择三组进行测量，则可以选择的几何量的编号为________.（只需写出一种方
案）
① ， 两点间的距离；
② ， 两点间的距离；
③由点 观察点 的仰角 ；
的
④由点 观察点 仰角 ；⑤ 和 ；
⑥ 和 .
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数 ．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数
存在且唯一确定．
（1）求 的解析式；
（2）设 ，求函数 在 上的单调递增区间．
条件①： ；
条件②： 为偶函数；
条件③： 的最大值为1；
条件④： 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ．
17. 如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ， 为线段
上一点.
（1）求证： ；
（2）若直线 与平面 所成角为 ，求点 到平面 的距离.18. 根据Z市2020年人口普查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程度人口所占比例
（精确到0.01）如下表所示：
受教育程度 大学 大学 硕士 博士
未上学 小学 初中 高中
性别 专科 本科 研究生 研究生
男 0.00 0.03 0.14 0.11 0.07 0.11 0.03 0.01
.
0 0
女 0.01 0.11 0.11 0.08 0.12 0.03 0.00
4
.
0 2
合计 0.01 0.07 0.22 0.15 0.23 0.06 0.01
5
（1）已知Z市15岁及以上常住人口在全市常住人口中所占比例约为85%，从全市常住人口中随机选取1
人，试估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率；
（2）从Z市15岁及以上常住人口中随机选取2人，记这2人中受教育程度为大学本科及以上的人数为
X，求X的分布列和数学期望；
（3）若受教育程度为未上学、小学、初中、高中、大学专科及以上的受教育年限分别记为0年、6年、9
年、12年、16年，设Z市15岁及以上男性与女性常住人口的平均受教育年限分别为 年和 年，依据表
中的数据直接写出 与 的大小关系.（结论不要求证明）
19. 已知函数 ．
（1）若曲线 在点 处的切线斜率为 ，求 的值；
（2）若 在 上有最大值，求 的取值范围.
20. 已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 ．
的
（1）求椭圆 方程；
（2）过点 作斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点.是否存在常数 ，使得直线 与直线的交点 在 ， 之间，且总有 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
21. 设数列 .如果 ，且当 时，
，则称数列A具有性质 .对于具有性质 的数列A，定义数列 ，
其中 .
（1）对 ，写出所有具有性质 的数列A；
（2）对数列 ，其中 ，证明：存在具有性质 的数列
A，使得 与 为同一个数列；
（3）对具有性质的数列A，若且数列满足，证明：这样的数列A有偶数个.
