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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2024 年北京市第二十中学中考数学零模试卷
一、选择题（第1-8题均有4个选项，符合题意的选项只有一个）
1. 下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查立体几何的三视图．根据题意，逐项判断即可．
【详解】解：A.主视图为长方形，此项不符合题意；
B.主视图为三角形，此项符合题意；
C.主视图为圆，此项不符合题意；
D.主视图为长方形，此项不符合题意．
故选：B．
2. 截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628．83亿千瓦时，相当于减排
二氧化碳约2.2亿吨．将262 883 000 000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将262 883 000 000写成 ，n为正整数的形式即可．
【详解】解：将262 883 000 000保留1位整数是 ，小数点向左移动了11位，
则262 883 000 000 ，
故选B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，掌握 中n的取值方法是解题
的关键．
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3. 已知a＝ ﹣2，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A. 1＜a＜2 B. 2＜a＜3 C. 3＜a＜4 D. 4＜a＜5
【答案】B
【解析】
【分析】先估算出 的范围，即可求得答案．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ 在2和3之间，即2＜a＜3．
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能估算出 的范围是解题关键．
4. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】轴对称图形的概念是：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图
形；中心对称图形的概念是：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 180度，如果旋转后的图形能与原来
的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
【详解】A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，解题的关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的
概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图
形旋转180度后与原图重合．
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5. 点 、 、 、 在数轴上的位置如图所示， 为原点， ， ，若点C表示的数为
a，则点 所表示的数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数以及数轴上两点点的距离，列代数式，根据题意得出
，根据 ，即可求解．
【详解】解： 所表示的数为 ，
，
，
，
，
点 所表示的数为 ．
故选：B．
6. 不透明的袋子中有3个小球，其中有1个红球，1个黄球，1个绿球，除颜色外3个小球无其他差别，从
中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸出的小球都是红球的概率是（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用列表法或树状图法列出所有结果，找出满足条件的结果，即可得出结果．
【详解】解：列表如下，
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红 黄 绿
红 （红，红） （红，黄） （红，绿）
黄 （黄，红） （黄，黄） （黄，绿）
绿 （绿，红） （绿，黄） （绿，绿）
由表可知，共有9种等可能结果，其中满足条件的两次都是红球的结果只有1种，
P（两次都是红球）= ，
∴
故选：D．
【点睛】题目主要考查利用列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键．
7. 西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据北
京的地理位置设计的圭表，其中，立柱 高为 ，已知，冬至时北京的正午日光入射角 约为
，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即 的长）约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意和图形，可以用含 的式子表示出 的长，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
立柱根部与圭表的冬至线的距离为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
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8. 如图， 是 直径，点C、D将 分成相等的三段弧，点P在 上．已知点Q在 上且
，则点Q所在的弧是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆周角定理和弧角关系求解．
【详解】解：如图，
∵AB为⊙O的直径，P在 上，
∴∠APB=90°，
∵∠APQ=115°，∠APQ=∠APB+∠BPQ，
∴∠BPQ=25°，
∴∠BOQ=2∠BPQ=50°，
∵点C、D将 分成相等的三段弧，
∴ ，
∴∠BOD= ，
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∵∠BOQ<∠BOD，
∴Q在 上，
故选D．
【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆周角定理、弧角关系及直径所对圆周角大小是解题关键．
二、填空题
9. 若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】x≥5
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】∵ 在实数范围内有意义，
∴x−5 0，解得x 5．
故答案⩾为：x≥5 ⩾
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式 有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了
解一元一次不等式．
10. 分解因式： _________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式 ，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查分解因式．掌握综合提公因式和公式法分解因式是解题关键．
11. 一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____．
【答案】720°##720度
【解析】
【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可．
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【详解】这个正多边形的边数为 =6，
所以这个正多边形的内角和是（6﹣2）×180°=720°，
故答案为：720°．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）；多边形的外
角和等于360度．
12. 已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则m的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据根与判别式的关系列式求解即可得到答案；
【详解】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，解得： ，
故答案为： ；
【点睛】本题主要考查根与判别式的关系，一元二次方程有两个相等的实数根，判别式等于0．
13. 如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F是BC的三等分点，连接AF，DE，相交于点M，则线
段ME的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理即可得到DE的长，再根据△ADM∽△FEM，即可得到ME的长．
【详解】解：∵矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F是BC的三等分点，
∴CE＝4，CD＝3，EF＝2，AD＝6，
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∴Rt△CDE中，DE＝ ＝5，
∵AD∥EF，
∴△ADM∽△FEM，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
∴EM＝ DE＝ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理的运用，掌握相似三角形的
对应边成比例是解决问题的关键．
14. 在平面直角坐标系 中，点 在双曲线 上．点 关于 轴的对称
点 在双曲线 上，则 的值为______.
【答案】0.
【解析】
【分析】由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线 上，可得k=ab，由点A与点B关于x轴的对称，
1
可得到点B的坐标，进而表示出k，然后得出答案．
2
【详解】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线 上，
∴k=ab；
1
又∵点A与点B关于x轴的对称，
∴B（a，-b）
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∵点B在双曲线 上，
∴k=-ab；
2
∴k+k=ab+（-ab）=0；
1 2
故答案为0．
【点睛】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为
0的性质．
15. 小天想要计算一组数据92，90，94，99，85的方差 ，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一
个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，9， ，记这组新数据的方差为 ，则 _____ ．（填“
”，“ ”或” ”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了方差的性质．根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组
数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．
【详解】 一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）
这一个常数，方差不变，
．
故答案为： ．
16. 某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地
面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每
个步骤所花费时间如下表所示：
步骤
时间（分钟） 回收餐具与剩菜、清洁桌面 清洁椅面与地面 摆放新餐具
桌别
大桌 5 3 2
小桌 3 2 1
现有三名餐厅工作人员分别负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，每张
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桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要清理，那么将三张桌子收拾完
毕最短需要 ___分钟．
【答案】
【解析】
【分析】设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面；工作人员2负责②清洁椅面与地面；工作人员
3负责③摆放新餐具，当工作人员1清理大桌子同时，工作人员2清理两张小桌子；第5分钟，当工作人员
1清理小桌子①的同时，工作人员2开始清理1张大桌子；第8分钟，当工作人员1清理小桌子②的同时，
工作人员3开始在大桌子和小桌子①上摆放新餐具；第 分钟，工作人员3开始在小桌子②上摆放新餐具，
进而即可求解．
【详解】解：设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面；工作人员2负责②清洁椅面与地面；工作
人员3负责③摆放新餐具，具体流程如下图：
由流程图可知：将三张桌子收拾完毕最短需要 分钟，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了实际问题的方案设计，事件的统筹安排，尽可能让①回收餐具与剩菜、清洁桌面，与
②清洁椅面与地面，在同一时间段进行，节约时间是解题的关键．
三、解答题（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂，负整数指数幂，二次根式的性质化简，特殊角的三
角函数值进行计算即可求解．
【详解】解：原式
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．
18. 解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，见解析
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式组解法．根据题意先将两个不等式解出，继而可得不等式组的解，再用
数轴上表示即可．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
故不等式组的解集为： ，
在数轴上表示为：
．
19. 已知 ，求代数式 值．
的
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查分式的混合运算，以及代数式求值，利用分式混合运算法则对代数式进行化简得到
，再将 代入化简后的式子进行求解，即可解题．
【详解】解： ，
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，
，
，
，
当 时，
原式 ．
20. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F，使DF＝
ED，连接BE，BF，CF，AD．
（1）求证：四边形BFCE是菱形；
（2）若BC＝4，EF＝2，求AD的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行线的判定定理得到四边形BFCE是平行四边形，根据直角三角形的性质得到
BE=CE，于是得到四边形BFCE是菱形．
（2）根据三角形的中位线定理，可得AB=2EF，根据菱形对角线互相平分可求出BD，最后根据勾股定理
即可求出AD．
【小问1详解】
证明：∵D是边BC的中点，
∴BD=CD，
∵DF=ED，
∴四边形BFCE是平行四边形，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E是边AC的中点，
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∴BE=CE，
∴四边形BFCE是菱形．
【小问2详解】
∵四边形BFCE是菱形．
∴ED= EF=1，BD= BC=2，
∵D、E分别是边BC，AC的中点，ED=1，
∴AB=2ED=2，
∵∠ABC＝90°，
∴ ．
【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的性质定理是解题的关键．
21. 列方程解应用题
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配
送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆
无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？
【答案】 件
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、明确量之间的关系、列出分式方程是解题的关键．
设1名快递员平均每天配送包裹 件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹 ，然后根据等量关系“要
配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”列分式方程求解
即可．
【详解】解：设1名快递员平均每天配送包裹 件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹 ，
依题意可得： ，解得： ．
经检验， 是原分式方程的解且符合题意．
答：1名快递员平均每天可配送包裹 件．
22. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图像由函数 的图像平移得到，且经过
点 ．
（1）求这个一次函数的解析式；
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（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值小于函数 的值，直接写
出 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平移得到 ，再将 ，代入解析式即可得解；
（2）根据题意，可得 时直线 在直线 的下方，利用图像法求出 的
取值范围即可．
【小问1详解】
解：∵一次函数 的图像由函数 的图像平移得到，
∴ ．
∵一次函数 的图像经过点 ，
∴ ．
∴ ．
∴这个一次函数的解析式为 ．
【小问2详解】
解：由题意，得： 时直线 在直线 的下方，
如图：当直线 在 之间时，满足题意：
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当 与 平行时， ，
当 过点 时： ，
∴当 时，对于 的每一个值，函数 的值小于函数 的值．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用．熟练掌握一次函数图像的平移，利用数形结合的思想进行求解，
是解题的关键．
23. 某校九年级共有学生150人，为了解该校九年级学生体育测试成绩的变化情况，从中随机抽取30名学
生的本学期体育测试成绩，并调取该30名学生上学期的体育测试成绩进行对比，小元对两次数据(成绩)进
行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．小元在统计本学期体育测试成绩各分数段人数时，不小心污染了统计表：
.
成绩(分) x≤25 25.5 26 265 27 27.5 28 28.5 29 29.5 30
人数(人) 2 1 0 2 1 1 1 4 14
b．体育测试成绩的频数分布折线图如下(数据分组：x≤25，25＜x≤26，26＜x≤27，27＜x≤28，28＜
x≤29，29＜x≤30)：
c．两个学期测试成绩的平均数、中位数、众数如下：
学期 平均数 中位数 众数
上学期 26.75 26.75 26
本学期 28.50 m 30
根据以上信息，回答下列问题：
(1)请补全折线统计图，并标明数据；
(2)请完善c中的统计表，m的值是 ；
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(3)若成绩为26.5分及以上为优秀，根据以上信息估计，本学期九年级约有 名学生成绩达到优秀；
(4)小元统计了本班上学期体育测试成绩各分数段人数，如下：
25＜ 26＜ 27＜ 28＜ 29＜
成绩(分) x≤25
x≤26 x≤27 x≤28 x≤29 x≤30
人数(人) 6 8 3 3 4 6
通过观察、分析，得出这样的结论“在上学期的体育测试成绩中，众数一定出现在25＜x≤26这一组”．
请你判断小元的说法是 (填写序号：A．正确 B．错误)，你的理由是 ．
【答案】(1)见解析；(2)见解析，30；(3)120；(4)B；虽然25＜x≤26这一组人数最多，但也可能出现在
x≤25或29＜x≤30这两组中 ．
【解析】
【分析】(1)计算出成绩为26分的学生人数，补全折线统计图即可；
(2)根据中位数的定义即可得到结论；
(3)求出成绩为26.5分及以上的人数占调取的30名学生的百分数×九年级的总人数即可得到结论；
(4)根据众数的定义即可得到结论．
【详解】(1)成绩为26分的学生人数为：30﹣18﹣2﹣1﹣3﹣2＝4，
补全折线统计图如图所示；
(2)∵中位数为第15个和第16个数据的平均数，
∴m＝30；
故答案为30；
(3)150× ＝120名，
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即本学期九年级约有120名学生成绩达到优秀，
故答案为120；
(4)B，理由：虽然25＜x≤26这一组人数最多，但也可能出现在x≤25或29＜x≤30这两组中，
故答案为B；虽然25＜x≤26这一组人数最多，但也可能出现在x≤25或29＜x≤30这两组中．
【点睛】本题考查了频数(率)分布折线图，平均数，中位数，众数，正确的理解题意是解题的关键．
24. 如图，直线l与 相离， 于点A，与 相交于点P， ．C是直线l上一点，连接
并延长，交 于点B，且 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求线段 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，则 ，利用等边对等角、对顶角相等，可得 ，
再 由 可 得 ， 由 垂 直 的 性 质 可 得 ， 进 而 可 得
，通过等量代换可得 ，即可证明 是 的切
线；
（2）过点O作 于D，根据正切的定义可得 ，设 ， ，通过
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解 求出 x，进而求出相关线段长度，再证明 ，根据对应边成比例可求出
，再根据等腰三角形三线合一可得 ．
【小问1详解】
证明：连接 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
解：如图，过点O作 于D，
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∵ ，
∴设 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，正切的定义，相似三
角形的判定与性质等，难度一般，解题的关键是能够综合运用上述知识点，正确作出辅助线．
25. 小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下：
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收费项目 收费标准
3公里以内收费 13元
基本单价 2.3元/公里
…… ……
备注：出租车计价段里程精确到500米；出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入．
小明首先简化模型，从简单情形开始研究：①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）；②行驶路程3公里
以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价1.2元，后500米计价1.1元.
下面是小明的探究过程，请补充完整：
记一次运营出租车行驶的里程数为 （单位：公里），相应的实付车费为 （单位：元）.
（1）下表是y随x的变化情况
行驶里程数x 0 0＜x＜3.5 3.5≤x＜4 4≤x＜4.5 4.5≤x＜5 5≤x＜5.5 …
实付车费y 0 13 14 15 …
（2）在平面直角坐标系 中，画出当 时 随 变化的函数图象；
（3）一次运营行驶 公里（ ）的平均单价记为 （单位：元/公里），其中 .
①当 和 时，平均单价依次为 ，则 的大小关系是____________；（用
“＜”连接）
②若一次运营行驶 公里的平均单价 不大于行驶任意 （ ）公里的平均单价 ，则称这次行驶的
里程数为幸运里程数.请在上图中 轴上表示出 （不包括端点）之间的幸运里程数 的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）① ；②见解析
【解析】
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【分析】（1）根据计费标准完成表格即可.
（2）根据（1）中的表格画出图象即可.
（3）①根据 把x=3，3.4和3.5分别代入计算w，w，w 的值，并作比较；
1 2 3
②根据幸运里程数的概念进行回答即可.
【详解】解：（1）根据计费模型，可得行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中
前500米计价1.2元，后500米计价1.1元．且计费以元为单位得出
行驶里程 0＜x＜ 3.5≤x＜ 4≤x＜ 4.5≤x＜ 5≤x＜
0 …
数x 3.5 4 4.5 5 5.5
实付车费y 0 13 14 15 17 18 …
（2）如图所示：
（3）①当x=3时， ，
当x=3.4时， ，
当x=3.5时，
则 ；
② 轴上表示出 （不包括端点）之间的幸运里程数 的取值范围如上图所示.
【点睛】属于新定义问题，考查反比例函数的图象与性质，读懂题目是解题的关键.
26. 在平面直角坐标系 中， ， 是抛物线 上任意两点，设
抛物线的对称轴为 ．
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（1）若对于 ，有 ，求t的值；
（2）若对于 ，都有 ，求t的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数 的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；
（2）根据题意可得 离对称轴更近， ，则 与 的中点在对称轴的右侧，根据
对称性求得 ，进而根据 ，即可求解．
【小问1详解】
解：∵对于 有 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵抛物线的对称轴为 ．
∴ ；
【小问2详解】
解：∵当 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ 离对称轴更近， ，则 与 的中点在对称轴的右侧，
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∴ ，
即 ．
27. 如图，在四边形 中， ， ， ，作 ，使得点E和点A
在直线 的异侧，连接 ，将射线 绕点A逆时针旋转 交射线 于点F．
（1）①依题意，补全图形；
②证明： ．
（2）连接 ，若G为线段 的中点，连接 ，请用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证
明．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2） ，见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，勾股定理，平行线性质，旋转性质等．
（1）①根据题意画图即可；②由题意得 ，继而利用全等三角形判定及性质可得本题答案；
（2）过点D作 ，连接 ，利用平行线性质可得 ，
继而判定 ，再利用直角三角形勾股定理可得本题答案．
【小问1详解】
解：①解：如图1所示：
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②证明：∵将射线 绕点A逆时针旋转 交射线 于点F，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：如图2，过点D作 ，交 的延长线于点H，连接 ，
∵点G是 的中点，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
28. 对于平面内的点M，如果点P，点Q与点M所构成的 是边长为1的等边三角形，则称点P，点
Q为点M的一对“关联点”，进一步地，在 中，若顶点M，P，Q按顺时针排列，则称点P，点Q
为点M的一对“顺关联点”；若顶点M，P，Q按逆时针排列，则称点P，点Q为点M的一对“逆关联
点”．已知 ，
（1）在 中，点A的一对关联点是____，它们为点A的一对___关联
点（填“顺”或“逆”）；
（2）以原点O为圆心作半径为1的圆，已知直线 ．
①若点P在⊙O上，点Q在直线l上，点P，点Q为点A的一对关联点，求b的值；
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②若在⊙O上存在点R，在直线l上存在两点 和 ，其中 ，且点T，点S为点R的
一对顺关联点，求b的取值范围．
【答案】（1）C，D，逆（或D，C，顺）；（2）① ， 或 ；② ．
【解析】
【分析】（1）根据两点间距离公式，分别求出AO、AB、AC、AD、OD的长，根据“关联点”及“顺关
联点”的定义即可得答案；
（2）①根据“关联点”的定义可得 ，可得∠QPA=60°，根据⊙O半径及点A坐标可得
OA=OP=AP，可得△OAP是等边三角形，根据等边三角形点性质可得∠OAP=∠POA=60°， ，
，可得Q（0，0），根据∠QPA=∠POA=60°，可得PQ//OA，即可得出点Q的横坐标和纵坐
1
标，即可得Q、Q 坐标，把Q、Q、Q 坐标代入直线l解析式求出b值即可；②作 于点H，则
2 3 1 2 3
，根据圆的性质分别求出b的最大值和最小值即可得答案．
【详解】（1）∵ ， ，
∴AO=1，AB= ，AC=1，AD=1，OD= ，
∴△ACD是等边三角形，
∴C、D是点A的“关联点”，
∵点A、C、D按顺时针排列，
∴C、D是点A的“顺关联点”，
为
故答案 ：C，D，顺（或D，C，逆）
（2）①如图．
∵点P，点Q为点A的一对“关联点”，
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为
∴ 等边三角形， ，
∴∠QPA=60°，
∵以原点O为圆心作半径为1的圆，点P在⊙O上，OA=1，
∴OA=OP=AP，
∴△OAP是等边三角形，
∴∠OAP=∠POA=60°， ， ，
∴Q（0，0），
1
∵点Q在直线l上，
∴b=0，
1
∵∠QPA=∠POA=60°，
∴PQ//OA，
∴点Q横坐标为 +1= ，
∵ ，
∴点Q纵坐标为 ，
∴ ，
当 时， ，解得： ；
当 时， ，解得： ．
综上所述， ， 或 ．
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②如图．
∵点T，点S为点R的一对顺关联点，
∴ 为正三角形， ， 轴，点T和点S在直线 上．
作 于点H，则 ，
当b取最大值时， ， ，
此时 ．
当b取最小值时， ， ，
此时 ．
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综上所述，b的取值范围为 ．
【点睛】本题考查等边三角形点判定与性质、圆点性质及一次函数图象上点点坐标特征，正确理解“关联
点”点概念是解题关键．
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