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2024 北京理工大附中高三三模
数 学
班级______姓名______
一、选择题
1. 设 ，其中x，y是实数，则
A. 1 B. C. D. 2
2. 已知集合 ，若 ，则 可能是（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
3. 在 展开式中，常数项 的二项式系数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4. 下列函数中，是偶函数且在区间 上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知双曲线 的一个焦点坐标是 ，则 的值及 的离心率分别为（ ）
A. B. C. 1，2 D.
6. 已知向量 ， 满足 ， ，若 ，且 ，则 的最大值
为（ ）
A. 3 B. 2 C. D.7. 已知 是三个不同的平面， ，则“ ”是“ ”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分又不必要
8. 已知直线 ，圆 ，下列说法错误的是（ ）
A. 对任意实数 ，直线 与圆 有两个不同的公共点；
B. 当且仅当 时，直线 被圆 所截弦长为 ；
C. 对任意实数 ，圆 不关于直线 对称；
D. 存在实数 ，使得直线 与圆 相切．
9. 在四棱锥 中，底面 为正方形， ， ， ，则 的
周长为（ ）
A. 10 B. 11 C. D. 12
10. 平面内相距 的A，B两点各放置一个传感器，物体 在该平面内做匀速直线运动，两个传感器分别
实时记录下 两点与 的距离，并绘制出“距离---时间”图象，分别如图中曲线 所示.已知曲线 经过
点 ， ， ，曲线 经过点 ，且 若 的运动轨迹
与线段 相交，则 的运动轨迹与直线 所成夹角的正弦值以及 分别为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题11. 已知角 的终边经过点 ，且 ，则 等于__________．
12. 已知抛物线 的焦点为 ，则 的坐标为______；过点 的直线交抛物线 于 两点，
若 ，则 的面积为______．
13. 已知等比数列 满足： （ ），请写出符合上述条件的一个等比数列
的通项公式：______．
14. 已知函数 ．
①若 ，则 的最小正周期是______；，
②若 ，则 的值域是______．
15. 设函数 给出下列四个结论：①对 ， ，使得 无解；
②对 ， ，使得 有两解；③当 时， ，使得 有解；④当 时，
，使得 有三解.其中，所有正确结论的序号是______.
三、解答题
16. 在锐角 中，已知
（1）求角 ；
（2）若 ， ，求 的面积．
17. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ， ， 为
中点， ．（1）设平面 平面 ，求证： ；
为
（2）从条件①，条件②，条件③中选择两个作 已知，使四棱锥 存在且唯一确定．
（ⅰ）求平面 与平面 所成角的余弦值；
（ⅱ）平面 交直线 于点 ，求线段 的长度．
条件①：平面 平面 ；
条件②： ；
条件③：四棱锥 的体积为 ．
.
18 某公司有甲、乙两条生产线生产同一种产品，该产品有 两个指标．从两条产品线上各随机抽取
一些产品，指标数据如下表：
甲生产线
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
产品序号
指标 0.98 0.96 1.07 1.02 1.00 0.93 0.92 0.96 1.11 1.02
指标 2.01 1.97 1.96 2.03 2.03 1.98 1.95 1.99 2.07 2.02
乙生产线
1 2 3 4 5 6 7 8
产品序号
.
1 1
指标 1.02 0.97 0.95 0.94 0.98 0.97 1.01
3
指标 2.01 2.03 2.15 1.93 2.01 2.02 2.19 2.04
假设用频率估计概率，且两条生产线相互独立．
（1）从甲生产线上随机抽取一件产品，估计其 指标大于1且 指标大于2的概率；（2）从甲、乙生产线上各随机抽取一件产品，设X表示 指标大于2的产品数，估计X的数学期望；
（3）已知产品 指标之和与3的差的绝对值越小则产品越好，两条生产线各生产一件产品，甲、乙哪
条生产线产品更好的概率估计值最大？（结论不要求证明）
19. 已知椭圆 的短轴长为 ，左、右顶点分别为 ，过右焦点 的
直线 交椭圆 于 两点（不与 重合），直线 与直线 交于点 ．
的
（1）求椭圆 方程；
（2）求证：点 在定直线上.
20. 已知 在 处的切线方程为 ．
（1）求实数 的值；
（2）证明： 仅有一个极值点 ，且 ．
（3）若 ，是否存在 使得 恒成立，存在请求出 的取值范围，不存在
请说明理由．
21. 给定整数 ，数列 、 、 、 每项均为整数，在 中去掉一项 ，并将剩
下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为 .
将 、 、 、 中的最小值称为数列 的特征值.
（Ⅰ）已知数列 、 、 、 、 ，写出 、 、 的值及 的特征值；
（Ⅱ）若 ，当 ，其中 、 且 时，
判断 与 的大小关系，并说明理由；（Ⅲ）已知数列 的特征值为 ，求 的最小值.
