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北京市东城区 2021-2022 学年度第二学期高三综合练习（二）
数 学
2022.5
第一部分（选择题 共40分
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. 或 D. 或
2. 已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
3. 在 的展开式中，第4项的系数为（ ）
A. B. 80 C. D. 10
4. 将函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）
A. B. C. D.
5. 《周髀算经》中对圆周率 有“径一而周三”的记载，已知两周率 小数点后20位数字分别为14159
26535 89793 23846．若从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数
字均为奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，P为C右支上一点．若 的一条渐近线方程为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知 ， 则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知点 在直线 上．则当 变化时，实数a的范围为（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知等差数列 与等比数列 的首项均为－3，且 ， ，则数列 （ ）
A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
.
C 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项
10. 如图，已知正方体 的棱长为1，则线段 上的动点P到直线 的距离的最小
值为（ ）
A. 1 B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知复数 满足 ，则 __________， __________．
12. 已知向量 ， ， 满足 ，且 ， ，则 __________．
13. 已知抛物线 ， 为C上一点， 轴，垂足为Q，F为C的焦点，O为原点．若
，则 __________．
14. 已知奇函数 的定义域为R，且 ，则 的单调递减区间为__________；满足以上条件
的一个函数是__________．
15. 某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限 ，劳累程度 ，劳动动机
相关，并建立了数学模型 ．
已知甲、乙为该公司 的员工，给出下列四个结论：
①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；
②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；
③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强：
④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱．
其中所有正确结论的序号是__________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
16. 在 中， ．
（1）求 ；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在且唯一确定，求c和
的值．
条件①： ， 边上中线的长为 ；
条件②： ， 的面积为6；条件③： ， 边上的高 的长为2．
17. 某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了 名男生和 名女生的视力
数据．分别计算出男生和女生从小学一年级（ 年）到高中三年级（ 年）每年的视力平均值，如
图所示．
（1）从 年到 年中随机选取 年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率；
（2）从 年到 年这 年中随机选取 年，设其中恰有 年女生的视力平均值不低于当年男生的
视力平均值．求 的分布列和数学期望：
（3）由图判断，这 名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）
18. 如图，平面 平面 ， ， ， 、 分别为 、 的中点， ，
．
（1）设平面 平面 ，判断直线l与 的位置关系，并证明；
的
（2）求直线 与平面 所成角 正弦值．19. 已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，曲线 在 轴的上方，求实数a的取值范围．
20. 已知椭圆 的右顶点为 ，离心率为 ．过点 与x轴不重合的直
线l交椭圆E于不同的两点B，C，直线 ， 分别交直线 于点M，N．
（1）求椭圆E的方程；
为
（2）设O 原点．求证： ．
21. 对于数列 ， ，…， ，定义变换 ， 将数列 变换成数列 ， ，…， ，
，记 ， ， ．对于数列 ， ，…， 与 ， ，…，
，定义 ．若数列 ， ，…， 满足 ，
则称数列 为 数列．
（1）若 ，写出 ，并求 ；
（2）对于任意给定的正整数 ，是否存在 数列 ，使得 若存在，写出一个数
列 ，若不存在，说明理由：
（3）若 数列 满足 ，求数列A的个数．
