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数学练习
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的定义运算即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
故选：B.
2. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的乘除运算将复数化为代数形式，然后求出对应点的坐标，再判断对应点的象限即可.
【详解】 ，其对应点的坐标为 位于第一象限.
故选：A
3. 双曲线 的两条渐近线互相垂直，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
【答案】C
【解析】
【分析】求出双曲线 的渐近线方程，由条件列方程求 .
【详解】因为双曲线的方程为 ，所以 ，所以双曲线 的渐近线方程为 ，
又双曲线 的两条渐近线互相垂直，
所以 ，所以 ，
故选：C.
4. 已知 ， 是两个不同的平面，直线 ，则 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由面面垂直的性质以及判定判断即可.
【详解】若 时， ，当 与 ， 的交线不垂直时， 与 不垂直；
若 是， ，由面面垂直的判定可知，
故 是 的必要不充分条件
故选：B
5. 已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别对 ， ， 与特殊值 或 进行比较，从而判断出出它们的大小关系，得到答案.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查判断对数的大小关系，属于简单题.
6. 已知 为单位向量，向量 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据已知条件求出 和 ，然后利用向量的夹角公式可求出结果
【详解】因为 为单位向量，向量 ，且 ，
所以 ，
，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
故选：B
7. 已知函数 ，若把 的图像向左平移 个单位后为偶函数，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】根据左右平移原则可得 解析式，根据奇偶性可得 ，结合 的范围可
求得结果.
【详解】由题意得： .
为偶函数， ，解得： .
∵ ，
.
故选：D.
8. 李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过 天后，用户人数 ，其中 为常
数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（ ）（本题取
）
A. 31 B. 32 C. 33 D. 34
【答案】D
【解析】
【分析】经过 天后，用户人数 ，根据题意可求得 ，由小程序发布经过10天
后有2000名用户，可得 ，当用户达到50000名时有 ，根据对数运算，即可
求得答案.
【详解】 经过 天后，用户人数
又 小程序在发布时已有500名初始用户
又 小程序发布经过10天后有2000名用户即 ，可得
……①
当用户达到50000名时有
即 ，可得
……②
联立①和②可得 ，即
故
用户超过50000名至少经过的天数为34天
故选：D.
9. 已知 经过点 ，半径为1．若直线 是 的一条对称轴．则k的最大值为（
）
A. 0 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件确定点 的位置特征，由此列不等式求 的范围.
【详解】设圆心 的坐标为 ，
因为 经过点 ，半径为1，
所以 ，故点 在圆 上，
又直线 是 的一条对称轴，所以 ，故点 在直线 上
所以圆 与直线 有交点，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以k 的最大值为 ，
.
故选：D
10. 已知 ，若函数 有两个不同的零点，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由 得出 是函数 的一个零点，再由 有两个不同的零点，得出a的取值
范围.
【详解】 ，则 是函数 的一个零点
由 ，解得
要使得 有两个不同的零点，则
故选：A
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 的展开式中 的系数为______．
【答案】【解析】
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 的次数等于2，求出 ，从而可求出 的系数
【详解】 的展开式的通项公式为 ，
令 ，得 ，
所以 的展开式中 的系数 ，
故答案为：
12. 已知数列 的前n项和为 ， ， ，2，3，…，则 ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】由已知条件可得数列 是以 为公差的等差数列，然后利用等差数列的性质和求和公式可求得
结果
【详解】因为 ，
所以 ，
所以数列 是以 为公差的等差数列，
所以 ，
故答案为：
的
13. 已知抛物线 焦点为 ，准线为 ，点 在抛物线 上， 垂直 于点 ， 与轴交于点 为坐标原点，且 ，则 _______________________．
【答案】
【解析】
【分析】依题意 ，即可得到 为 的中点，从而求出 的纵坐标，再代入抛物线方程
求出 的横坐标，最后根据焦半径公式计算可得；
【详解】解：依题意可得 ， ，根据抛物线的定义可知 ，设 与 轴相交于
点 ，因为 ，又 ，所以 ，所以 为 的中点，所以 即
的纵坐标为 ，在 中令 ，得 ，所以 ，所以
故答案为：
14. 若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是___________.
【答案】 .
【解析】【分析】使用等价转化的思想，转化为 在 恒成立，然后利用分离参数的方法，结合辅
助角公式，可得 ，简单计算和判断，可得结果.
【详解】由题可知：
函数 在区间 上单调递减
等价于 在 恒成立
即 在 恒成立
则 在 恒成立
所以 ，
由 ，所以
故 ，则
所以 ，即
故答案为：
【点睛】本题考查根据函数的单调性求参，难点在于得到 在 恒成立，通过等价转化的
思想，化繁为简，同时结合分离参数方法的，转化为最值问题，属中档题.
15. 如图是一种科赫曲线，其形态似雪花，又称雪花曲线．其做法是：从一个正三角形（记为 ）开始，
把每条边分成三等份，然后以各边的中间线段为底边，分别向外作正三角形，再把此中间线段去掉，得到图形 ；把 的每条边三等份，以各边的中间线段为底边，向外作正三角形后，再把此中间线去掉，得到
图形 ；依此下去，得到图形序列 ， ， ，…， ，…．设 的边长为1，图形 的周长为 ．给
出以下四个结论：① ；② ；③ 既有对称轴，也有对称中心；④若 ，
则n的值最接近于16．以上正确结论的序号是______．（参考数据： ， ）
【答案】②③④
【解析】
【分析】观察图形 ,归纳图形的对称性和周长之间的关系，再进一步得到与第 个图形的对称
性及周长的解析式，由此判断各命题的对错.
【详解】第一个图形有中心对称，对称中心为其中心，有对称轴，对称轴为每条边的中线所在的直线，周
长为 ，
第二个图形有对称中心和对称轴，其位置与图形一相同，在第一个图形的周长的基础上多了其周长的 ，
即 既有对称轴，也有对称中心；周长 ，
第三个图形有对称轴和对称中心，其位置与图形一相同，在第二个的基础上多了其周长的 ，所以 既有对称轴，也有对称中心；周长 ，
第四个图形有对称轴和对称中心，其位置与图形一相同，在第三个的基础上多了其周长的 ，
所以 既有对称轴，也有对称中心；周长 ，
……，
归纳可得 既有对称轴，也有对称中心； ，
所以①错，③对，
，②对，
由 可得 ，所以 ，
所以 ，
又 ， ，
，④对，
故答案为：②③④.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 在锐角△ABC中，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ， ，求△ABC的面积．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理得出 ，再由余弦定理得出 ；
（2）由 得出 ，再由余弦定理结合锐角三角形的性质得出 ，最后
由三角形面积公式求解即可.
【小问1详解】
由余弦定理可得 ，整理得
所以
【小问2详解】
因为 ， ，所以由 可得
解得
当 时， ，此时 为钝角，故 （舍）
当 时， ，满足题意，故
所以
17. 如图，在直三棱柱 中，D，E分别是棱AB， 的中点， ， ．（1）求证： 平面 ；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得各条件相融．并求直线 与
平面 所成的角的正弦值．
条件①： ；条件②： ；条件③： 到平面 的距离为1．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形的中位线定理及平行四边形的性质，结合线面平行的判定定理即可求解；
（2）选择①，根据直棱柱的定义及线面垂直的性质定理和判定定理，建立空间直角坐标系，得出相关点
的坐标，分别求出平面 的法向量，再利用向量的夹角公式，进而可以求出线面角的正弦值.
选择②，根据直棱柱的定义及线面垂直的性质定理和判定定理，建立空间直角坐标系，得出相关点的坐标，
分别求出平面 的法向量，再利用向量的夹角公式，进而可以求出线面角的正弦值.
选择③，根据直棱柱的定义及直线到平面的距离的定义，再利用线面垂直的性质定理和判定定理，建立空
间直角坐标系，得出相关点的坐标，分别求出平面 的法向量，再利用向量的夹角公式，进而可以求
出线面角的正弦值.
【小问1详解】取 的中点为 ，连接 .
分别是 ， 的中点, .
D是 的中点，
直三棱柱 ， . ， .
四边形 为平行四边形.
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
【小问2详解】
选择条件①： ；
直三棱柱 ， 平面 ， 平面 ， ，
， 平面 ，
所以 平面 .而 平面 .
又 ， .
以 为原点，分别以 所在方向为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系
，则 ，
所以 ，
设 为平面 的一个法向量，则
，即 ，
令 ，则 ， ，
设直线DE与平面 所成的角为 ，则
.
所以直线DE与平面 所成的角的正弦值为 .
选择条件②： ；
取 的中点为 ，连接 .
直三棱柱 ， 分别是 ， 的中点,平面 ， 平面 ， ，
， 平面 ，
所以 平面 .而 平面 . .
分别是 ， 的中点, ， .
以 为原点，分别以 所在方向为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系
，
则 ，
所以 ，
设 为平面 的一个法向量，则
，即 ，
令 ，则 ， ，
设直线DE与平面 所成的角为 ，则.
所以直线DE与平面 所成的角的正弦值为 .
选择条件③： 到平面 的距离为1．
过点 作 ,垂足为 ，
直三棱柱 ，
平面 ， 平面 ， ，
， 平面 ，
所以 平面 . 平面 .所以
由（1）知 平面 ；因为 到平面 的距离为1，
所以 .又 ，所以
又因为 是 的中点, ,所以 是 的中点, .
又 ， .
以 为原点，分别以 所在方向为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系
，则 ，
所以 ，
设 为平面 的一个法向量，则
，即 ，
令 ，则 ， ，
设直线DE与平面 所成的角为 ，则
.
所以直线DE与平面 所成的角的正弦值为 .
18. 某工厂每天生产1000箱某型号口罩，每箱300个，该型号口罩吸气阻力不超过343.2pa的为合格品，
否则为不合格品，不可出厂销售.生产过程中随机抽取了20个口罩进行检测，其吸气阻力值（单位：pa）
如下表所示：（1）从样本中随机抽取1个口罩，求其为不合格品的概率；
（2）从样本中随机抽取3个口罩，求其中含有不合格品的概率；
（3）已知每个口罩的检测费用为0.05元.按有关规定，该型号口罩出厂前，工厂要对每一个口罩进行吸气
阻力检测，为督促工厂执行此规定，每天生产的口罩出厂后，质检部门将随机抽取100箱，每箱抽3个口
罩进行检测，每检测出一个不合格品，罚款500元.这个处罚标准是否合理？说明理由.
【答案】（1） ； （2） ； （3）不合理，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据图表中的数据，得到合格品18个，不合格品有2个，即可求解；
（2）由（1）知合格品18个，不合格品有2个，利用组合数公式，即可求得含有不合格品的概率；
（3）根据题意，分别求得检测费用和100箱的罚钱总额，比较即可得到结论.
【详解】（1）由题意，该型号口罩吸气阻力不超过343.2pa的为合格品，否则为不合格品，
根据图表中的数据，可得合格品18个，不合格品有2个，
所以从样本中随机抽取1个口罩，其不合格品的概率为 .
（2）由（1）知样本中合格品18个，不合格品有2个，
所以从中随机抽取3个，其中含有不合格品的概率为 .
（3）由题意，总检测费用为 元，
每箱检测出不合格品的概率为 ，
每箱检测出1个不合格品的概率为 ，
每箱检测出2个不合格品的概率为 ，
每箱检测出3个不合格品的概率为 ，则每箱罚钱的期望为： ，
所以100箱罚钱的期望值为： 元，
所以罚钱的期望值与检测的费用相等，所以不合理，罚钱的金额应大于检测费用.
19. 已知椭圆 过点 ，离心率为 .
（1）求椭圆M的方程；
（2）已知直线 在x轴上方交椭圆M于B，C（异于点A）两个不同的点，直线AB，AC分别
与y轴交于点P､Q，O为坐标原点，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由 点坐标及离心率求得椭圆方程即可；
（2）联立直线与椭圆求得 ，再表示出直线AB，AC的方程，求得P､Q
坐标，再计算 即可.
【小问1详解】
由题意知： ，则 ， ，则椭圆M的方程为 ；
【小问2详解】
联立直线与椭圆 ，整理得 ，，
即 ，又直线 在x轴上方交椭圆M于B，C（异于点A）两点，则
；
设 ，则 ， ，
，
易得直线AB，AC斜率必然存在，则 ，令 ，得 ，则
，同理可得 ，且 ，
则
.
20. 设函数 ， ．
（1）当 时，求 在点 处的切线方程；
（2）当 时， 恒成立，求a的取值范围；
（3）求证：当 时， ．【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可.
（2）首先将问题转化为 恒成立，设 ，再利用导数求出其最大值即可得到答案.
（3）首先将问题转化为 ， ，设 ，利用导数求出
，即可得到答案.
【小问1详解】
， ，即切线 .
， ，则切线方程为： .
【小问2详解】
， 恒成立等价于 ， 恒成立.
设 ， ，
， ， 为增函数，
， ， 为减函数，
所以 ，即 .
【小问3详解】
， 等价于 ， .
设 ， ， ，设 ， ， ，
所以 在 为增函数，即 ，
所以 ，
即 在 为增函数，即 ，
即证： .
21. 给定正整数m，数列 ，且 .对数列A进行T
操作，得到数列 .
（1）若 ， ， ， ，求数列 ；
（2）若m为偶数， ，且 ，求数列 各项和的最大值；
（3）若m为奇数，探索“数列 为常数列”的充要条件，并给出证明.
【答案】（1）
（2）
（3） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用已知条件先求出 ，将 ， ， ， 代入 ： ， ，
， 即可求解；（2）由 ，得到 ，进而有 ，再由得到
即可；
（3）证明见解析.
【
小问1详解】
由题意 时， ， ， ，由 ，知 ，所以 ，
， ， ，
故 .
【小问2详解】
记数列 的所有项和为S，
因为 ，且 ，所以 ，
则 ，故 .
当 ， 或 ， 时取到等号，
所以当 ， 或 ， 时，S取到最大
值，为 .
【小问3详解】
“数列 为常数列”的充要条件是 （ ）证明如下：
先证充分性：当 （ ）时， ，所以 为常数列；
再证必要性：
当 为常数列时，记 ，
设 中有x个 ，则必有 个 ，将数列 的
所有项相加得： ，由 ，且m为奇数，所以 ，
所以 ，由 得： ，所以 ，
所以 .
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：
（1）仔细阅读，理解新定义的含义；
（2）根据新定义，对对应的知识进行再迁移
（3）正确阅读理解题干信息，抓住关键信息，转化为我们所熟悉的问题.
