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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2023-2024 学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 2023航空航天大兴论坛于11月15日至17日在北京大兴国际机场临空经济区举办，共设如长置了“数字
民航”“电动航空”“商业航天”“通航维修”四场专题论坛．若某位航天科研工作者随机选择一个专题
论坛参与活动，则他选中“电动航空”的概率是（ ）
.
A 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．直接根据概率公式
计算即可．
【详解】 从“数字民航”“电动航空”“商业航天”“通航维修”四场专题论坛随机选择一个专题论坛
有4种情况，选中“电动航空”的只有一种情况，
选中“电动航空”的概率是 ．
故选：C．
2. 下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠
后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形和中心对称图形
的概念依次判定即可．
【详解】A．该图形是中心对称图形但不是轴对称图形，故符合题意；
B．该图形既是中心对称图形也是轴对称图形，故不符合题意；
C．该图形既是中心对称图形也是轴对称图形，故不符合题意；
D．该图形是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：A．
3. 关于方程 的根的情况，下列说法正确的是（ ）
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A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【详解】解：∵方程 中的 ， ， ，
∴ ，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，用判别式 来判断，若 ，则有两
个不相等的实数根； ，则有两个相等的实数根； ，则无实数根．
4. 抛物线y=(x-2) 2 +1的对称轴是（ ）
A. x=2 B. x=-2 C. x=1 D. x=-1
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的顶点式即可解题．
【详解】解：∵ 是顶点式,
∴对称轴为直线 ，
故选A．
【点睛】本题考查了抛物线的性质,属于简单题,熟悉抛物线顶点式是解题关键．
5. 在平面直角坐标系 中，将抛物线 先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得
到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并
用规律求函数解析式．
【详解】将抛物线 先向右平移 4 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到的抛物线是
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．
故选：D．
6. 若圆的半径为1，则 的圆心角所对的弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了弧长公式，掌握弧长公式 是解题的关键．
根据弧长公式 进行计算即可．
【详解】解：根据题意得 ．
故选：D．
7. 如图，菱形 的顶点A，B，C在 上，过点B作 的切线交 的延长线于点D．若 的
半径为2，则 的长为（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，
连接 ，根据切线的性质，菱形的性质推出 为含30度角的直角三角形，进行求解即可．
【详解】解：连接 ，
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∵过点B作 的切线交 的延长线于点D，
∴ ，
∵菱形 的顶点A，B，C在 上，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选D．
8. 如图，点 ， 在 上，且点 ， ， 不在同一条直线上，点 是 上一个动点（点 不与点
， 重合），在点 运动的过程中，有如下四个结论：①恰好存在一点 ，使得 ；②若直
线 垂直于 ，则 ；③ 的大小始终不变．上述结论中，所有正确结论的序号
是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，直径所对圆周角是直角，根据这些性质逐个判断即可得到结
论．
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【详解】①当点 ， ， 三点在同一条直线上时， 为 的直径，
，故正确，符合题意；
② 垂直于 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
；故正确，符合题意；
③如图，当点 在优弧 上时，
，
当点 在劣弧 上时，
，
与 不一定相等，
的大小会变化，故③错误，不符合题意，
故选：A．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若 是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式
方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义解答即可．
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【详解】 方程 是关于 的一元二次方程，
，
解得 ．
故答案为： ．
10. 若关于x的一元二次方程x2－3x+m=0的一个实数根是1，则m的值为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】将实数根1代入x2－3x+m=0，计算即可得到答案.
【详解】将实数根1代入x2－3x+m=0得到1-3+m=0，解得m=2.
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是将根代入原方程.
11. 在平面直角坐标系 中，若点 ， 在抛物线 上，则 ___ （填“ ”
“ ”或“ ”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是把 的值代入二次函数解析式，求出对应
的 值再比较即可．
【详解】 点 ， 在抛物线 上，
； ，
；
故答案为： ．
12. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，E在AD的延长线上，∠CDE=82°，则∠ABC的度数是_____．
【答案】82°##82度
【解析】
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【分析】根据圆内接四边形的性质，得到∠ABC＋∠ADC＝180°，再由∠ADC＋∠CDE＝180°，即可得到
答案．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°，
∵∠ADC＋∠CDE＝180°，
∴∠ABC＝∠CDE，
∵∠CDE=82°，
∴∠ABC＝82°．
故答案为：82°
【点睛】此题主要考查了圆内接四边形，圆内接四边形的对角互补，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题
的关键．
13. 如图， 的内切圆 与 ， , 相切，切点为D, ， ，若 ， ，则
周长为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理即可得解
， ，从而利用三角形的周长公式即可得解．
【详解】∵ 的内切圆 与 ， , 相切，切点为D， ， ，
∴ ， ，
设 ，则 ， ，
∴ 的周长=
故答案为：
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14. 写出一个过点 且当自变量 时，函数值y随x的增大而增大的二次函数的解析式______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】此题是一道开放性题，主要考查二次函数的基本性质，函数的增减性及用待定系数法来确定函数
的解析式．设解析式为： ，根据该函数的增减性确定其与 轴交点的取值，然后代入已知点后
即可求得其解析式．
【详解】 当 时， 随 的增大而增大，
设解析式为： ，
函数过点 ，
，
二次函数的解析式为 ，
故答案为： （答案不唯一）．
15. 杭州亚运会的吉祥物“江南忆”出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州
的历史人文、自然生态和创新基因．经统计，某商店吉祥物“江南忆”6月份的销售量为1200件，8月份
的销售量为1452件，设吉祥物“江南忆”6月份到8月份销售量的月平均增长率为 x，则可列方程为
______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设月平均增长率为x，根据增长率问题的等量关系列方程即可．
【详解】解：设月平均增长率为x，
根据题意得： ，
故答案为： ．
16. 如图，在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象经过点 ， ．给
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出下面三个结论：① ；② ；③关于 的一元二次方程 有
两个异号实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是______．
【答案】②③##③②
【解析】
【分析】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系，由函数图象过点 ， 列方程组判断①，
由顶点的性质即可判断②，根据直线 在直线 的下面，即可判断③．
【详解】∵二次函数 的图象经过点 ， ．
∴ ，
解得 ，故①错误；
∵ ，
∴ ，
∴直线 ，
∴当 时， 有最大值，
∴ ，
即 ，故②正确；
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∵ ， ，
∴直线 在直线 的下面，
∵当 时， ，
∴直线 于抛物线 的交点的在 轴的两侧，
故关于 的一元二次方程 有两个异号实数根，故③正确，
故答案为：②③．
三、解答题（共68分，第17-21题每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题每题6
分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明的过程．
17. 解方程：x2+8x= 9．
【答案】
【解析】
【分析】根据因式分解法即可求解．
【详解】x2+8x=9
x2+8x-9=0
(x+9)(x-1)=0
∴x+9=0或x-1=0
解得x=-9,x=1．
1 2
【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知因式分解法的运用．
18. 已知 是方程 的一个根，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查整式化简求值，由 是方程 的一个根，可得 ，把
化简变形再代入即可求得答案．
【详解】 是方程 的一个根，
，
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，
，
．
19. 已知关于x的一元二次方程 有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大整数值时，求方程的根．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握一元二次方程
的根的判别式为 ，且当 时，该方程有两个不相等的实数根；当 时，该方程有两
个相等的实数根；当 时，该方程没有实数根是解题关键．
（1）根据题意可知该一元二次方程根的判别式 ，代入数据求解即可；
（2）由（1）结合题意可知 ，代入原方程，再根据因式分解法求解即可．
【小问1详解】
解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根，
∴ ，即 ，
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解得： ；
【小问2详解】
解：∵ ，m为最大整数，
∴ ，
∴原方程为 ．
解： ，
，
∴ 或 ，
∴ ．
20. 已知抛物线 经过点 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标．
【答案】（1）
（2）顶点坐标为
【解析】
【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式；
（1）利用待定系数法把 ， 代入二次函数 中，即可算出 、 的值，进而得到
函数解析式；
（2）将（1）中所得解析式化为顶点式，可得结果．
【小问1详解】
抛物线 经过点 ， ，
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，
解得 ，
；
【小问2详解】
顶点坐标为 ．
21. 如图，在 中， ， ， 为 的外接圆，求 的半径．
【答案】⊙O的半径是
【解析】
【分析】此题主要考查了圆周角定理和勾股定理等内容，连接 ， ，由圆周角定理求得
，利用勾股定理求出即可．
【详解】连接 ， ，
，
，
在 中，
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， ， ，
，
，
（舍负），
的半径是 ．
22. 2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州举行．中国队以201枚金牌、111枚银牌、71枚
铜牌的优异成绩，位居奖牌榜首．为弘扬体育运动精神（测试满分为100分，得分x均为不小于80的整
数），并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下（成绩得分用 x表示，共分
成四组： ； ； ； ．
a．八年级20名学生的成绩是：80，82，83，85，85，87，89，90，91，95，95，95，96，100．
b．九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，90，91，92，93，92，93，94．
c．八、九年级抽取的学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数如下：
平均 中位 众
年级
数 数 数
八年
90 90 m
级
九年
90 n 100
级
d．九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图如图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出表中m，n的值及九年级抽取的学生竞赛成绩在D组的人数；
（2）若该校九年级共400人参加了此次知识竞赛活动，估计九年级竞赛成绩不低于90分的人数是 ；
（3）为了进一步弘扬体育运动精神，学校决定组织学生开展亚运精神宣讲活动，准备从九年级抽取的竞
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赛成绩在D组的学生中，抽两名担任主持人．若甲、乙是抽取的成绩在D组的两名学生，用画树状图或列
表的方法，求甲、乙两人同时被选上的概率．
【答案】（1） ；九年级抽取的学生竞赛成绩在D组的人数为4人
（2）240人 （3）甲、乙两人同时被选上的概率为
【解析】
【分析】（1）根据众数中位数的定义可得 ， 的值．用20分别减去 ， ， 组的成绩，可得九年级
抽取的学生竞赛成绩在 组的人数．
（2）根据用样本估计总体，用400乘以样本中 组和 组的百分比之和，即可得出答案．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人同时被选上的结果数，再利用概率公式可得出答
案．
【小问1详解】
由八年级20名学生的成绩可知，众数为95，
．
九年级 ， 两组的人数共有 （人 ，
将九年级20名学生的成绩按从小到大的顺序排列，排在第10和11名的成绩为90，91，
．
九年级抽取 的学生竞赛成绩在 组的人数为 （人 ．
【小问2详解】
（人 ，
估计九年级竞赛成绩不低于90分的人数大约为240人．
故答案为：240人．
【小问3详解】
设 组的另外两名同学为丙，丁，
画树状图如下：
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共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人同时被选上的结果有2种，
甲、乙两人同时被选上的概率为 ．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，解题的关键是理解
题意，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体．
23. 在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点 和 ．
（1）求该函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值小于函数 的值且大于5，直
接写出n的值．
【答案】（1）该函数的解析式为
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征；
（1）将两点坐标代入函数表达式中，用待定系数法求解即可．
（2）根据函数图象得出当 过点 时满足题意，代入 求出 的值即可．
【小问1详解】
把 和 代入 中，得 ，
解得 ，
该函数的解析式为 ；
【小问2详解】
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由（1）知：当 时， ，
当 时，对于 的每一个值，函数 的值小于函数 的值且大于5，
当 过点 时满足题意，
代入 得： ，
解得： ．
24. 如图， 是 的直径，点C在 上，连接 ，过点O作 于点D，使得 ．
（1）求证： 为 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析；
（2） 的长为 ；
【解析】
【分析】（1）本题考查切线的证明，连接 ，证明 即可得到答案；
（2）本题考查垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，三角形全等的判定与性质，先根据勾股定理得
到 ，结合垂径定理得到 ，再证明 ，结合中
位线求解即可得到答案；
【小问1详解】
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证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ 是半径，
∴ 为 的切线；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵O是 的中点，D是 的中点，
∴ ．
25. 如图 ，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心 处竖直安装一根高度为 的水管 ，喷出水流
沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．
建立如图 所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心 的最远水平距离 为 ，水流
竖直高度的最高处位置 距离喷水池中心 的水平距离 为 ．
（1）求喷出水流的竖直高度 （ ）与距离水池中心 的水平距离 （ ）之间的关系式，并求出水流
喷出的最大高度 的长；
（2）安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移
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动时，保持对称轴及形状不变），若水管 的高度增加 时，则水流离喷水池中心 的最远水平距
离为______ ．
【答案】（1） ，水流喷出的最大高度 的长为
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键
（ ）根据待定系数法即可求得函数解析式，再利用二次函数的性质即可求得最大高度 的长；
（ ）根据待定系数法即可求得平移后的函数解析式，再令 即可求解．
【小问1详解】
解：由题意， 点坐标为 ， 点坐标为 ．
设抛物线的解析式为 ，
∵抛物线经过点 ，点 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ 时， ．
∴水流喷出的最大高度为 ．
【小问2详解】
解：由题意，∵抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变,
∴可设抛物线为 ．
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∵此时 为 ，
∴ ．
∴ ．
∴抛物线为 ．
令 ，
∴ 或 ，不合题意 ．
∴水流离喷水池中心 的最远水平距离为 ．
故答案为： ．
26. 在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上，设抛物线的对称轴为 ．
（1）当 时，求t的值；
（2）点 ， 在抛物线上，若 ，请比较 ， 的大小，并说明理由．
【答案】（1）t的值为1
（2） ．理由见解析
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．
（1）根据点 在抛物线 上和 求得 ，再根据抛物线的对称轴为
可得答案；
（2）根据点 在抛物线 上，结合 ，可得 ，把点 ，
的坐标代入 ，利用差值法即可得到答案．
【小问1详解】
根据题意得 ，
又 ，
，
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，
；
【小问2详解】
根据题意得 ，
，
，
，
，
点 ， 在抛物线 上，
， ，
，
，
，
．
．
27. 在 中， ， ，点 为 的延长线上一点，连接 ，以 为中心，将线
段 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．
（1）依题意补全图形；
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（2）求证： ；
（3）用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意画出图形，即可求解；
（2）由余角的性质可求解；
（3）由“ ”可证 ，可得 ，由勾股定理可求解．
【小问1详解】
补全图形如图所示；
【小问2详解】
，
，
以 为中心，将线段 顺时针旋转 得到线段 ，
，
，
；
【小问3详解】
线段 ， ， 之间的数量关系是 ，
理由如下：过点 作 交 的延长线于点 ．
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，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
在 与 中，
，
．
，
，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，
勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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28. 如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，给出如下定义：若 ，
则称点 为线段 的“亲近点”．
（1）当 时，
①在点 ， ， ， 中，线段 的“亲近点”是______；
②点 在直线 上，若点 为线段 的“亲近点”则点 的坐标为______；
（2）若直线 上总存在线段 的“亲近点”则 的取值范围是______．
【答案】（1）① ， ；② 或
（2）
【解析】
【分析】（1）① 、 是线段 的“亲近点”，只要证明 ， 即可；
②根据点 在直线 上画图，作 的外接圆 ，连接 ， ，可知 ， 的半径为
2，最后计算 的长可得点 的坐标；
（2）当 的外接圆与直线 相切时，直线上开始存在线段 的“亲近点”，再根据
圆与切线的关系求出 的临界值，即可求 的取值范围．
【小问1详解】
解：①如图中，线段 的“亲近点”是 、 ．
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当 时，点 ， ，
由点 ， ， ， 中，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故 是线段 的“亲近点”，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故 是线段 的“亲近点”，
结合图形， 显然不等于 ，故 不是线段 的“亲近点”，
若 ，则 ，但是 ，故 不是线段 的“亲近点”，
综上，线段 的“亲近点”是 、 ，
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故答案为： 、 ．
②如图，作 的外接圆 ，连接 ， ，
∵点 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵点 在直线 上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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同理得由对称可知， ，
故答案为： 或 ；
【小问2详解】
解：如图，作 的外接圆 ，过 点作 轴于点 ，交直线 于点 ，
∵点 ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，则 ，
设直线 与x轴、y轴的交点分别为A、B，
当 时， ，当 时， ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
当 时， ，
∵ ， ，
∴ ，
同理可得： ， ，
∴ ， ，
∴ ，
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解得 ，
如图，作 的外接圆 ，过C点作 轴于点E，交直线 于点F，
同理得 ， ，
∴ ，
当 时， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ 时，直线 上总存在线段 的“亲近点”．
故答案为： ．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，等边三角形的判定和性质，切线的性质，
含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点，特殊位置解决问题，学会
用分类讨论的思想思考问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题．
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