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2023-2024 学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 2023航空航天大兴论坛于11月15日至17日在北京大兴国际机场临空经济区举办，共设如长置了“数字
民航”“电动航空”“商业航天”“通航维修”四场专题论坛．若某位航天科研工作者随机选择一个专题
论坛参与活动，则他选中“电动航空”的概率是（ ）
A. 1 B. C. D.
2. 下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
3. 关于方程 的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
4. 抛物线y=(x-2) 2 +1的对称轴是（ ）
.
A x=2 B. x=-2 C. x=1 D. x=-1
5. 在平面直角坐标系 中，将抛物线 先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得
到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
6. 若圆的半径为1，则 的圆心角所对的弧长为（ ）
.
A B. C. D.
7. 如图，菱形 的顶点A，B，C在 上，过点B作 的切线交 的延长线于点D．若 的
半径为2，则 的长为（ ）
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A. 2 B. 4 C. D.
8. 如图，点 ， 在 上，且点 ， ， 不在同一条直线上，点 是 上一个动点（点 不与点
， 重合），在点 运动的过程中，有如下四个结论：①恰好存在一点 ，使得 ；②若直
线 垂直于 ，则 ；③ 的大小始终不变．上述结论中，所有正确结论的序号
是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若 是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是_____．
10. 若关于x的一元二次方程x2－3x+m=0的一个实数根是1，则m的值为_____．
11. 在平面直角坐标系 中，若点 ， 在抛物线 上，则 ___ （填“ ”
“ ”或“ ”）．
12. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，E在AD的延长线上，∠CDE=82°，则∠ABC的度数是_____．
13. 如图， 的内切圆 与 ， , 相切，切点为D, ， ，若 ， ，则
周长为____．
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14. 写出一个过点 且当自变量 时，函数值y随x的增大而增大的二次函数的解析式______．
15. 杭州亚运会的吉祥物“江南忆”出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州
的历史人文、自然生态和创新基因．经统计，某商店吉祥物“江南忆”6月份的销售量为1200件，8月份
的销售量为1452件，设吉祥物“江南忆”6月份到8月份销售量的月平均增长率为 x，则可列方程为
______．
16. 如图，在平面直角坐标系 中，二次函数 图的象经过点 ， ．给
出下面三个结论：① ；② ；③关于 的一元二次方程 有
两个异号实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题（共68分，第17-21题每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题每题6
分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明的过程．
17. 解方程：x2+8x= 9．
18. 已知 是方程 的一个根，求代数式 的值．
19. 已知关于x的一元二次方程 有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大整数值时，求方程的根．
20. 已知抛物线 经过点 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
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（2）求该抛物线的顶点坐标．
21. 如图，在 中， ， ， 为 的外接圆，求 的半径．
22. 2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州举行．中国队以201枚金牌、111枚银牌、71枚
铜牌的优异成绩，位居奖牌榜首．为弘扬体育运动精神（测试满分为100分，得分x均为不小于80的整
数），并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下（成绩得分用 x表示，共分
成四组： ； ； ； ．
的
a．八年级20名学生 成绩是：80，82，83，85，85，87，89，90，91，95，95，95，96，100．
的
b．九年级20名学生 成绩在C组中的数据是：90，90，91，92，93，92，93，94．
c．八、九年级抽取的学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数如下：
平均 中位 众
年级
数 数 数
八年
90 90 m
级
九年
90 n 100
级
d．九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图如图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出表中m，n的值及九年级抽取的学生竞赛成绩在D组的人数；
（2）若该校九年级共400人参加了此次知识竞赛活动，估计九年级竞赛成绩不低于90分的人数是 ；
（3）为了进一步弘扬体育运动精神，学校决定组织学生开展亚运精神宣讲活动，准备从九年级抽取的竞
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赛成绩在D组的学生中，抽两名担任主持人．若甲、乙是抽取的成绩在D组的两名学生，用画树状图或列
表的方法，求甲、乙两人同时被选上的概率．
23. 在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点 和 ．
（1）求该函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值小于函数 的值且大于5，直
接写出n的值．
24. 如图， 是 的直径，点C在 上，连接 ，过点O作 于点D，使得 ．
（1）求证： 为 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
25. 如图 ，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心 处竖直安装一根高度为 的水管 ，喷出水流
沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．
建立如图 所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心 的最远水平距离 为 ，水流
竖直高度的最高处位置 距离喷水池中心 的水平距离 为 ．
（1）求喷出水流的竖直高度 （ ）与距离水池中心 的水平距离 （ ）之间的关系式，并求出水流
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喷出的最大高度 的长；
（2）安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移
动时，保持对称轴及形状不变），若水管 的高度增加 时，则水流离喷水池中心 的最远水平距
离为______ ．
26. 在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上，设抛物线的对称轴为 ．
（1）当 时，求t的值；
（2）点 ， 在抛物线上，若 ，请比较 ， 的大小，并说明理由．
27. 在 中， ， ，点 为 的延长线上一点，连接 ，以 为中心，将线
段 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．
（1）依题意补全图形；
（2）求证： ；
（3）用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系．
28. 如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，给出如下定义：若 ，
则称点 为线段 的“亲近点”．
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（1）当 时，
①在点 ， ， ， 中，线段 的“亲近点”是______；
②点 在直线 上，若点 为线段 的“亲近点”则点 的坐标为______；
（2）若直线 上总存在线段 的“亲近点”则 的取值范围是______．
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