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民大附中考前练习
数学
2022.5
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项.
1. 已知集合 ，若 ，则 的最大值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据几何运算的结果求出参数的范围，进而可得结果.
【详解】因为 ， ，
所以 ，即 的最大值为1，
故选：C.
2. 已知复数 等于 ，则 的虚部是（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出复数z，即可得到 的虚部.
【详解】因为 ，所以 的虚部是 .
故选：A
3. 在 的展开式中，常数项为（ ）
A. 15 B. C. 30 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项公式直接求解.【详解】 ，
令 ，得 ，
所以常数项是 .
故选：A
4. 已知 是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据线线、线面、面面平行与垂直的位置关系，对各选项逐一分析即可得答案.
【详解】解：对A：若 ，则 或 与 相交，故选项A错误；
对B：若 ，则 或 与 相交或 与 异面，故选项B错误；
对C：若 ，则 ，故选项C正确；
对D：若 ，则 或 与 相交，故选项D错误；
故选：C.
5. 已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】求出 的定义域，判断出其在 上为增函数，由 即可得到不等式
的解集.
【详解】函数 的定义域为 .
因为 在 上为增函数， 在 上为增函数，
所以 在 上为增函数.
又 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：B
6. 在 中， ，点 是 的中点，则 （ ）
A. B. 7 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别利用 表示出 ，直接求出 .
【详解】在 中，点 是 的中点，所以 , ,
所以 .
故选：A
7. 已知双曲线 的渐近线与圆 相切，则 （ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】C【解析】
【分析】求出圆的圆心和半径，由于圆与渐近线相切，所以圆心到渐近线的距离等于半径，列方程可求出
的值
【详解】解：由 ，得 ，所以圆心为 ，半径为1，
双曲线 的渐近线方程为 ，
因为双曲线 的渐近线与圆 相切，
所以 ，化简得 ，解得 或 （舍去），
故选：C
8. 记 ，则 为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断出这个数列是首项为-1，公差d=2的等差数列，直接套公式即可求和.
【详解】由 可判断出为求数列：-1，1，3，5……2n+1的和.
这个数列是首项为-1，公差d=2的等差数列，所以通项公式为 ，2n+1为其第n+2项.
所以
故选：D
9. 在 中， ，则 的可能取值为（ ）
.
A B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】通过正弦定理将所求表达式表示为关于 的三角函数，求出范围即可得结果.
【详解】因为 ，
所以 ， ，即得 ，
由正弦定理可得 ，
则 的可能取值为 ，
故选：D.
10. 半径为 的圆的边沿有一点 ，半径为 的圆的边沿有一点 ， 、 两点重合后，小圆沿着大圆的
边沿滚动， 、 两点再次重合小圆滚动的圈数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设 、 两点再次重合小圆滚动的圈数为 ，由已知可得出关于 的等式，即可得解.
【详解】设 、 两点再次重合小圆滚动的圈数为 ，则 ，其中 、
，
所以， ，则当 时， .
的
故 、 两点再次重合小圆滚动 圈数为 .
故选：D.
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数 的值域为__________.
【答案】【解析】
【分析】由对勾函数的图象和性质得解.
【详解】
由题得函数的定义域为 .
由对勾函数的性质得函数 在 单调递减，在 单调递增，在 单调递增，在
单调递减.
.
所以函数的值域为 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查对勾函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12. 能够说明“若 均为正数，则 ”是真命题的充分必要条件为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用充分必要条件的定义判断.
【详解】解： ，因为 均为正数，
所以 ，反之也成立，
故“若 均为正数，则 ”是真命题的充分必要条件为 ，
故答案为：
13. 已知点 为抛物线 上的点，且点P到抛物线C焦点的距离为3，则
___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的焦半径公式求解 ，再由于点在抛物线上，点的坐标满足抛物线的方程，得到
.
【详解】设抛物线 的焦点为 ，则 ，
根据抛物线的焦半径公式可知： ，
所以 ，代入抛物线方程得到： ，
故 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，从而得到焦半径
公式 ，平时做题时也要特别注意定义的应用.
14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——
由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图
2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在 中，若 ，则 ___________.
【答案】
【解析】
【分析】由条件可得 ， ，由余弦定理可得答案.
【详解】由题意 为等边三角形，则 ,所以
根据条件 与 全等，所以
在 中，
所以
故答案为：
15. 已知函数 ，给出下列四个结论：
① 是偶函数；
② 有4个零点；③ 的最小值为 ；
④ 的解集为 .
其中，所有正确结论的序号为___________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】对于①：利用函数的奇偶性的定义直接判断；
对于②：令 ，直接解得；
对于③：利用图像法直接判断；
对于④：直接解不等式 即可判断.
【详解】对于①：因为函数的定义域为 ，且 ，所以
是偶函数.故①正确；
对于②：在 ，令 ，解得： ， ， ， .所以
有4个零点.故②正确；
对于③：因为 是偶函数，所以只需研究 的情况. 如图示，作出 （ ）
和 的图像如图所示：在 上，有 ，所以 ，即 的最小值大于 .故③错误；
对于④：当 时， 可化为：
当 时， ，解得： ；
当 时， ，解得： ；
综上所述： 的解集为 .故④正确.
故答案为：①②④
【点睛】（1）函数奇偶性的判断，通常用定义法；
（2）解三角不等式（方程），利用三角函数的单调性和特殊角的三角函数值.
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在三棱柱 中， 是边长为4的正方形，平面 平面
.
（1）求二面角 的余弦值；
（2）证明：在线段 上存在点 ，使得 .并求【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明出 ⊥平面ABC， .以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA 为z轴建
1
立空间直角坐标系.用向量法求二面角 的余弦值；
（2）设点D的坐标中 ,(0<t<4),表示出 ,利用向量垂直于数量积得关系即可得出.
【小问1详解】
因为 是正方形, .
又平面 平面 平面ABC∩平面 =AC,所以 ⊥平面ABC.
因为 ，所以 ，所以 .
可以以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA 为z轴建立空间直角坐标系.
1
则
.
设平面ABC 的法向量为 ，则
1 1，不妨令 ，解得： .
同理可求平面 的一个法向量为 .
设二面角 的平面角为 ，显然 .
所以 .
即二面角 的余弦值为 .
【
小问2详解】
设点D的坐标中 ,(0<t<4),在平面 中作DE⊥BC于E，可得 .
所以 .
因为 ，所以 ，
解得 ，所以 .
17. 在 中， .
（1）求 的值；
（2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求
的
面积.
条件①： 条件②： ；条件③： 边上的中线长为 .【答案】（1）
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）直接利用正弦定理求出 ；
（2）选条件①： .利用余弦定理得到 ，无解，即可判断这样的
三角形不存在；
选条件②： .利用余弦定理求出 （ 舍去）， .这样的三角形存在并唯一.利用
面积公式求出 的面积；
选条件③： 边上的中线长为 .利用余弦定理求出 .这样的三角形存在并唯一. 利用面积
公式求出 的面积.
【小问1详解】
在 中， ，由正弦定理 得： .
【小问2详解】
选条件①： .
在 中， ， ，所以 ， .
由余弦定理 得： ，无解，所以这样的三角形不存在.
选条件②： .
在 中， ， ，所以 ， .
由余弦定理 得： ，
解得： （ 舍去）.
所以 ， .这样的三角形存在并唯一.
所以 的面积为 .
即 的面积为 .
选条件③： 边上的中线长为 .
在 中， .
由余弦定理 得： ，即 ，解得：（ 舍去）
在 中， ， .
由余弦定理得： ，即 ，解得： ，所以
.这样的三角形存在并唯一.
此时所以 的面积为 .
即 的面积为 .
18. 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分
组及频数分布表和频率分布直方图：
组号 分组 频数
1 6
2 8
3 17
4 22
5 25
6 12
7 6
8 2
9 2合计 100
每周课外阅读时间小于 小时的学生我们称之为“阅读小白”，大于等于 小时且小于 小时的学生称之
为“阅读新手”，阅读时间大于等于 小时的学生称之为“阅读达人”.
（1）从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的阅读时间大于等于 小时，问这名学生是“阅读达人”
概率；
（2）从该校学生中选取 人，用样本的频率估计概率，记这 人中“阅读新手和阅读小白”的人数和为
，求 的分布列和数学期望；
（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 名学生该周课外阅读时
间的平均数在第几组.（只需写出结论）
【答案】（1）
（2）分布列答案见解析，
（3）第 组
【解析】
【分析】（1）计算粗阅读时间大于等于 小时的学生人数和“阅读达人”的学生人数，利用古典概型的概
率公式可求得所求事件的概率；
（2）分析可知 ，利用二项分布可得出 的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的值；
（3）根据频率分布直方图计算出平均数，可得出结论.
【小问1详解】
解：从样本中随机选取一名学生，其中阅读时间大于等于 小时的学生人数为 ，
“阅读达人”的学生人数为 ，故所求概率为 .
【小问2详解】
解：从该校学生中任选一人，该学生是“阅读小白”或“阅读新人”的概率为 ，
所以， ，则 ， ，
， ，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
.
【小问3详解】
解：样本中的 名学生该周课外阅读时间的平均数为
.
因此，样本中的 名学生该周课外阅读时间的平均数在第 组.
19. 设函数 .
（1）若曲线 在点 处的切线与 轴平行，求 ；（2）若 在 处取得极大值，求 的取值范围.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）求出导函数，利用 即可求得；
（2）求出导函数，对a进行分类讨论：若 时，不合题意，舍去； 在时， 时和
时,分别判断单调性，得到 在x=2处取得极大值，符合题意.
【小问1详解】
定义域为R， .
由题设知 ,即(1-a)e=0,解得：a=1此时f(1)=3e≠0.
所以a的值为1
【小问2详解】
由(1)得 .
若 时,则当 时, ;当 时, ，所以 在 上单减，在
上单增，所以 在x=2处取得极小值，不合题意，舍去；
若 时,则 恒成立，所以 在R上单增，所以 在x=2处不能取得极值，不合题意，
舍去；
若 时,则当 时, ;当 时, ，所以 在 上单增，
在 上单减，所以 在x=2处取得极大值，符合题意；若 时,则当 时, ;当 时, ，所以 在 上单增，
在 上单减，所以 在x=2处取得极大值，符合题意；
若 时,则当 时, ;当 时, ，所以 在 上单减，在
上单增，所以 在x=2处取得极大值，符合题意.
综上所述： .即实数a的范围为 .
20. 已知曲线C: (m∈R)
（1） 若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；
（2） 设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不
同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线．
【答案】（1） （2）略
【考点定位】此题难度集中在运算，但是整体题目难度不太大，从形式到条件的设计都具有一般性的，相
信平时对曲线的复习程度不错的学生做起来应该是得心应手
【解析】
【详解】学生错解：解：(1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当 解得2＜m＜5，所以m的
取值范围是(2，5)．
(2)当m＝4时，曲线C的方程为x2＋2y2＝8，点A，B的坐标分别为(0，2)，(0，－2)．
由 得(1＋2k2)x2＋16kx＋24＝0.
设点M，N的坐标分别为(x，y)，(x，y)，则y＝kx＋4，y＝kx＋4，x＋x＝ ，xx＝
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2.直线BM的方程为y＋2＝ x，点G的坐标为 .
因为直线AN和直线AG的斜率分别为k ＝ ，k ＝－ ，所以k －k ＝
AN AG AN AG
＝ ＝ ＝ ＝0.
即k ＝k .故A，G，N三点共线．
AN AG
审题引导：(1)方程的曲线是焦点在x轴上的椭圆；
(2)证明三点共线的常用方法．
规范解答：解：(1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当
解得 ＜m＜5，所以m的取值范围是 .
(2)当m＝4时，曲线C的方程为x2＋2y2＝8，点A，B的坐标分别为(0，2)，(0，－2)．
由 得(1＋2k2)x2＋16kx＋24＝0.
因为直线与曲线C交于不同的两点，所以Δ＝(16k)2－4(1＋2k2)×24＞0，即k2＞ .
设点M，N的坐标分别为(x，y)，(x，y)，则y＝kx＋4，y＝kx＋4，
1 1 2 2 1 1 2 2
x＋x＝ ，xx＝ .
1 2 1 2
直线BM的方程为y＋2＝ x，点G的坐标为 .
因为直线AN和直线AG的斜率分别为k ＝ ，k ＝－ ，
AN AG所以k －k ＝ ＝0.
AN AG
即k ＝k .(13分)故A，G，N三点共线．
AN AG
错因分析：易忽视焦点在x轴上，漏掉 这一条件，从而失误．联立消元后易忽视Δ＞0这一
前提条件．
21. 已知数列A： 的各项均为正整数，设集合 ，记
T的元素个数为 ．
（1）若数列A：1，2，4，3，求集合T，并写出 的值；
（2）若A是递增数列，求证：“ ”的充要条件是“A为等差数列”；
（3）若 ，数列A由 这 个数组成，且这 个数在数列A中每个至少出现
一次，求 的取值个数．
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3） ．
【解析】
【分析】（1）利用列举法写出符合题意的所有的 的取值可能，得出 的值；
（2）先假设数列 为递增的等差数列，公差为 ，则可知，当 时，
，则可知 的最大值为 ，最小值为 ， 成立；反之若
，因为A是递增数列，所以 ，可推出
，那么 ，又，且互不相等，则可知
，所以 ，
可得数列A是等差数列;
(3)当数列A由 这 个数组成，则任意两个不同的数作差，差值只可能为
和 ，共 个值，又因为 这 个
数在数列A中共出现 次，所以数列A中存在 ，所以 ，则可得出
，再说明 可以取得 之间的所有整数，得到 的值为 .
【详解】解：（1）因为 ， ， ， ，则 的可能情况有：
， ， ， ， ， ，
所以 ， ．
（2）充分性：若A是等差数列，设公差为d．
因为数列A是递增数列，所以 ．
则当 时， ，
所以 ， ．
必要性：若 ．
因为A是递增数列，所以 ，
所以 ，且互不相等，
所以 ．
又 ，所以 ，且互不相等．
所以 ，
所以 ，
所以A为等差数列．
（3）因为数列A由 这 个数组成，任意两个不同的数作差，差值只可能为
和 ．
共 个不同的值；且对任意的 ，
m和 这两个数中至少有一个在集合T中．
又因为 这 个数在数列A中共出现 次，所以数列A中存在 ，
所以 ．
综上， ，且 ．
设数列 ： ，此时 ．
现对数列 分别作如下变换：
把一个1移动到2，3之间，得到数列： ，
此时 ， ．
把一个1移动到3，4之间，得到数列： ，
此时 ， ．
把一个1移动到 ，n之间得到数列： ，
此时 ， ．把一个1移动到n， 之间，得到数列： ，
此时 ， ．
再对数列 依次作如下变换：
把一个1移为 的后一项，得到数列 ： ，
此时 ， ；
再把一个2移为 的后一项：得到数列 ： ，
此时 ， ；
依此类推
最后把一个n移为 的后一项：得到数列 ： ，
此时 ， ．
综上所述， 可以取到从 到 的所有 个整数值，所以 的取值个数为 ．
【点睛】本题考查新定义数列问题，难度较大，解答的关键在于根据数列中项的大小及数字特征分析清楚
任意两项 的所有可能取值，从而得出 的值，注意在解答的过程中，项的顺序不同，
的值不同.
